24 上篇电子光学 午面的交线在近轴处近似为关于之轴对称的二次曲线，与之轴正 交（除非该点V取极值，故E,一0，且易号），呈或凸或凹的弧形或 近于平行直线.以等差的多层等位面描述V,E强处其相聚紧密， 弱处则稀疏.与力线的特性综合，随：的增加，如E大致不变，则 等位面大体是等距平面，力线近乎平行：若E渐增强，则等位面渐 向左凹回，间距变小，力线会聚：若E渐减弱，则等位面渐向右凸 前，间距放宽，力线发散. 以下试作定量描述，可得到谢尔赤公式： 轴对称场V满足拉普拉斯方程 v-引+-0 场向量E则满足 E-兴 E,=-兴 所以 裴+E)-0 -器 E4=0 B满足的方程与E相同. 前已述及，V,E,B是r的偶函数，E,B,是r的奇函数. 设轴上即r=0处所有点的V(或B)是可知的，它们仅是z的 函数，则空间各点的场皆可用轴上场分布一称为V(z)或 B.(z)一及它们对x的各阶微商和r的各次幂表示.此种表示式 称为谢尔赤展开式，如对V(,r,有 Vew
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第1章电子在轴对称场中的运动 25 =V()-V(P+w()r-… 推导要点任一x坐标相同的横切面上V可展开为r的偶次 幂级数V(,=∑a.(),其中a,是x的函数，n从0到无穷 大.显然，=V(). 拉普拉斯方程即成为 a"+∑[a,"r+(2w°aPm]=0 r的各次幂的系数皆应为0，故应有a=一，始于a一 重复递推，即得上式。 此类公式的特点为：利用偏微分方程（麦氏方程）建立的关系 用一个方向的高阶偏微商代替另一个方向的偏微商.于是 E.=-v'+v-… E,=2vr-6vwp+… 形式上可将一V'()写成E.(z),而将E的分量用E及其高 阶微商表示.与之完全相似的是： B.(）-B.()-B"+… B(,刊=-Br+6B“P-… 以上工作之所以有意义，是因为电子光学的计算大多在近轴 区进行，有理由认为r的高阶项可忽略（小量假设）.常可只取r的 一次项以得到线性方程，较低的高次项有时用于分析像差等问题 和计算机数值计算.在离最近的边界（设半径为R)较近处用这些
3 53 A i& 1#Ê++ Ivb >À uË< ? 9 { =< s$Lï EÌ© v xA¼ ? $ Àu°<O^$@^{ 3 Í 3 wxÎA¬+& èÏ%&HA`PQ) xt xÐB=° `&K tPQ?f&K PQ? { 3 A 5 A W&+I´ ð¼ ´ )9` 9 tQ?Sî.µN%1{ 3 A 5 A (+;Sµ({j´{®345HEO -L;{cÁR ttIZ[:9ysIJl &Àt(¬I xzÑÀt{!` )ÒÓ2{| 5Hñ<ÀH }>^*s,C z`~G %
26 上篇电子光学 公式是不可取的，因各级数高阶项按卡的升幂可能收敛极慢，必须 取很多项才能得到可用的结果。 近轴处E的第一项最为重要，它说明力线的走向，并提供电 子受到的横向力.V”简单地联系了V沿z轴的纵向变化率和横向 聚焦力.因为电子受力为一玉，容易看出（近轴处）： V'>0时，电子被加速：V">0时，电子受到聚焦。 E,近似地正比于r是这一横向力能聚焦（而非偏转或其他）的 原因.它能提供一种指向轴的、与径向偏离成比例的横向力，偏离 越大，这个力越强，对已在轴上的粒子则完全无作用：当然，如果它 背离中轴，指向外方，就成为散焦力.容易看出，V”的大小、符号与 聚焦的关系和前文对等位面、力线的定性分析一致. 回到等位面形状.由以 上公式可得到定量关系： 轴上取一点0，如该 点处V'()与V()皆不 等于0，则过该点的等位面 在近轴处为一旋转双曲面， 如图1.1所示.令量纲为长 图1.1 度的量。=心光品此双曲 面过名而向名一a方向凸 起，千午面上的裁线是双线，其方程为[一二一立-1 渐近线为过（一a,0)点的斜率为tga=士巨（与轴的交角a= 士5444)的两条直线，焦点坐标=十(5-1)a,=0处双曲 面顶点的曲率半径为2a V"()=0时，等位面为垂直于轴的平面=. V'()=0而V”()≠0时，过的等位面为半顶角等于上
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第1章电子在轴对称场中的运动 27 述。角的对顶圆锥面，子午面上的截线方程是r=士瓦（一）： 其附近等位面呈鞍形分布，是“鞍点”，该点上E=0,根据V大于 (或小于)0，其电位是轴向极小（或极大）值点、径向极大（或极小） 值点. 图1.1所示是a>0的情况.此时如V>0,则V>0,此等位 面好像凸透镜入侧，起聚焦作用：若V'与V“皆小于0，则似凹透镜 出侧，所以散焦.<0时，等位面向右凸起，聚焦、散焦仍与V">0 或V”<0一致 推导要点在点处将电位沿轴向展开，得 V()=()+V'()(-)+2((-高)°+… 再利用谢尔赤公式沿径向展开.两式综合，则等位面方程为 V(z,r)=V()+V'()(x-) +2()[(-°-]+… =V() 只考虑(，0)点附近，可将高次项略去. V=0或V'=0时结果易得.否则，可写成 (x-%P+2a(x-)-2/-0 剩下的只有解析几何计算了. 该式对x微分，可得 2[x-(6-a)]-m'=0 2-r0-m"=0 代人一+)正，即得曲率半径。 口 顺便提一下，处理电子问题，有人愿意把E变号，使其大于0 时加速，方向与电子受力一致：同样，电荷、电流密度ρ和J也可以 变号，使对于电子是正的.虽本书不取，只要自己和相应计算程序
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28 上篇电子光学 不糊涂，并无坏处.类似地，B的符号也可根据方便自行定义. 谢尔赤公式形式上规定了：轴上电位分布唯一地决定“全空 间”的电位分布这是拉氏方程的性质，所谓全空间的场具有“牵 发动全身”的连带关系和“求细节可以知高远”，本书未予过分强 调，因为此说法易产生误解.场的高阶微商无论计算或实测皆难以 准确获得：满足拉氏方程的“调和函数”具有调和、平均的特性 空间中任意取一球面，该函数在球心取球面所有点的平均值，球内 函数之极大、极小值必在球面上，所以边界附近即使有较大变化， 到轴附近的反映已极细微，可能近于不可知，反过来，由中央求外 部，任何误差必被放大，可能使上述说法失去意义。 1.2电子在轴对称电场中的运动·高斯轨迹 方程 轴对称电场（无磁场）中，E,=0.所以，有初始角向速度华≠0 (只能来自阴极电子的热运动)的电子将维持旋转，规律为角动量 守恒，即与mr成反比：初始=0的电子则不会产生“后天的 角向运动，其运动轨迹始终在同一子午面上.本节限于考虑后 情况. 在任何情况下，洛伦兹公式两端可乘以路径元s积分，以得 到能量积分.即可得能量增量关系mP△Y一一9△V.由此可以认 为任意位置处粒子的P及B,Y等皆已知. 运动方程变成轨迹方程时，总用到关系式 故本节中洛伦兹公式可写成 v.P.'=qeE. v.(P.r')'=qeE
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