实验5气垫法测定物体的转动惯量 在很多情况下，物体的形状和大小对物体的运动规律起着重要作用，例如宏观物体的 转动，以及微观粒子如分子、原子的转动甚至电子的自转等等。在这种情况下，物体就不 能再被当作质点看待，而必须考虑物体的大小和形状，即把物体视为刚体。 在研究刚体的转动问题时，首先遇到的困难就是磨擦力矩的存在：本仪器由于采用了 气垫悬浮与气垫滑轮相结合以及气流定轴等独特设计，故该装置所有转动件间的磨擦均达 到可以忽略的程度。用它可以测量多种物体的转动惯量，能够完成转动定律、角动量守恒 定律及平行轴定理等许多实验。本实验利用气垫转动惯量测定仪测定刚体在力矩作用下转 动的角加速度，来验证刚体转动定律。 实验目的和学习要求 1.验证刚体转动定律，测定刚体绕固定轴的转动惯量 2.验证刚体转动惯量的平行轴定理： 3.验证角动量守恒定律： 4.用对称测量法消除零转引起的系统误差。 实验仪器 气垫转动惯量测定仪，专用CH山型数 字毫秒计，DC型微音气泵，砝码组(2× 1g,4×2g,及2×5g),镊子及细线等。 实验原理 1.验证刚体转动定律 转动定律指出：绕固定轴转动的刚体 其所受外力矩N与该力矩作用下产生的角 加速度成正比，即： N=la (5-1) 10 比例系数为刚体绕定轴转动的转动惯 e 量，单位：kgm。当刚体的转轴被确定 1一气室：2-定盘：3-动盘： 4一细线：5一气垫滑轮： 后，其转动惯量为一常数。如图(5-1)所 6一砝码桶：7一遮光板： 示（参见附录），由于砝码m的重力作用， 8一光电门：9-定点发放开关： 使绕在动盘圆柱上的软细线产生张力T, 10一进气口：11一地脚螺丝 在张力作用下，动盘将产生一转动力矩N。 假定动盘圆柱直径为D,则当气动阻力可忽 略时，外 图51气垫转动惯量测定仪
实验 5 气垫法测定物体的转动惯量 在很多情况下，物体的形状和大小对物体的运动规律起着重要作用，例如宏观物体的 转动，以及微观粒子如分子、原子的转动甚至电子的自转等等。在这种情况下，物体就不 能再被当作质点看待，而必须考虑物体的大小和形状，即把物体视为刚体。 在研究刚体的转动问题时，首先遇到的困难就是磨擦力矩的存在；本仪器由于采用了 气垫悬浮与气垫滑轮相结合以及气流定轴等独特设计，故该装置所有转动件间的磨擦均达 到可以忽略的程度。用它可以测量多种物体的转动惯量，能够完成转动定律、角动量守恒 定律及平行轴定理等许多实验。本实验利用气垫转动惯量测定仪测定刚体在力矩作用下转 动的角加速度，来验证刚体转动定律。 实验目的和学习要求 1．验证刚体转动定律，测定刚体绕固定轴的转动惯量； 2．验证刚体转动惯量的平行轴定理； 3．验证角动量守恒定律； 4．用对称测量法消除零转引起的系统误差。 实验仪器 气垫转动惯量测定仪，专用 CHJ 型数 字毫秒计，DC 型微音气泵，砝码组（2× 1g，4×2g，及 2×5g），镊子及细线等。 实验原理 1．验证刚体转动定律 转动定律指出：绕固定轴转动的刚体， 其所受外力矩N与该力矩作用下产生的角 加速度 成正比，即： N = I （5-1） 比例系数 I 为刚体绕定轴转动的转动惯 量，单位： 2 kg m 。当刚体的转轴被确定 后，其转动惯量为一常数。如图（5-1）所 示（参见附录），由于砝码 m 的重力作用， 使绕在动盘圆柱上的软细线产生张力 T， 在张力作用下，动盘将产生一转动力矩 N。 假定动盘圆柱直径为 D1 ，则当气动阻力可忽 略时，外 图 5-1 气垫转动惯量测定仪
力矩：N=TD (5-2) 在力矩N的作用下，动盘将作匀角加速运动，砝码m随之下落，由牛顿第二定律可 知，张力T与砝码下落的角加速度a=aD/2之间满足如下关系： T=g-a)=g-2） (5-3) 将式(5-2)及(5-3)代入式(5-1)，有： N=m(g-=a (5-4) 若式(5-4)得证，则刚体转动定律得以验证。当m及D与动盘质量及半径相比均很小 时，有a<<g,于是式(5-4)变为： N=Ia≈ngD (5-5) 设动盘转动的初角速度为0，其继续转过日=2π及日，=4红角度所用的时间分别 为及2，则由刚体运动学公式可得 01=2π=0l1+am7/2 (5-6) 02=4π=042+am/2 (5-7) 由式(5-6)和(5-7)中消去0，即可求出动盘在力矩N的作用下，绕固定轴转动的角 a=4r2-1/4) 加速度： 2-41 (5-8) 改变砝码质量m,测出动盘在不同外力矩N,=m,8D下绕定轴转动的角加速度4，作 N一“曲线，若该曲线为一直线，则证明刚体转动定律成立，且直线的斜率即为刚体绕固定 轴的转动惯量1。 2.验证刚体转动惯量的平行轴定理 刚体对任一转动轴的转动惯量1等于刚体对通过其质心且平行于该轴的转动惯量'。 加上刚体的质量M乘以两平行轴间距离D的平 方。即： I=1。+MD (5-9) 这就是刚体转动惯量的平行轴定理。式(5-9)表 动盘 明，刚体的转动惯量！与其质心到转轴距离的平 图5-2动盘及圆铜柱
力矩： N = TD1 （5-2） 在力矩 N 的作用下，动盘将作匀角加速运动，砝码 m 随之下落，由牛顿第二定律可 知，张力 T 与砝码下落的角加速度 a =D1 / 2 之间满足如下关系： ( ) = − = − 2 D1 T m g a m g （5-3） 将式（5-2）及（5-3）代入式（5-1），有： I D N mD g = = − 2 1 1 （5-4） 若式（5-4）得证，则刚体转动定律得以验证。当 m 及 D1 与动盘质量及半径相比均很小 时，有 a ＜＜ｇ，于是式（5-4）变为： mgD1 N = I （5-5） 设动盘转动的初角速度为 0 ，其继续转过 1 = 2 及 2 = 4 角度所用的时间分别 为 1 t 及 2 t ，则由刚体运动学公式可得 2 / 2 2 1 0 1 1 = = t +t （5-6） 4 / 2 2 2 0 2 2 = = t +t （5-7） 由式（5-6）和（5-7）中消去 0 ，即可求出动盘在力矩 N 的作用下，绕固定轴转动的角 加速度： ( ) 2 1 2 1 4 2/ 1/ t t t t − − = （5-8） 改变砝码质量 mi ，测出动盘在不同外力矩 Ni = mi gD1 下绕定轴转动的角加速度 i ，作 N- 曲线，若该曲线为一直线，则证明刚体转动定律成立，且直线的斜率即为刚体绕固定 轴的转动惯量 I 。 2．验证刚体转动惯量的平行轴定理 刚体对任一转动轴的转动惯量 I 等于刚体对通过其质心且平行于该轴的转动惯量 0 I 加上刚体的质量 M 乘以两平行轴间距离 D 的平 方。即： 2 I = I 0 + MD （5-9） 这就是刚体转动惯量的平行轴定理。式（5-9）表 明， 刚体的转动惯量 I 与其质心到转轴距离的平 图 5-2 动盘及圆铜柱
方D成线性关系。当D不变时I亦不变。 (1)改变D,考察1与D的关系将质量均为M的两个铜圆柱对称地置于动盘圆柱 两侧的插孔上，如图5-2所示。设圆柱绕自身对称轴的转动惯量为'。，动盘绕自身对称 轴的转动惯量为'。，两轴间距离为D,整体系统的转动惯量为1，则据平行轴定理有： I-1。+2L.+MD') (5-10) 1=mgD mD 又由式(5-4)可知，整体系统的转动惯量为： 2 (5-11) 式(5-11)中，D1表示动盘圆柱直径：（表示砝码桶及砝码质量为m时系统转动的角加 速度，且由式(5-7)可知： 12-41 4-4) a4x2/2-1/44z24,-) (5-12) 式(5-12)中，4及'2分别表示系统旋转一周及两周所用的时间。将式(5-11)代入式(5-10)， 1=4+BD 整理后得： (5-13) 若在直角坐标系内1/a~D'关系为一条直线，则式(5-13)亦即式(5-10)成立，刚体 转动惯量的平行轴定理得以验证。且直线的截距A和斜率B分别为： A=6+2+ D mgD 2g (5-14) 2M 及 B-mgD (5-15) (2)D不变，只改变刚体的方位 将质量均为M'的两个长方体铝块对 (1) (2) (3) 称地置于动盘圆柱两侧的插孔上，在 保持铝块质心与动盘中心轴的距离D'恒定的情 图53动盘及铝块 况下，改变铝块方位，如图5-3所示
方 2 D 成线性关系。当 D 不变时 I 亦不变。 （1）改变 D，考察 I 与 D 2 的关系将质量均为 M 的两个铜圆柱对称地置于动盘圆柱 两侧的插孔上，如图 5-2 所示。设圆柱绕自身对称轴的转动惯量为 c I ，动盘绕自身对称 轴的转动惯量为 0 I ，两轴间距离为 D，整体系统的转动惯量为 I ，则据平行轴定理有： 2( ) 2 I = I 0 + I c + MD （5-10） 又由式（5-4）可知，整体系统的转动惯量为： 2 2 mgD1 mD1 I = − （5-11） 式（5-11）中，D 1 表示动盘圆柱直径； 表示砝码桶及砝码质量为 m 时系统转动的角加 速度，且由式（5-7）可知： ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 4 2/ 1/ 4 2 1 t t t t t t t t t t − − = − − = （5-12） 式（5-12）中， 1 t 及 2 t 分别表示系统旋转一周及两周所用的时间。将式（5-11）代入式（5-10）， 整理后得： 1 2 = A + BD （5-13） 若在直角坐标系内 2 1/ ~ D 关系为一条直线，则式（5-13）亦即式（5-10）成立，刚体 转动惯量的平行轴定理得以验证。且直线的截距 A 和斜率 B 分别为： g D mgD I I A c 2 2 1 1 0 + + = （5-14） 及 B= 1 2 mgD M （5-15） （2）D 不变，只改变刚体的方位 将质量均为 M 的两个长方体铝块对 称地置于动盘圆柱两侧的插孔上，在 保持铝块质心与动盘中心轴的距离 D 恒定的情 况下，改变铝块方位，如图 5-3 所示， 图 5-3 动盘及铝块
分别使两铝块长轴(1)平行、(2)垂直及(3)重合等。若在上述情况下，测得系统转动 一周及两周所需要的时间对应相等，亦即角加速度相等，则说明：当转轴确定后，刚体的 转动惯量 =h=+MD 2 (5-16) 只与其通过质心且平行于固定轴的转动惯量：及平行轴间距D'有关，而与刚体相对于自 身转轴转过的角度无关。它又从另一个侧面证实了平行轴定理。式(5-16)中，若测定了 动盘及整体系统的转动惯量'0及，则可求出铝块的转动惯量'。 3.验证角动量守恒定律 质点绕定轴转动的角动量L定义为其矢径r与其动量P的矢乘积，即：L=Xp。由 此可以证明，刚体绕固定轴转动的角动量，等于刚体相对于该轴的转动惯量Ⅰ乘以刚体转 动的角速度0，且其方向与角速度的方向相同，以数值表示时，为： L-@ (5-17) 当刚体在外力矩N的作用下，以角加速度a=dO/h转动时，即服从转动定律。显然， 描述刚体转动定律的式(5-1)即为式(5-17)对时间t的微商： N=dL/dh=I.(doldt） (5-18) 而当合外力矩为零时，角动量不随时间变化，即： L=I0=恒量 (5-19) 式(5-19)即角动量守恒定律。 角动量的概念及角动量守恒定律在原子物理、量 子物理及基本粒子的研究中都有很重要的作用。本实 验就是在气垫转动惯量测定仪上验证角动量守恒定 1一压缩空气：2-光电门： 律。将气垫转动惯量测定仪主体（图5-1）去掉动盘、 2一挡光板： 4定位板 细线及砝码桶，并与其附件(4)一起装配如图5-4所 5一固定板：6一圆柱式定位器 示。提起细尼龙绳，使金属球与凹盘脱离并被圆柱式 1一尼龙线： 8一金属球： 定位器嵌住，保持角速度为零。若某时刻使金属球轻 9一凹盘： 10一定位开关 缓地对心落于正以 图5-4气垫转盘与附件(4)装配 角速度)旋转的凹 盘上，二者合为一体，并以另一角速度2旋转，设凹盘与金属球绕其自身对称轴的转动 惯量分别为及2，则因合外力矩为零而满足角动量守恒定律，即：
分别使两铝块长轴（1）平行、（2）垂直及（3）重合等。若在上述情况下，测得系统转动 一周及两周所需要的时间对应相等，亦即角加速度相等，则说明：当转轴确定后，刚体的 转动惯量 1 0 2 2 I M D I I I c = + − = （5-16） 只与其通过质心且平行于固定轴的转动惯量 c I 及平行轴间距 D 有关，而与刚体相对于自 身转轴转过的角度无关。它又从另一个侧面证实了平行轴定理。式（5-16）中，若测定了 动盘及整体系统的转动惯量 0 I 及 1 I ，则可求出铝块的转动惯量 I。 3．验证角动量守恒定律 质点绕定轴转动的角动量 L 定义为其矢径 r 与其动量 P 的矢乘积，即：L=r×p。由 此可以证明，刚体绕固定轴转动的角动量，等于刚体相对于该轴的转动惯量 I 乘以刚体转 动的角速度 ，且其方向与角速度的方向相同，以数值表示时，为： L=I （5-17） 当刚体在外力矩 N 的作用下，以角加速度 = d/ dt 转动时，即服从转动定律。显然， 描述刚体转动定律的式（5-1）即为式（5-17）对时间 t 的微商： N = dL/ dt = I ( d / dt ) （5-18） 而当合外力矩为零时，角动量不随时间变化，即； L = I = 恒量 （5-19） 式（5-19）即角动量守恒定律。 角动量的概念及角动量守恒定律在原子物理、量 子物理及基本粒子的研究中都有很重要的作用。本实 验就是在气垫转动惯量测定仪上验证角动量守恒定 律。将气垫转动惯量测定仪主体（图 5-1）去掉动盘、 细线及砝码桶，并与其附件（4）一起装配如图 5-4 所 示。提起细尼龙绳，使金属球与凹盘脱离并被圆柱式 定位器嵌住，保持角速度为零。若某时刻使金属球轻 缓地对心落于正以 角速度 1 旋转的凹 盘上，二者合为一体，并以另一角速度 2 旋转，设凹盘与金属球绕其 自身对称轴的转动 惯量分别为 1 I 及 2 I ，则因合外力矩为零而满足角动量守恒定律，即： 图 5-4 气垫转盘与附件（4）装配
I0,=(41+12)0 (5-20) 若以4、52分别表示金属球与凹盘合成一体前、后转过2π所用的时间，则式(5-20) 1+12-01-2π/h-2 变为： 1022π/1341 (5-21) 式(5-21)，4、12即凹盘上的平板挡光片在两种情况下转过2π弧度的时间。而I1及'2 则可由下述方法测得：将气垫转动惯量测定仪恢复成图5-1主体结构所示的状态。然后将 转动惯量接插座扣在动盘圆柱上（插脚向上），参照实验2的方法，测出动盘与接插座系 统的转动惯量6。之后，将凹盘插在转动惯量接插座的插脚上（图5-5），以同样方法测 出动盘、接插座和凹盘系统的转动惯量【。由此求得凹盘的转动惯量： 1=1-16 (5-22) 最后，将凹盘取下，翻转转动惯量接插座（将其 插脚插入动盘圆柱的中心孔内)，再把金属球置 于转动惯量接插座的凹面上，即可以相同方法测 出动盘、接插座和金属球整个系统的转动惯'。 于是，金属球的转动惯量： L,='-I6 (5-23) 将式(5-23)代入(5-23)代入式(5-22)，得 1一压缩空气：2-光电门： 1+1r-2- 3一挡光板：4一转动惯量插接座 1-6 5一气垫滑轮：6一定位开关 7-动盘：8一凹盘：9细线 (5-24) 若式(5-24)成立，则式(5-19)成立，即角动 量守恒定律得证。 仪器的使用及调节方法 1.气垫转盘承重21×10kg/P口、故当负载2kg待测样品（包括动盘）时，所提 供的气压应不小于2kPa。气源压力应视负载大小而定，一般可选2~3kPa。 2.气垫转动惯量测定仪使用前应调节水平。方法是：取下动盘，接通气源，将水平 校准盘置于气室上表面中央，调节地脚螺丝(11)，使校准盘稳定地飘浮于气室中央，或 其各质点绕定盘内侧空腔四壁均匀而缓慢地作滚轮线运动，且改变旋轮方向时其运动方式 不变
1 1 1 2 2 I = (I + I ) （5-20） 若以 1 t 、 2 t 分别表示金属球与凹盘合成一体前、后转过 2 所用的时间，则式（5-20） 变为： 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 / 2 / t t t t I I I = = = + （5-21） 式（5-21）， 1 t 、 2 t 即凹盘上的平板挡光片在两种情况下转过 2 弧度的时间。而 1 I 及 2 I 则可由下述方法测得：将气垫转动惯量测定仪恢复成图 5-1 主体结构所示的状态。然后将 转动惯量接插座扣在动盘圆柱上（插脚向上），参照实验 2 的方法，测出动盘与接插座系 统的转动惯量 0 I 。之后，将凹盘插在转动惯量接插座的插脚上（图 5-5），以同样方法测 出动盘、接插座和凹盘系统的转动惯量 I 。由此求得凹盘的转动惯量： 1 0 I = I − I （5-22） 最后，将凹盘取下，翻转转动惯量接插座（将其 插脚插入动盘圆柱的中心孔内），再把金属球置 于转动惯量接插座的凹面上，即可以相同方法测 出动盘、接插座和金属球整个系统的转动惯 I 。 于是，金属球的转动惯量： 2 0 I = I − I （5-23） 将式（5-23）代入（5-23）代入式（5-22），得 1 2 0 2 0 t t I I I I I = − + − （5-24） 若式（5-24）成立，则式（5-19）成立，即角动 量守恒定律得证。 仪器的使用及调节方法 1．气垫转盘承重 1 10 kg / Pa −3 、故当负载 2kg 待测样品（包括动盘）时，所提 供的气压应不小于 2kPa。气源压力应视负载大小而定，一般可选 2~3kPa。 2．气垫转动惯量测定仪使用前应调节水平。方法是： 取下动盘，接通气源，将水平 校准盘置于气室上表面中央，调节地脚螺丝（11），使校准盘稳定地飘浮于气室中央，或 其各质点绕定盘内侧空腔四壁均匀而缓慢地作滚轮线运动，且改变旋轮方向时其运动方式 不变