12 束流光学 m2=m2P+(总能量-E-E) =(1-)-mey-qeV+const }-m〔- =-m2 2- -ymovy v -m =P 其他值得一提的关系有： 7V=-E 7(A·)=A 脸=)A 7(v·A)-(·7)A=vX(7XA)=vXB 此中用到：向量势A也仅依赖于位置，和粒子速度、时间都无关 即可得到结论：L的前述表示式可使最小作用量原理与洛伦 兹公式等效。 本节最有意义的结果是得到了等效折射率n=二的表达式。 从前述变分原理可见，它应该是一个标量，只能依赖于空间位置和 路径方向.该表达式符合这一要求.对于只在静电、磁场作用下的 确定的粒子（指电荷量q和初态确定，包括初始能量和起点位置 初始运动方向)，动量P只决定于空间电位，向量势的投影A,则 决定于位置和路径（当然，它们都还和初始状态有关）.请注意A
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绪论 13 关系到运动方向，故不同方向的折射率不等，所谓磁场有各向异 性.无磁场时更简单，静电场的等效折射率就是粒子动量P或某 一与之成比例的量：它呈各向同性，且与电荷量无直接关联。 本课程用动量P既描述空间（大致与电位相当），亦描述粒子 (与能量、动能、速度相当)，远比同类文献为频.这一“偏爱”米自： 某种意义上P是一个跨越了是否考虑相对论性的藩篱的更“基 本”的物理量，公式中用P(而非诸如电位、动能、速度等)可最大限 度地免去因相对论性程度不同（粒子能量高低和静止质量差异）而 带来的困惑：在束流前进的过程中，所有粒子的P大致相等，且与 P。相差甚微，它是统括全体粒子，又联系纵向和横向、物理相空间 和几何相空间的关键量：在横向磁场作用下时，P还与“磁刚度”成 正比，是粒子刚度即其轨迹抗弯折能力的重要表征. 下面列举有关P的公式.用3，Y和y一1分别表示归一化（相 对)的速度、能量（即质量）、动能，则 ☆后 =Y-1D2+(Y-1D万 dP=Fdt dE=mdy=F·ds=v·dP P=qeBp 以上诸式对是否相对论性普适.后3式中，F为外力，E为粒 子的能量，B,是横向磁场，p是轨迹曲率半径，BP称为粒子的磁 刚度 关于P的单位，低能时常用c,高能时可用GcV/c或 MeV/c对于电子，有 1%c=0.511MeV/c=2.73X10mkg·m/s 回到等效折射率.对于电子，=一1，如以阴极电位为0，初始
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14 束流光学 热运动动能可忽略，则P仅由电位V确定，所以 Pmwp+恶阿 =1.978×10×W(1+V7mc 式中，V的单位为V 等效折射率 n=P-eA 或去掉一个共同因子，取 n=V(1+eV)- 式中，量一2≈0.98×10-V-,是“相对论性修正常数”，当 V≤20kV时，一般可不计该修正因子，即让1十εV≈1，引入的相 对误差不大于1%. 无磁场且V<1时情况最简单.常称=厅为电子光学等效 折射率，在此意义上本书有时也称之为等效动量卫. 电子在电位不等的空间中运动时发生折射，此其所以吾人能 用电场约束电子之轨迹在空间中想像折射率的等值面，即电位等 位面：非垂直人射到等位面上的电子将在穿过该面时折射，使轨迹 在高电位区更贴近该面的法线，一如光穿过不同的媒质界面时 在光密媒质内向界面法线靠拢.如在穿过点附近等位曲面从高电 位区凸向低电位区，则此折射有聚焦作用；反之则散焦.此亦与几 何光学相仿.这一图像使电子光学现象更易想像。 光的折射“正弦定律”msin一sin是人们熟知的，此处0 是光与界面法线的夹角.读者可试用费马定理证明：满足正弦定律 的折线光程用时最短.假想空间电位亦有类似的两个等位区，由 界面截然分开.对电子轨迹同一定律成立，只需将式中的用动量 P替代即可.对此的粒子动力学原有解释是：电场在界面法线方 向，电子跨区行进时，其动量的法向分量增加或减小，而切向分量
à`aa@áâf ãäQ UVrÔ +&,$ £ y ! '(123 {«å<=æq¬ç £ -$+,'$ !/NvèÅÜég .$(! <êpë;èŬì/ -íî Nï±pC0 RS 1 ðñxyÜÛ Qòó'( 123Oô,-)õ+ öÛ}'(a QOQp'D £`a ÷ø12ôÆrÔùú@ QSûµQ}ÇÈOD £üý123'þÎQ' Î¥ < ! "#$ %"#&'$ ( )$ * + ,'- .ô+/01 23.40ô567 8 9:;<<=> 9 2 2 ? !"#$%&' ( )*+,@-.+/A 012345 6789:- ;<=5>B?~@CA BC DED : E BFGF+HI-JKL M- N3OPBC M8CQRSTGUVM8C 3
绪论 15 Psi0不变，因此总动量即速度的方向改变，一如发生折射.对低 能电子，法向速度有增减，质量和切向速度可认为不变：对高能电 子，则是质量随加速或减速变化，切向动量守恒，故速度呈反变化 而法向速度基本不变.两种机理看似大不相同，用动量P描述却 在形式上全无二致.由此例可体会其妙处. 束流光学与几何光学的相似性还可以从数学工具的角度 理解 前面提到，轨迹方程往往可看作线性方程：此时轨迹通过一个 “系统”的解可写作一个矩阵的形式，以代表从初始态到终态的变 换.几何光学中光学元件或系统对光线的作用也可用形式上一样 的矩阵描写，因此，两种情况下聚焦、成像和派生的概念在数学上 完全可类比.连考虑非线性问题时高阶项的数学处理手段亦彼此 相似. 最后，谈到束流光学与传统几何光学的相似性时，有几点宜 注意： 电子光学 (1)电位V在空间中一般连续变化，很难突变.电位分布可用 多层等位面通近，真实轨迹仿佛“连续折射”形成的弯曲。 (2)n=√厅的数值变化范围很大，可达数百倍. (3)因空间位场服从拉普拉斯方程，n的分布及等位面形状 到处相关，不能随意修补. (4)有磁场时各向异性：n与运动方向有关。 (5)会有色散：n与粒子初始能量有关. (6)有空间电荷等特殊问题. 与上述各点对应，几何光学 (1)折射率n可连续变化，但在媒质界面（如通过透镜）上突 变更常见. (2)天然媒质的n之比一般不大于2.5. (3)透镜表面形状可局部修正（以减少像差），而不影响其他
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16 束流光学 处的界面 (4)n也可能各向异性，如在某些晶体中. (5)也有色散：n与光的波长有关. (6)无对应问题 0.5课程内容简介 无论是电子光学还是束流传输理论，本课程皆由简及繁，由最 基本的、各种假设都成立的通用情况到某些具体的、有特殊因素要 考虑的实例：始于理想场，到简单元件的介绍，渐到各种特殊问题 较复杂的系统.请留意诸如一般与个别、共性与个性、视野之大与 小、观察之粗与细，以及知识之“薄”与“厚”（华罗庚先生语）、读楫 概念与计算练习之间在往复中深入、呈螺旋形上升的辩证关系。 算法或设计法不外乎： (1)从边界条件、初始条件出发，根据最基本的场方程、运动 方程作数值模拟运算. (2)求出（某些假设下的）近似的场或运动的解析方程，作计 算的起点 (3)求出（进一步假设下的）近似的方程解析解，估计参数变 化趋势或直接用其结果. (4)用实验、测量、图解等方法求解 以上可简称为数值计算法、半解析法、近似解析法和实验法， 也可以是它们的结合并用.对于具体问题，它们各有优劣. 称由元件设置得到场、再由场求轨迹为正算、正设计：反之，由 要求的轨迹（的某些特点）求场和元件安排，称为逆算、逆设计.电 子光学中以前法为主. 本课程假设的对象是物理类专业的研究生或本科生，有较好 的数学和物理基础，对束流运动颇感兴趣.对于他或她，本课程应 绝非“难学”之课.极而言之，束流的横向运动问题可当作电动力学
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