绪论 7 向密度分布等 本课程要用到若干束流物理的常用假设.列举如下： (1)小量假设.认为不理想程度的标志如“，'和8是小量，其 高次幂可忽略 (2)单粒子假设.认为粒子相互间、束流与环境间的作用远小 于外加场的作用，予以忽略.粒子的行为如同它是单个粒子、束流 中其他粒子不存在一般. (3)理想场假设.忽略外加场的“缺陷”，将电磁场作利于数学 处理的简化.例如，轴对称假设和区间常数假设.后者设场的参量 在元件的有效区间内为常数，而在其边界上跃变 有时某常被忽略的因素不可忽略，则借助下述假设处理之： (4)微扰假设.将该因素视为小量，求原得之解在其“微扰”下 的不太大的、与该因素大致成比例（线性）的变化. (5)冲量假设.将该因素视为短时间或短距离内起作用的“冲 量”，能改变粒子的动量使之跃变而不改变其位置，故轨迹有折转 但保持连续 这些假设如皆成立，运动方程一般只包含变量（及其一阶、二 阶导数)的一次项，故为线性方程：不同变量的方程常可以分离，即 为无耦合的单变量方程：方程的常数项为0（对于理想场、单粒子 各变量恒为0是对应于理想粒子的解)，即为齐次方程.这种单变 量的齐次线性二阶微分方程可称为粒子运动的基本方程. 深入的分析常引入与此相异的情形：高阶项的影响产生非线 性效应，又叫“像差”或“畸变”：场不尽理想时常数项不为0，对应 于中心轨迹畸变；存在耦合时不同变量相关；束流较强时，其他粒 子的存在不可忽略，其作用称为“空间电荷效应”…皆为学人深 人研究的课题，也是束流光学的“前沿”所在，本课程仅做简介.重 点是粒子轨迹的基本方程. 本节概括了本课程的主要基本概念，下文还要详述
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束流光学 0.3电子光学与束流传输理论各自的特点 本课程分为电子光学与束流传输理论两个部分，其特点分列 于下： 电子光学 (1)历史上首先形成学科。 (2)基本上只针对电子（修改后其原则亦可用于其他粒子）. (3)主要处理低能束流. (4)侧重束流的聚焦、成像、成形 (5)电子一般也被加速，其动量不是常数. (6)多用纵向聚焦元件（电磁场主方向在之向），如电子透镜， 场呈轴对称 (7)不同元件的场常互相渗透，故“不可分离” (8)主要用柱坐标系. (9)相对论效应多不明显，常用非相对论性公式，必要时再 修正. (10)是低能电子束器件原理的基础 束流传输理论 (1)逐渐从加速器物理中分离出来，与束流物理其他分支关 系更密切. (2)面向所有带电粒子. (3)处理各种能量的束流，本课程以中高能为主。 (4)满足束流传输中的各种要求：控制束截面大小、消除或产 生色散、相空间匹配等. (5)粒子能量一般不变，其动量是常数. (6)多用横向聚焦元件（电磁场与：轴垂直），如四极透镜，非 轴对称场为主. (7)元件常可分段处理
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绪论 9」 (8)基本用直角坐标系或曲线正交坐标系 (9)相对论性程度相差很大，往往不可忽略.用相对论性公 式，不必要时自然简化 (10)是各种加速器、束流加工设备，尤其复杂系统设计和运 行的重要依据之一。 两者的共性首先在于所关注的主要是粒子的横向运动，它们 的轨迹和束流的横截面（包络）.显然二者不能断然分开，与束流动 力学的其他分支亦易互相重叠. 本课程的原则是：基本不谈加速过程及加速原理：少谈纵向运 动，不谈纵向振荡（以区别于“加速器原理”课程）.认为粒子运动是 “一去不复返”的，而非“周而复始”的，粒子“记得过去”、“看不到未 来”：重视初始条件：不重视横向振荡，不谈“闭合解”与稳定性（以 区别于“储存环物理”课程)。 0.4束流光学与几何光学的相似性 今天的人们熟知粒子束和光波皆具有波粒二象性，此标题已 非惊人之语. 之所以只提几何光学，是因为带电粒子的德布罗意波长一般 很短，不易发生衍射、干涉等波动光学现象.顺便在此说明： 粒子的德布罗意波长 =卡=mc h 其中，电子的康顿波长≈0.024am,低能时0.02 （单位用V,ベ1，故低能电子束的波长cL2盟nm,一般小于 0.1nm 束流光学与几何光学的相似性的经典表述方式（哈密顿，1834
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10 束流光学 年)如下： 几何光学的基石是费马原理(17世纪)：光线在两点间传播 必取传播时间为极值之路径.用变分法表述(6为变分符号)，则为 dt=0 或 nds=0 上式中，积分是从起点沿任选路径到终点，对不同路径变分：n是 蝶质的光学折射率，沿路径方向.后一式来自一片，在变分 号下，常数因子或加一常数项皆无影响 几何光学的基本规律，如同一媒质中无阻碍时光的直线传播、 反射定律、折射定律等，皆可视为其推论.读者不难一试 粒子运动遵循质点动力学，其基石可选用“最小作用量原理” (欧拉等，18世纪)：质点在两点间运动，必取作用量最小之路径。 作用量是拉格朗日变量L的积分，即 Ldr=0 或 可上ds=0 两式在形式上完全相似.而参量二就可名为粒子运动的等效 折射率。 一番推导后，可得在静电场、磁场作用下，无论考虑相对论性 与否，都有 L=m2+qe(A·W 式中，A是磁场的向量势.而等效折射率 上=P+geA
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绪论 11 其中，A=A·是A在路径前进方向s上的投影. 推导要点设法将满足式δLdt=0的拉氏变量L写成由位 登变量？等以及速度变量：等(：=-当表达的函数。则该变 分方程可等效于欧拉方程 司-等，共3个方程此处，偏微 dt 分时将x等和元等看作彼此无关的独立变量 用两个算子分别对位置变量（对文等无作用）和速度变量（无 视x等)起作用： 7-6品+e品+6品 方=e品+e品+e员 式中，©等是实空间坐标系的单位向量.则欧拉方程可写作 d(立卫=7L,仍是3个方程. d 把前面的L表示式代入（该式当然是反过来推导的），就回到 了洛伦兹公式。 推导的关键之一是量L中有关能量的项应能分开写成“与动 能E有关的量-势能E,(十常数const.)”的形式，从而使动能与 势能分别成为两个算子互不相干的作用对象 势能E,=gV,其中V是空间电位，仅依赖于位置. 动能=m(Y1),非相对论时近似为宁西. 洛伦兹公式描述的体系只有保守场，总能量即动能与势能之 和是常数. 以较复杂的相对论性情况为例（读者不妨试以非相对论性 证之)：
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