例4研究f(z)=z+Rez的可导性. 解 设=X。+y。为z平面上任意一定点， f(z)-f(z)=1+R(z-z) 7-30 7-z0 当点z沿直线z=x+少。(-0<x<o)趋于时，有 f)-f)=1+x-=2 乙-30 x-Xo 21 例4研究f(z)=z+Rez的可导性. 当点z沿直线z=x,+y(-0<y<o)趋于时，有 f(z)-f()=1+ 乙-30 i(y-yo) =1, 故f(z)在z处不可导且由z的任意性知 f(z)处处不可导 22
例5解方程 sin=0 解 ek-e-h e2i -1 sin= =0 2i 2ie →e2=1 →e2=e2m →z=kπ. (k=0,±1，±2，) 23 例6求出(-2)2的值. 解 (-2)v2=e2i(-2) =e2i(+2k) =e2a2{cosN2(2k+1)元+isin2(2k+1)π} (k=0,±1，±2，) 24
例7试求(1+)函数值及其主值： 解 a+》H=e-iwn=eL3仔aa月 =ean仔a-c人aa回 -{居n任a} 令k=0得主值： (k=0,±1，±2，) +n=任h+任h2} 25 第三章复变函数的积分 1.复积分的计算公式及基本性质 2.复积分的基本定理 3柯西积分公式与高阶导数公式 26
积分存在的条件及计算 (1)化成线积分 设f(a)=u(,y)+iw(x,y)沿逐段光滑的曲线C 连续，则积分∫f(2)z存在，且 [f(z)dz=[ux,y)dx-Mx.y)dy+i[vx.y)dx+ux.y)dy. (2)用参数方程将积分化成定积分 设简单光滑曲线C的参数方程是 z=z(t)=x(t)+iy(t) (a≤t≤b) 则∫f(a)dz=∫心f八az')dt. 27 4.积分的性质 设f(z),g(z)沿曲线C连续。 (①Jf(z)d=-f)d: (2)fe)dz=k∫cf(z)dz (k为常数) (③)Jfa)±ga)ldz=cfa)dz±J人gz)az: (4)设C由C1,C,连结而成，则 efa)d=人fad+fa)dz (⑤)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足 f(a)≤M,那末fz)dz≤∫fads≤ML. 28