§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 定理6.3.1设X是一个拓扑空间， 是个闭区间，则X是一个正规空间 当且仅当对于X中的任意两个无交的 闭集A和B,存在一个连续映射 使得当X→[] 和兰f时=a x∈B f(x)=b
§ 6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 定理6.3.1 设X是一个拓扑空间， 是一个闭区间，则X是一个正规空间 当且仅当对于X中的任意两个无交的 闭集A和B，存在一个连续映射 使得当 时 和当 时 [ , ] a bf X a b : [ , ] → x A x B f x a ( ) = f x b ( ) =
证明：充分性由于[a,b]≥[0,1]，因此我 们只要证明[a,b]=[0,1]的情形即可. 必要性 设X是一个正规空间，A和B 是X的两个无交的闭集2，=Q⌒[0，] 2,={r(①)，r(2),r(3)}不妨设r(1)=1和 r(2)=0 继续
证明:充分性 由于 ,因此我 们只要证明[a,b]=[0,1]的情形即可. 必要性 设X是一个正规空间，A和B 是X的两个无交的闭集, . 不妨设r(1)=1和 r(2)=0 [ , ] [0,1] a b 见下图 [0,1] Q Q I = { (1), (2), (3) } Q r r r I = 继续
X A B : 0 1 U
A B 0 1 f ] X
下面我们要做的工作是对每一个有理 数r(n)∈Q,对应着A的一个开邻域 U,,使得满足条件： (1)U,0=B; (2)若(n)<(m),则UcU,m. 接下来我就用归纳的方法定义A的 这些开邻域， 见下图
下面我们要做的工作是对每一个有理 数r(n)∈QI ,对应着A的一个开邻域 Ur(n),使得满足条件： (1) ; (2) 若 ,则 . 接下来我就用归纳的方法定义A的 这些开邻域： U B r(1) = r n r m ( ) ( ) U U r n r m ( ) ( ) − 见下图
B A 继续
A B U 继续