取U,=B',U,,满足Ure EUro, 则 U,,U,2,满足(1)和(2)，设对于n>2,A 的开邻域 乙Ur0,…,乙U,m-) 已经定义 令s=max r(i|r()<r(n),i=1,…,n-1 b=max{r(i}|r(i)>r(n),i=1,…,n-1 见图
令 s r i r i r n i n = = − max{ ( }| ( ) ( ), 1, , 1} b r i r i r n i n = = − max{ ( }| ( ) ( ), 1, , 1} U B r(1) = U U r r (2) (1) − 取 ， , 满足 ， 则 满足(1)和(2),设对于n>2,A 的开邻域 已经定义. Ur(2) (1) (2) , U U r r (1) ( 1) , , U U r r n− 见图
由定理6.2.2， 选取Uro为U,的一 个开邻域使得Ur EU,从Uro的 取法可知A的者开邻域仍然满足条件 (1)和(2) 根据归纳原则，A的诸开邻域己经全 部定义，且满足条件(1)和(2) 见图
由定理6.2.2，选取Ur(n)为 的一 个开邻域使得 ，从 Ur(n)的 取法可知A的诸开邻域仍然满足条件 (1)和(2). 根据归纳原则，A的诸开邻域已经全 部定义，且满足条件(1)和(2). U U r n b ( ) − Us − 见图
定义映射：∫：X→[0,1] 使得对任意x∈X Jw=nire0xeC, 如果x廷B 如果x∈B 显然如果x∈A,则x∈U,2,所以 九x)=0;若x∈B,则x)=1
定义映射： 使得对任意 , f X: [0,1] → x X inf{ | } ( ) r r r Q x U x B f x x B = 如果 1 如果 显然如果 ,则 ，所以 f(x)=0 ；若 ，则 f(x)=1 . x A r(2) x U x B
下面证明f的连续性，我们知道 S={(a,+ola∈RU{-o,b)lb∈R 是实数空间R的一个子基，从而[0,1] 的一个子基为S=SIoW 则S=a,1ae0,)U0,b)b∈(0，U0,[0, 事实上S=S-{功，[0,1]还是[0,1]的 个子基
下面证明 f 的连续性，我们知道： 是实数空间R的一个子基，从而[0,1] 的一个子基为 则 事实上 还是[0,1]的一 个子基. S ={( , ) | } { , ) | } a a R b b R + − S S | 1 [0,1] = 1 S = {( ,1] | [0,1)} {[0, ) | (0,1]} { ,[0,1]} a a b b 1 S S= −{ ,[0,1]}