【例31】电偶极子是由两 个相距很近的等量异性点电 P(r, 0, o) 荷组成的系统,如图3.2所示。 如果q为每个点电荷的电量, 矢量的大小为l,方向由-q指 向+q,则电偶极子可以用电 偶极矩(或电矩)P=q来表 示。求电偶极子在离它很远 的空间某点P处(r>>1)产生 的电位和电场 图3.2电偶极子
【例3.1】电偶极子是由两 个相距很近的等量异性点电 荷组成的系统，如图3.2所示。 如果q为每个点电荷的电量， 矢量l的大小为l，方向由-q指 向+q，则电偶极子可以用电 偶极矩（或电矩） P=ql来表 示。求电偶极子在离它很远 的空间某点P处（r>>l）产生 的电位和电场
解: 取电偶极子沿轴正向放置于原点对称位置。正、负 点电荷到任意点的距离分别为r和:,坐标原点到任意点 的距离为r 电偶极子产生的电位为正、负点电荷产生的电位的 合成值 Φ(P)=q(11 I r-r 4re (r 4 u+r
解： 取电偶极子沿z轴正向放置于原点对称位置。正、负 点电荷到任意点的距离分别为r+和r-，坐标原点到任意点 的距离为r。 电偶极子产生的电位为正、负点电荷产生的电位的 合成值 0 0 1 1 1 ( ) 4 4 q r r r r r r − + + − + − − = − = r
当r>>l时,三矢量r+,r和近似于平行,可知 r-+≈lcos6 rr=r-cos0‖r+cos0|≈r 电位表示式变为 Φ(r) g CoS 4丌Enr
电位表示式变为 当r>>l时，三矢量r+，r-和r近似于平行，可知 2 cos cos cos 2 2 r r l l l r r r r r − + + − − = − + 2 0 ( ) cos 4 q l r r =
当0=时φ(r)=0,表示在电偶极子的垂直平分线上电位 恒等于零,原因是该面上任意点到正、负点电荷的距离相等, 它们各自产生的电位相互抵消 利用电偶极矩将电位表示为 Pcos e Φ(r) 4E04E 利用式(3.1),将Φ表示为球坐标系的分量形式最为 简单,此时仅与r和b有关。所以,电偶极子在空间任意点 生的电场为 0④ 0④ E(r) r dI P (a, 2 cos 6+ag sin 0) 4
利用式（3.1），将▽Φ表示为球坐标系的分量形式最为 简单，此时仅与r和θ有关。所以，电偶极子在空间任意点 产生的电场为 ( ) 0 2 当 = = 时 ，表示在电偶极子的垂直平分线上电位 恒等于零，原因是该面上任意点到正、负点电荷的距离相等， 它们各自产生的电位相互抵消。 r 利用电偶极矩将电位表示为 2 3 0 0 cos ( ) 4 4 r r = = P p r r 3 0 ( 1 ( ) 2co s 4 s in ) r r r r p r r = − + = + E r a a a a
当=时,E(r)=a(P/4mEr3),表示电力线垂直于 电偶极子的垂直平分面。 从φ(r)和E(r)的表示式看出它 们随距离r的变化遵循关系 Φ∝l/2和E∝1/3,它们随极 角θ变化而具方向性 =Ct<0 图3.3电偶极子的等位线和电场线
3 2 / 4 o ( ) = P r = （ ），表示电力线垂直于 电偶极子 的垂 当 时 直 分 ， 平 面。 E r a 从Φ(r)和E(r)的表示式看出它 们随距离r的变化遵循关系 Φ∝1/r 2和E ∝ 1/r 3，它们随极 角θ变化而具方向性