最小二乘配点法解壳体弯曲问题

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.04.012 北京钢铁学院学报 第9卷第4期 Journal of Beijing University Vol.9 No.4 1987年10月 of Iron and Steel Technolpgy 0ct.1987 最小二乘配点法解壳体弯曲问题 罗铭 朱孝禄 〔机械设计教研室) 摘要 本文用最小二乘配点法分析弹性光体湾曲问题。采用了加权我数法中的混合 法一事先既不满足壳体弯曲定解微分方程式亦不满足边界条件，所选试函数为文献 (1)中提到的双雪幂级数，对于4边简支圆柱壳，其数值计算解与经典解析解误差 不超过1,5%；对于悬臂圆柱壳，取其特例一悬臂板分析时，其结果与解析解误差 亦不大。用本法可以编制出壳体湾曲问题的通用计算程序。 关键词：最小二乘配点法，例柱壳，弯他，试函数 The Least-Square Collocation Method Used in Shell-Bending Problems Lo Ming Zhu Xiaolu i Abstract This paper analyses elastic shell-bending problems by means of the lea- st-square collocation method.The mixed method of MWR has been used in which the trial function-a double power series with unknown coeffi- cients can meet the requirements of neither the differentical equation of deflection in the interior of shell nor the boundary conditions.The computational results of cylindrical shells with 4 hinged edges show the errors less than 1.5 percent as compared with results of classical solu- tions.When analysing cantilever plate problems-a special case of cantile- 1986-11-191收稿 81

肠 第 卷第 期 年 月 北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 口 最小二乘配点法解壳体弯 曲问题 罗 铭 朱孝禄 机械设计教研室 摘 要 卜 本文用最小二乘配点法分析弹性壳体弯曲问题 采用了加权残数法巾的混合 法一事先既不满足壳体弯曲定解微分方程式亦不满足边界条件 ， 所选试函数为文献 〔 〕 中提到的双重幕级数 对于 边简支圆柱壳 ， 其数值计算解与经典解析 解误 差 不超过 另 对于悬臂圆柱壳 ， 取其特例一悬 臂板分析时 ， 其结果与解析解误差 亦不大 用本法可以编 制出壳体弯曲问题的通用计算程 序 关链词 最小二乘配点法 ， 圆柱壳 ， 弯曲 ， 试函 数 一 口 一 ” “ 一 一 一 三 互 。 。 一 一 一 收稿 盯 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．04．012

ver cylindrical shell,the errors are also small.The calculation of all shell-bending problems can be generaly programmed by means of the method presented in this paper. Key words:least-square collocation method,cylindrical shell, bending,trial function. 引言 在第一、二届全国加权残数法学术交流会上，许多作者通过不同的试函数用最小二 乘法分析了弹性板壳的弯曲问题。文献〔1)以双重幂级数为试函数，使用混合法分析过薄 板强度，文献C2]〔3)在边界配点法中使用了双曲三角函数为试函数，而文献〔4)分别采用 双调和方程的三类特解序列构造的试函数，探讨了二维问题的解。试函数的选择关系到 解的收敛性和精度以及程序编制的繁简程度。本文运用双重幂级数作为试函数，同样运 用混合法一一事先既不满足壳体弯曲定解微分方程式亦不满足边界条件，求解了壳体的 弯曲问题。在解题过程中，通过选择不同的配点方案和待定系数个数，对4边简支圆柱 壳和悬臂圆柱壳进行了计算。结果表明，所选用的试函数适宜，它具有很好的收敛性和 较高的精度。 用最小二乘法分析板壳问题，其程序编制极为简单，工作量和计算时间很少，且可 以编制出任意边界条件和任意载荷作用下的通用计算程序，与有限元等数值方法相比具 有很大的优越性，最小二乘法还具有其它计算方法无可比拟的优点，即误差可知，计算精 度可以控制。因此，它不失为计算力学中一种很有发展前途的数值方法。 1最小二乘配点法概述5) 研究二维域V上的某一类问题，其偏微分方程为： Lu=f 在区域V内 (1) Biu=gi 在边界S上（i=1…n) (2) 式中u为式(1)、(2)的精确解场函数，L、B:为微分算子，f、g:为不含u的已知 值。方程可以是线性、非线性的边值问题、初值问题或特征值问题。 最小二乘配点法的基本原理是寻找一个近似值4，当代人(1)、(2)式时，使 得方程残数平方之和为最小。便称为试函数，于是 u(a,×)÷4(x) (3) 式中a为待定系数，x表示区域"上的所有独立变量。于是，通过将式(3)代入式(1)、 (2)所得的残差即可进行误差估计。方程残数式为 RL（a,x)=Lu-f x∈V (4) RBi(a,x)=B:u-g1x∈S(i=1…n) (5) 式中R,和R:分别为区域内部残数和边界残数，最后在整个区域V上使加权残数平方和 82

， 一 一 ， 三 ， 日 雀旨 ‘ ‘ 二 在第一 、 二届 全 国加权残数法学术交流会上 ， 许多作者通 过不 同的试函数用 最小二 乘法分析 了弹性板壳的弯曲问题 。 文献〔 〕以 双重 幂级数为试函 数 ， 使用混合法分析过薄 板强度 ， 文献〔 〕 〔 〕在边界配 点法中使用 了双 曲三角函数为试函数 ，而文献〔 〕分别采用 双调 和方程的三 类特解序列构造的试 函数 ， 探讨 了二维问题 的解 。 试 函数的选 择关系到 解的收敛性 和精度以及程序编制的繁简程度 。 本文运 用双重 幂级数作为试函数 ， 同样运 用混合 法－ 事先既不满足 壳体弯 曲定解微分方程式亦 不满足 边 界条件 ， 求 解 了壳体的 弯曲问题 。 在解题 过程 中 ， 通过选 择不 同的配 点方案和 待定系数个数 ， 对 边简支圆柱 壳和悬臂圆柱壳进行了计算 。 结果表明 ， 所选用 的试 函数适宜 ， 它具 有很好的收敛性和 较高的精度 。 用最小二乘法分析板 壳问题 ， 其程序编制极为简单 ， 工 作量和计算时 间很少 ， 且可 以编制 出任意边 界条件和任意载荷作用 下的通用 计算程序 ， 与有限元等数值方法相比具 有很大的优越性 ‘ 最小二乘法还具有其它 计算方法无可 比拟的优 点 ， 即误差可知 ，计算精 度可以控制 。 因此 ， 它 不失为计算力学 中一种很有发展前途 的数值方法 。 最小二 乘配点法概述娜 研究二维域厂上的某一 类问题 ， 其偏微分方程 为 在区域 内 ， 在边界 上 … 式 中。 为式 、 的精确 解场 函 数 ， 、 为微分算子 ， 、 为不含 的 已 知 值 。 方程 可以 是线 性 、 非线 性的边 值问题 、 初值问题 或特征 值问题 。 最小二乘配 点法的基本原理 是 寻找一个近似值石 ， 当代 人 、 式时 ， 使 得方程残 数平方之 和为最小 。 、 便称 为试 函数 ， 于 是 ， 戈 士 “ 式 中 为待定系 数 ， 表示 区域厂上 的所 有独立变量 。 于 是 ， 通 过将式 代 人式 、 所得 的残差 即可进 行误 差估 计 。 方程残数式为 ， 。 一 〔 厂 ， “ 王孟一 〔 ‘ … 式 中 和 。 ，分别 为 区域 内部残 数 和边 界残数 ， 最后在整 个区域犷上使加 权残 数平方 和

I.(a)= 高〔Ra,)+名(w:品，CR(a,x)〕')(6) 最小，从而确定出待定系数α的最佳值。式(6)中W为边界权函数相对于区域权函数 之比。 在域V内和边界S上选择一系列点x;(j=1…m),将其坐标值逐点代入式(4)、 (5)中，于是形成加权残数方程组： R（a,x1)=L(a,x1)-f(x1) Ri(a,xx)=Lu(a,xx)-f(xx) (j=1…n)(7) WR。i(a,xkt)=W〔B:u(a,xk+i)-g:(x+)〕 WRBi(a,xm)=W Biu(a,xm)-gi(xm)) 用矩阵表示为 〔R)=〔c)〔a)-〔b〕 (8) 式中〔c〕为参数矩阵，〔a)为待定系数列阵（数月为p),且方程个数t=k+(m- k)×n≥p。 显然 Ia=〔R〕T〔R〕 (9) 为使Ia最小，令 a14=0 (10) 6a 据式（10)可以导出 〔c)T〔c)〔a〕=〔c〕T〔b) (11) 或 〔k)〔a)=〔F) (12) 式中 〔k)=〔c〕T〔c〕 (13) 〔F〕=〔c)T〔bJ (14) 式(12)为最小乘配点法的基本方程，按照式(12)编制程序计算，即可得到待定系 数a,从而可以获得定解微分方程式在满足边界条件下的近似解”，再代入式(4)、(5) 计算，可以得到近似解的误差值。由于矩阵〔k〕的阶数取决于待定系数α的个数p,而 与选点数目m无关，因此在不增加待定系数的情况下，通过增加选点数m,可以提高解 的精度。· 2圆柱壳体的弯曲问题 设圆柱形开口壳体中间面横向圆的弧半径为R,壳体厚度为h。中间面任意点M的位 置用坐标α、B来决定，其中α为沿每线到点M的距离成比例的数值，B为沿横向圆的弧 到同一点M的距离成比例的数值（图1）。若取半径R为比例系数，则a、B为无因次 坐标，其中为圆心角。于是壳体的基本方程为 83

二 二 全 〔 · · ， 一 〕 · 全 ， 二 艺 〔 ‘ · ， 、 〕 ’ ， 最小 ， 从而确定 出待定系数。 的最 佳值 。 式 中牙 为边界权函数相对于 区域权函 数 之 比 。 在域犷内和边界 上选择一系列点 ， 二 …。 ， 将其坐标值逐 点代 入式 、 中 ， 于 是 形 成加权残 数方程组 ， 一 劣 ， 戈 、 一 二 、 “ · ” 平 、 ， 、 、 砰 〔 、 ‘ ， 、 飞 一 、 义 、 ， 〕 珍 。 ， 牙 〔 ， 戈。 一 ‘ 戈 〕 用矩 阵表示 为 〔 〕 〔 〕 〔 〕 一 〔 〕 式中 〔 〕 为参 数矩 阵 ， 〔 〕 为待定系数列阵 数 目为 ， 且方程 个数 二 二 一 。 显 然 〔 〕 〔 〕 为使 最 小 ， 令 口 。 口 据式 可以导 出 〔 〕 〔 〕 〔 〕 〔 亡 〕 了 〔 〕 或 〔 〕 〔 〕 〔 〕 式中 〔 〕 〔 〕 〔 〕 〔 〕 〔 〕 〔 〕 式 为最小 乘配 点法的基本方程 ， 按照 式 编制程序计算 ， 即可得到 待 定 系 数 ， 从而 可以 获得定解微分方程式在满 足 边 界条件下 的近似解“ ， 再代 入式 、 计算 ， 可以得到近 似解的误差值 。 由于矩 阵 〔 〕 的阶数取决于 待定系数。 的个数 ， 而 与选 点数 目 无关 ， 因此在不 增加待定系 数的情况下 ， 通 过增加选 点数 ， 可以 提 高 解 的精度 。 圆柱壳体的弯曲 问题 设 圆柱形开 口壳体中间面横向圆的弧 半径为 ， 壳体厚度为 。 中间面任意 点 的位 置用坐标 、 刀来决定 ， 其中 为沿每线 到 点 的距 离成比例的数值 ， 刀为沿横 向圆 的 弧 到 同一 点 的距 离成 比例的 数值 图 。 若取半径 为 比例系数 ， 则 、 刀为 无 因 次 坐标 ， 其中刀为圆心角 。 于 是 壳体的基本方程 为

图1圆柱壳计算模型 Fig.1 Calculating modle of a cylingdrical shell 024+1-y824+1+ ⑦a2 0B2 L0+v:-（1-）RX 2 2 8a8B Eh 1+y824 2 0品+8那+1g8腔+器-1-Ry (15) Eh 8的+c27272w+w=《12)R:z Eh 式中4、”、w表示位移，X、Y、Z表示表面力，它们的正方向均示于图1，E、v分别 表示材料的弹性模量和治松比，62,7。。+二。 对于表面仅受有法向载荷的圆柱形开口壳，式(15)的三个微分方程式通过引入 一主无向函数中=中(a,B),很容易归结为一个8阶微分方程 727272v26+1-v2 D (16) 式中D为柱型刚度 Eh3 D=12(1-v2) (17) 函数中称为壳体的基本函数，通过既在壳面上满足方程(16)又满足边界条件，可 以确定出值。 引入后，尧体的位移和内力可以表示为 0a082~v0'b 83中 0a3 v= +(2+v) 03中 0a29p (18) w=7272动 84

图 圆柱壳计算模型 、 日 一 － － 日 日刀 日 口 口 盆 乙 口 十 一一代万一 二厂代 认尸 十 乙 口 口 口功 口 口忍 口 汤 一一下 一一 代二，二下犷 十 乙 口以 口 口 ， ， ，二，二 甲 方 “ 一 口 口 一 出 日刀 · 器 式中“ 、 、 日口 个 一瓦歹 十 俨 功 叨 二 一 ‘ 一 － 一 万歹下 － 大 一 “ 一 、 ， 一 一一 一石 石 一 、 “ ” … 表示位移 ， 、 、 表示表面力 ， 它 们的正 方向均示 于 图 ， 、 分别 表示材料的弹性模量 和伯 松比 。 么 “ 行 一 。 ， 日 一 气 一一 下 竺二下几尸 口仪 汀 对于表面 仅受有法 向载荷的圆柱形开 口 壳 ， 式 的三个微分方程式通 过 引 人 一主无 向函数必二 功 ， 刀 ， 很容易 归结为一个 阶微分方程 “ 功 一 口 砂 口 一 一丑上 一 式中刀为柱 型 刚度 一 函数功称为 壳体的基本函数 ， 通 过既在壳面上满 足 方程 又满足边界条件 ， 可 以确定出功值 。 引人功后 ， 壳体的位移 和 内力可以表示 为 口 厅 ︷一，一 一 日 功 口 日刀 一 〔蛊 · ‘ 一 诺备 。 名 功

N:= Eh a R 0a28B2 N:=Eh a'中 da S=- Eh·.8中 R 8u38B M:=D R （+v2)6 (19) M:=D R +v0)p6 M2=-是（1-v)、 82 aB :026 Q=D R 727272中 da Q2=- D 8 R 88 727272动 M2 b M12 M12 图2圆柱壳受力状态(。)内力图(b)内力矩图 Fig.2 Forcing states of a cylindrical sbell (a)the interior forces (b)the torques and moments 壳体的内力和力矩正方向示于图2(a)、(b)。 边界条件：根据力学的几何假设导出的壳体的基本计算模型，限制中间曲面线上 每一点的独立边界条件数等于4。现分析α为常数的边界，对于 (1)简支边：假设a方向没有边缘阻力，则 V=0,w=0,M:=0,N1=0 (20) (2)固定边： 4=0,v=0,w=0,9a 0w=0 (21) (3)自由边： N1=0,M,=0,S,=0,T1=0 (22) 其中S1、T:为克希霍夫意义下的广义横向力和广义剪力 85

产， 功 一切。产一刀 、产 一一 一门，石﹃ 湍黔粼黯尸 ‘、了 一一 一一一 令 箫 二 斋 “ ’ ‘ 一 口 日 口刀 名功 功 一 聂 ’ ’ ’ 功 汇卫 剐 图 四柱壳受力状态 “ 内力图 。 ， 内力矩图 ， 一 ， ， ， 壳体的 内力 和力矩正方向示 于 图 、 。 边 界条件 根据力学 的几 何假设导 出的 壳体的基本计算模 型 ， 限制 中间曲 面 线 上 每 一 点的独 立边 界条件数等于 。 现分析 为常数的边 界 ， 对 于 简支边 假设 方向没 有边缘阻 力 ， 则 二 ， 功 固定边 “ 一 ， ， 。 日功 ‘ ， 一 ， 一 ， 口 自由边 ， ， ， ， 其中 、 ，为 克希霍夫意义下 的广义 横向力 和广义 剪 力