工程科学学报，第37卷，第1期：118一124,2015年1月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.1:118-124,January 2015 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2015.01.018:http://journals.ustb.edu.cn 需求依赖库存的生产库存系统的最优控制 刘 明2)区，董绍华”，李险峰”，刘彩云》，庞慧” 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)铜陵学院数学与计算机学院，铜陵244061 ☒通信作者，E-mail:liuming-infor@l63.com 摘要针对现实生活中存在的库存刺激需求的现象，建立了生产库存系统的最优控制模型.模型中生产率和价格为控制 变量，库存为状态变量，并且生产率是有界的，需求率同时依赖于库存和价格.运用最大值原理对模型进行求解，根据模型参 数的不同取值，获得了三种可能的解，并对其进行了详细分析.最后将模型应用于具体算例，得到了系统状态的具体变化过 程，通过与需求不依赖于库存的情形相比较，得到了需求依赖于库存所产生的影响 关键词需求：生产：库存系统：最优控制 分类号TP273.1 Optimal control of production inventory systems with inventory-level-dependent demand LIU Ming,DONG Shao-hua,LI Xian-feng,LIU Cai-yun?,PANG Hui 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Mathematics and Computer,Tongling University,Tongling 244061,China Corresponding author,E-mail:liuming-infor@163.com ABSTRACT Considering the phenomenon of inventory stimulating demand in real life,this article introduces an optimal control model of production inventory systems.In this model,the production rate and price level are control variables,the production rate is bounded,the inventory level is state variables,and the demand rate depends on the inventory level and price level.Three possible solutions are achieved according to different values of model parameters using the maximum principle and are analyzed in detail.By applying the model to a numerical example,a concrete transformation process of the system state is presented.In comparison with the case that demand does not depend on inventory,the impact of demand depending on inventory comes to light. KEY WORDS demand:production:inventory systems;optimal control 商业环境的快速变化和信息系统的流行已经改变 等田的研究，他们运用变分法去求解生产一库存模型； 了消费者的行为，并且对商业策略产生了很大的影响. 其后Bensoussan等四将最优控制理论的应用引入到生 在消费者统治的时代，能够满足消费者需求的公司才 产库存系统中；Feichtinger和Hartl针对一个动态生 能生存下来，成为市场的胜利者.面对商业运作模式 产一库存模型，将价格作为一个给定时段的决策变量， 的迅速变化，管理者应该不仅考虑生产策略，同时也应 试图通过放松一些约束（允许缺货）来找出最优定价 考虑销售策略.换句话说，公司需要将成本最小化的 与生产之间的最优匹配：Jorgensen处理的是确定供 生产决策变量和最优生产率同最大化整体效益的销售 应一个零售商的制造商的最优生产和价格策略的问 决策变量和最优销售价格结合起来 题，而零售商面对的是依赖于价格的最终消费者需求 生产库存领域的第一个主要贡献应该是Holt 函数，他希望确定最优购买和价格策略.文献56]将 收稿日期：2013-09-18 基金项目：国家自然科学基金青年基金资助项目(61004109)：教育部人文社会科学研究青年基金资助项目(11YJC630074)
工程科学学报，第 37 卷，第 1 期: 118--124，2015 年 1 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 1: 118--124，January 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 01． 018; http: / /journals． ustb． edu． cn 需求依赖库存的生产库存系统的最优控制 刘 明1，2) ，董绍华1) ，李险峰1) ，刘彩云2) ，庞 慧1) 1) 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 2) 铜陵学院数学与计算机学院，铜陵 244061 通信作者，E-mail: liuming-infor@ 163． com 摘 要 针对现实生活中存在的库存刺激需求的现象，建立了生产库存系统的最优控制模型． 模型中生产率和价格为控制 变量，库存为状态变量，并且生产率是有界的，需求率同时依赖于库存和价格． 运用最大值原理对模型进行求解，根据模型参 数的不同取值，获得了三种可能的解，并对其进行了详细分析． 最后将模型应用于具体算例，得到了系统状态的具体变化过 程，通过与需求不依赖于库存的情形相比较，得到了需求依赖于库存所产生的影响． 关键词 需求; 生产; 库存系统; 最优控制 分类号 TP 273 + . 1 Optimal control of production inventory systems with inventory-level-dependent demand LIU Ming1，2) ，DONG Shao-hua1) ，LI Xian-feng1) ，LIU Cai-yun2) ，PANG Hui1) 1) School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Mathematics and Computer，Tongling University，Tongling 244061，China Corresponding author，E-mail: liuming-infor@ 163． com ABSTＲACT Considering the phenomenon of inventory stimulating demand in real life，this article introduces an optimal control model of production inventory systems． In this model，the production rate and price level are control variables，the production rate is bounded，the inventory level is state variables，and the demand rate depends on the inventory level and price level． Three possible solutions are achieved according to different values of model parameters using the maximum principle and are analyzed in detail． By applying the model to a numerical example，a concrete transformation process of the system state is presented． In comparison with the case that demand does not depend on inventory，the impact of demand depending on inventory comes to light． KEY WOＲDS demand; production; inventory systems; optimal control 收稿日期: 2013--09--18 基金项目: 国家自然科学基金青年基金资助项目( 61004109) ; 教育部人文社会科学研究青年基金资助项目( 11YJC630074) 商业环境的快速变化和信息系统的流行已经改变 了消费者的行为，并且对商业策略产生了很大的影响． 在消费者统治的时代，能够满足消费者需求的公司才 能生存下来，成为市场的胜利者． 面对商业运作模式 的迅速变化，管理者应该不仅考虑生产策略，同时也应 考虑销售策略． 换句话说，公司需要将成本最小化的 生产决策变量和最优生产率同最大化整体效益的销售 决策变量和最优销售价格结合起来． 生产库 存 领 域 的 第 一 个 主 要 贡 献 应 该 是 Holt 等［1］的研究，他们运用变分法去求解生产--库存模型; 其后 Bensoussan 等［2］将最优控制理论的应用引入到生 产库存系统中; Feichtinger 和 Hartl［3］针对一个动态生 产--库存模型，将价格作为一个给定时段的决策变量， 试图通过放松一些约束( 允许缺货) 来找出最优定价 与生产之间的最优匹配; Jrgensen［4］处理的是确定供 应一个零售商的制造商的最优生产和价格策略的问 题，而零售商面对的是依赖于价格的最终消费者需求 函数，他希望确定最优购买和价格策略． 文献［5--6］将
刘明等：需求依赖库存的生产库存系统的最优控制 119 其他的一些因素也包含进来，例如通货膨胀环境、销售 通过生产来满足市场的需求，但产品不是直接进入市 条款和生产规模 场，而是首先进入仓库，然后再进入市场，库存起到平 生产库存方面的文献通常假设需求是外生的，不 滑生产的作用.与以往文献不同的是，这里的市场需 管是确定的还是随机的，时变的还是时不变的，即公司 求不是外生的，而是可以通过产品定价和库存进行控 的生产库存策略不可能影响到需求.但是，市场实践 制的.在这个系统中，将产品库存水平作为表征系统 者和研究者发现，展示的库存对于需求存在刺激效 状态的变量，而将产品生产率和价格作为系统的控制 应切.库存对于需求的刺激效应至少存在两种类型： 变量.为了建立此生产库存系统的最优控制模型，首 第一种，也是较为明显的一种，称为“选择效应”，即较 先建立系统的状态方程： 多的库存为顾客提供了更多的选择，从而促使顾客购 i()=u(t)-d(t),1(o)=。>0. (1) 买的更多.当产品是不同质的时候，这种情况就会发 式中，1(t)为产品库存水平，u(t)为产品生产率，d(t) 生.一个顾客可能喜欢那种有很多“选择”的感觉，对 为产品需求率.式(1)表明，产品库存水平的变化率取 于某种商品，低库存可能会让顾客认为这些商品是别 决于产品生产率和产品需求率 人挑剩下的，质量有问题.第二种刺激效应称为“广告 效应”.大量的展示商品常常会使顾客认为，这种商品 库存 d 生产 市场 在市场上很流行，从而说明这种商品的价值较高，促使 顾客买的更多（或更频繁）.一些商家在商店中展示大 图1生产库存系统 量的库存，如超市，明显就是为了刺激需求，相关的文 Fig.1 Production inventory system 献可以参见89们.需求率依赖于库存水平的思想是 由Schary和Becker及Levin等m首先引入的，文献 这里的需求率的具体形式如下： B,12-14]等研究了在依赖于库存需求的条件下确定 d(i）=f(p(t）,I(t）)=a-bp(t)]k-I(t).(2) 最优订货和库存的问题.这些文献采用了经济订货量 式中：p(t)为产品价格：a、b和k为需求参数，正常量 (economic order quantity,EOQ)方法来确定最优订 式(2)说明，需求率不但依赖于产品价格p(t),而且依 货量. 赖于库存水平1()，并且二者存在相互作用.文 本文采用了一种不同的方法来对具有依赖于库存 献8]研究发现，商品的需求和销售趋势与展示的库 水平需求的确定性生产库存系统进行建模和分析— 存成正比，基于此我们将库存看成是对产品的一种广 最优控制.最优控制理论在许多经济、管理和工业应 告。在市场科学中存在一类价格和广告共同影响需求 用中证明了其有效性5.在本文的背景下，这种方 的模型，文献9]已经证明，广告效应应该伴随着降 法的优势在于：(1)它允许使用有限或无限周期的目 价，即两种市场工具的作用一致.因此也能看到库存 标函数，可以指定初始或（和）终端库存水平：(2)生产 与价格之间的协作效应.关于广告的最优控制可以参 率可以有上界：(3)需求率可以是时变的，也可以是库 见文献20]. 存水平依赖的：(4)可以求解模型得到最优生产和定 对于控制变量u(),p(t)存在以下约束： 价策略.本文模型将价格作为第二个决策变量，以影 0≤u(）≤U,0≤p(t)≤a/b. (3) 响消费者的需求：这是因为市场研究发现大库存对于 即：(1)考虑到控制变量的实际意义，它们不能为负： 销售的影响可能通过减价得到加强叨 (2)对产品生产率存在产能约束，而在以往的许多相 首先，对具有依赖于库存水平需求的确定性生产 关文献中为了处理问题的方便，往往不设置产能约束： 库存系统建立最优控制模型.然后，利用Pontryagin的 (3)而且为了保证产品需求率不为负，对产品的价格 最大值原理对模型进行求解，得到最优解的一组必要 也存在上限约束 条件，通过分析我们得到最优生产和定价策略及其特 从式(2)可以得到需求函数的以下性质： 性.最后，通过一个具体的数值算例，给出了所研究的 f(p,0≥0，f(p,0)=0,af/ap≤0， 生产库存系统的状态和控制变量的具体变化过程，将 a2f/ap2=0,af/al≥0，af1aP=0, 需求不依赖于库存的情形所得到的结果与本文的结果 a'f/ap al <0. (4) 进行比较，得到需求依赖于库存所产生的影响。本文 式(4)中的第二式说明，如果库存为零，那么需求 的贡献在于将价格作为决策变量，需求依赖于库存和 率为零，即没有库存就没有需求.式(4)的第三式说明 价格，生产率是有界的 需求率随价格的增加而线性减小.需求率随库存水平 线性增加意味着库存水平的边际增长对需求产生相同 1最优控制模型 的影响如.在一些文献中假设需求关于库存是凹的， 首先考虑一个如图1所示的生产库存系统.公司 而在本文中是线性的，故不存在凹函数所意味着的边
刘 明等: 需求依赖库存的生产库存系统的最优控制 其他的一些因素也包含进来，例如通货膨胀环境、销售 条款和生产规模． 生产库存方面的文献通常假设需求是外生的，不 管是确定的还是随机的，时变的还是时不变的，即公司 的生产库存策略不可能影响到需求． 但是，市场实践 者和研究者发现，展示的库存对于需求存在刺激效 应［7］． 库存对于需求的刺激效应至少存在两种类型: 第一种，也是较为明显的一种，称为“选择效应”，即较 多的库存为顾客提供了更多的选择，从而促使顾客购 买的更多． 当产品是不同质的时候，这种情况就会发 生． 一个顾客可能喜欢那种有很多“选择”的感觉，对 于某种商品，低库存可能会让顾客认为这些商品是别 人挑剩下的，质量有问题． 第二种刺激效应称为“广告 效应”． 大量的展示商品常常会使顾客认为，这种商品 在市场上很流行，从而说明这种商品的价值较高，促使 顾客买的更多( 或更频繁) ． 一些商家在商店中展示大 量的库存，如超市，明显就是为了刺激需求，相关的文 献可以参见［8--9］． 需求率依赖于库存水平的思想是 由 Schary 和 Becker［10］及 Levin 等［11］首先引入的，文献 ［8，12--14］等研究了在依赖于库存需求的条件下确定 最优订货和库存的问题． 这些文献采用了经济订货量 ( economic order quantity，EOQ) 方 法 来 确 定 最 优 订 货量． 本文采用了一种不同的方法来对具有依赖于库存 水平需求的确定性生产库存系统进行建模和分析——— 最优控制． 最优控制理论在许多经济、管理和工业应 用中证明了其有效性［15--16］． 在本文的背景下，这种方 法的优势在于: ( 1) 它允许使用有限或无限周期的目 标函数，可以指定初始或( 和) 终端库存水平; ( 2) 生产 率可以有上界; ( 3) 需求率可以是时变的，也可以是库 存水平依赖的; ( 4) 可以求解模型得到最优生产和定 价策略． 本文模型将价格作为第二个决策变量，以影 响消费者的需求; 这是因为市场研究发现大库存对于 销售的影响可能通过减价得到加强［17］． 首先，对具有依赖于库存水平需求的确定性生产 库存系统建立最优控制模型． 然后，利用 Pontryagin 的 最大值原理对模型进行求解，得到最优解的一组必要 条件，通过分析我们得到最优生产和定价策略及其特 性． 最后，通过一个具体的数值算例，给出了所研究的 生产库存系统的状态和控制变量的具体变化过程，将 需求不依赖于库存的情形所得到的结果与本文的结果 进行比较，得到需求依赖于库存所产生的影响． 本文 的贡献在于将价格作为决策变量，需求依赖于库存和 价格，生产率是有界的． 1 最优控制模型 首先考虑一个如图 1 所示的生产库存系统． 公司 通过生产来满足市场的需求，但产品不是直接进入市 场，而是首先进入仓库，然后再进入市场，库存起到平 滑生产的作用． 与以往文献不同的是，这里的市场需 求不是外生的，而是可以通过产品定价和库存进行控 制的． 在这个系统中，将产品库存水平作为表征系统 状态的变量，而将产品生产率和价格作为系统的控制 变量． 为了建立此生产库存系统的最优控制模型，首 先建立系统的状态方程: I · ( t) = u( t) － d( t) ，I( 0) = I0 ＞ 0． ( 1) 式中，I( t) 为产品库存水平，u( t) 为产品生产率，d( t) 为产品需求率． 式( 1) 表明，产品库存水平的变化率取 决于产品生产率和产品需求率． 图 1 生产库存系统 Fig． 1 Production inventory system 这里的需求率的具体形式如下: d( t) = f( p( t) ，I( t) ) =［a － bp( t) ］·k·I( t) ． ( 2) 式中: p( t) 为产品价格; a、b 和 k 为需求参数，正常量． 式( 2) 说明，需求率不但依赖于产品价格 p( t) ，而且依 赖于库 存 水 平 I ( t) ，并 且 二 者 存 在 相 互 作 用． 文 献［18］研究发现，商品的需求和销售趋势与展示的库 存成正比，基于此我们将库存看成是对产品的一种广 告． 在市场科学中存在一类价格和广告共同影响需求 的模型，文献［19］已经证明，广告效应应该伴随着降 价，即两种市场工具的作用一致． 因此也能看到库存 与价格之间的协作效应． 关于广告的最优控制可以参 见文献［20］． 对于控制变量 u( t) ，p( t) 存在以下约束: 0≤u( t) ≤U ，0≤p( t) ≤a / b． ( 3) 即: ( 1) 考虑到控制变量的实际意义，它们不能为负; ( 2) 对产品生产率存在产能约束，而在以往的许多相 关文献中为了处理问题的方便，往往不设置产能约束; ( 3) 而且为了保证产品需求率不为负，对产品的价格 也存在上限约束． 从式( 2) 可以得到需求函数的以下性质: f( p ，I) ≥0，f( p ，0) = 0，f / p≤0， 2 f / p 2 = 0，f / I≥0， 2 f / I 2 = 0， 2 f / p I ＜ 0． ( 4) 式( 4) 中的第二式说明，如果库存为零，那么需求 率为零，即没有库存就没有需求． 式( 4) 的第三式说明 需求率随价格的增加而线性减小． 需求率随库存水平 线性增加意味着库存水平的边际增长对需求产生相同 的影响［21］． 在一些文献中假设需求关于库存是凹的， 而在本文中是线性的，故不存在凹函数所意味着的边 · 911 ·
·120 工程科学学报，第37卷，第1期 际回报递减.式(4)中的最后一式，即需求关于价格和 H(t(t),u(t),p(t),a(t))= 库存水平的混合二阶偏导数为负，意味着库存对于需 smHT(0,u(0),p(0,Ao).(8) 求的边际影响随着价格的降低而增加.这个性质反映 由式(8)有： 了市场科学文献中的一个发现：大库存对于需求的影 入>c, 响可以用低价来进行加强。 u(t)=∈D,0A=c, (9) 不同于以往文献中仅考虑成本最小化，本文结合 0 入<c. 公司的实际运行，将目标函数设为： ra/b 入≥ab, J=p(0d0-cu0-h0]山.(5) p(t)= (a+bA)2bA∈(-a/b,a/b),(10) 0 入≤-a/b. 式中，c为单位产品的生产成本，h为单位时间单位产 由以上两式，根据入()的取值情况将解分成以下 品的库存成本，均为正常数.由式(5)可知，这里的目 五种情形 标函数为在规划周期D,T刀内公司的纯利润总和，其 R1:a(t)≤-a/b,u'(t）=p(t)=0 中p0d0d山为销售收入，。u(d为生产成 i(t）=-akI(t）,i(t）=ak入+h. 本，h~0山为库存成本。由于在这里考虑的是相 R2:-a/b<A<c,u(）=0,p(t)=(a+bd)2b i(t)=-kI(t)·(a-bd)2, 对较短时期内的规划问题，故是否引入贴现因子对于 i(t)）=h-k(a-ba)2/4b. 结果的影响不大. 在本文的系统中不允许缺货，即I(t)在任何时候 R3:A=c,p'(t）=(a+bc)2b,u'()∈D,0 都不能小于零.由i()）lo=u(t)-f(p(）,0)= i(t)=u(t)-k-1(t）·(a-ba)/2, u(t),u(t)≥0，可以得到I(t）≥0.若I(t)=0(t∈ (t)=h-k(a-be)2/4b. 4),则此时i0=u()=0,利润为了p, R4:c<A<a/b,u(t）=U,p(t）=(a+bA)/2b i(t)=U-kI(t）·(a-bn)/2, 0)-c"u-h刀dl=0:但若在此时间段内I(t)>0,肯 (t)=h-k(a-b)2/46. 定可以找到使p(p,0)-cu-h刀d>0成立 R5:A≥a/b,u'(t)=U,p'(）=a/b 的p(t)和u(),否则此问题就失去了实际意义.因 i()=U,i()=h. 此，得到I()>0,即不允许缺货的条件是自动满足的， 对于情形R3,若要保持入(t)=c,则A(t)=h-k(a- 与以往文献类似，在这里也不对库存水平的上限进行 bc)2/4b=0,即参数要满足h=k(a-bc)2/4b,情形R3 约束.因此这里不存在对库存水平I()的额外约束. 才能持续.对于此种特殊情况，这里暂不予考虑，故 此生产库存问题的最优控制模型为： R3不能保持，只能作为过渡状态 maxJ=p-d()-cu()-h-1(]d. 在这里，我们按参数h、k、a、b和c的相对关系分 为三种情况. s.ti()=u(t)-d(),1(0)=lo, A:k(a-be)2/4b<h<ka2/b; d(t）=fp(）,I(i))=a-bp()]kI(t）, B:h >ka2/b; 0≤u(t）≤U,0≤p(t)≤a/b. C:h<k(a-be)2/4b; 2最优生产和定价策略 即单位库存成本为中等、较大和较小的情况 通过分析，得到以下结论 对于上节中的最优控制模型，令Hamilton函数为 命题1上述生产库存系统的最优生产和定价策 H(I,u,p,A,t)=p(t)f(p(t),I(t))-c-u(t)- 略为： hI(t)+x:[u(t)-f(p(),I(0)]= A:k(a -bc)2/4b<h<ka2/b,R2; -bkI(t）·(p-(a+bA)2b)2+(A-c)·u()+ B:h>ka2/b,R1→R2: bkI(t)[a+ba)/26]2(aak+h)1(t). C:h<k(a-bC)2/4b,R4→R3→R2. 由最大值原理有，若u(t)、p(t)和I(t)为最 具体证明过程见附录. 优解，则存在入()使下列条件得到满足： 为了对求出的最优策略和系统的状态变化过程有 i=u-f(p(t）,r(),r(0)=。: (6) 更深刻的了解，下面对这三种情况进行详细的分析. (t）=-aH/al= A:k (a-bc)2/4b<h<ka2/b: k-p()]·[a-bp'(0]+h,A(T)=0:(7) R2:-a/b<A<c,u (t)=0,p (t)=(a+bA)/2b
工程科学学报，第 37 卷，第 1 期 际回报递减． 式( 4) 中的最后一式，即需求关于价格和 库存水平的混合二阶偏导数为负，意味着库存对于需 求的边际影响随着价格的降低而增加． 这个性质反映 了市场科学文献中的一个发现: 大库存对于需求的影 响可以用低价来进行加强． 不同于以往文献中仅考虑成本最小化，本文结合 公司的实际运行，将目标函数设为: J = ∫ T 0 ［p( t)·d( t) － c·u( t) － h·I( t) ］dt． ( 5) 式中，c 为单位产品的生产成本，h 为单位时间单位产 品的库存成本，均为正常数． 由式( 5) 可知，这里的目 标函数为在规划周期［0，T］内公司的纯利润总和，其 中 ∫ T 0 p( t)·d( t) dt 为销售收入，∫ T 0 c·u( t) dt 为生产成 本，∫ T 0 h·I( t) dt 为库存成本． 由于在这里考虑的是相 对较短时期内的规划问题，故是否引入贴现因子对于 结果的影响不大． 在本文的系统中不允许缺货，即 I( t) 在任何时候 都不能小于零． 由 I · ( t) | I( t) = 0 = u( t) － f( p( t) ，0) = u( t) ，u( t) ≥0，可以得到 I( t) ≥0． 若 I( t) = 0 ( t∈ ( t1，t2 ) ) ，则此时 I · ( t) = u( t) = 0，利润为 ∫ t2 t1 ［p·f( p， 0) － c·u － h·I］dt = 0; 但若在此时间段内 I( t) ＞ 0，肯 定可以找到使 ∫ t2 t1 ［p·f( p ，0) － c·u － h·I］dt ＞ 0 成立 的 p( t) 和 u( t) ，否则此问题就失去了实际意义． 因 此，得到 I( t) ＞ 0，即不允许缺货的条件是自动满足的， 与以往文献类似，在这里也不对库存水平的上限进行 约束． 因此这里不存在对库存水平 I( t) 的额外约束． 此生产库存问题的最优控制模型为: maxJ = ∫ T 0 ［p·d( t) － c·u( t) － h·I( t) ］dt． s． t． I· ( t) = u( t) － d( t) ，I( 0) = I0， d( t) = f( p( t) ，I( t) ) =［a － b·p( t) ］·k·I( t) ， 0≤u( t) ≤U，0≤p( t) ≤a / b． 2 最优生产和定价策略 对于上节中的最优控制模型，令 Hamilton 函数为 H( I，u，p，λ，t) = p( t)·f( p( t) ，I( t) ) － c·u( t) － h·I( t) + λ·［u( t) － f( p( t) ，I( t) ) ］= － bkI( t)·( p － ( a + bλ) /2b) 2 + ( λ － c)·u( t) + bkI( t) ［( a + bλ) /2b］2 － ( aλk + h) I( t) ． 由最大值原理有，若 u* ( t) 、p* ( t) 和 I * ( t) 为最 优解，则存在 λ( t) 使下列条件得到满足: I ·* = u* － f( p* ( t) ，I * ( t) ) ，I * ( 0) = I0 ; ( 6) λ · ( t) = － H / I = k［λ － p* ( t) ］·［a － b·p* ( t) ］+ h，λ( T) = 0; ( 7) H( I * ( t) ，u* ( t) ，p* ( t) ，λ( t) ) = max 0≤u≤U，0≤p≤a/ b H( I * ( t) ，u( t) ，p( t) ，λ( t) ) ． ( 8) 由式( 8) 有: u* ( t) = U λ ＞ c， ∈［0，U］ λ = c， 0 λ ＜ { c． ( 9) p* ( t) = a / b λ≥a / b， ( a + bλ) /2b λ∈( － a / b，a / b) ， 0 λ≤ － { a / b． ( 10) 由以上两式，根据 λ( t) 的取值情况将解分成以下 五种情形． Ｒ1: λ( t) ≤ － a / b，u* ( t) = p* ( t) = 0 I · ( t) = － ak·I( t) ，λ · ( t) = akλ + h． Ｒ2: － a / b ＜ λ ＜ c，u* ( t) = 0，p* ( t) = ( a + bλ) /2b I · ( t) = － k·I( t)·( a － bλ) /2， λ · ( t) = h － k( a － bλ) 2 /4b． Ｒ3: λ = c，p* ( t) = ( a + bc) /2b，u* ( t) ∈［0，U］ I · ( t) = u* ( t) － k·I( t)·( a － bλ) /2， λ · ( t) = h － k( a － bc) 2 /4b． Ｒ4: c ＜ λ ＜ a / b，u* ( t) = U，p* ( t) = ( a + bλ) /2b I · ( t) = U － k·I( t)·( a － bλ) /2， λ · ( t) = h － k( a － bλ) 2 /4b． Ｒ5: λ≥a / b，u* ( t) = U，p* ( t) = a / b I · ( t) = U，λ · ( t) = h． 对于情形 Ｒ3，若要保持 λ( t) = c，则 λ · ( t) = h － k( a － bc) 2 /4b = 0，即参数要满足 h = k( a － bc) 2 /4b，情形 Ｒ3 才能持续． 对于此种特殊情况，这里暂不予考虑，故 Ｒ3 不能保持，只能作为过渡状态． 在这里，我们按参数 h、k、a、b 和 c 的相对关系分 为三种情况． A: k( a － bc) 2 /4b ＜ h ＜ ka2 / b; B: h ＞ ka2 / b; C: h ＜ k( a － bc) 2 /4b; 即单位库存成本为中等、较大和较小的情况． 通过分析，得到以下结论． 命题 1 上述生产库存系统的最优生产和定价策 略为: A: k( a － bc) 2 /4b ＜ h ＜ ka2 / b，Ｒ2; B: h ＞ ka2 / b，Ｒ1→Ｒ2; C: h ＜ k( a － bc) 2 /4b，Ｒ4→Ｒ3→Ｒ2． 具体证明过程见附录． 为了对求出的最优策略和系统的状态变化过程有 更深刻的了解，下面对这三种情况进行详细的分析． A: k( a － bc) 2 /4b ＜ h ＜ ka2 / b; Ｒ2: － a / b ＜ λ ＜ c，u* ( t) = 0，p* ( t) = ( a + bλ) /2b · 021 ·
刘明等：需求依赖库存的生产库存系统的最优控制 ·121 i()=-kI(t)·(a-b)/2,I(0)=1o, (A7)所示，由入(L)=c可以得到转换时间 i(t)=h-k(a-bM)2/4b,A(T）=0. 2 。=T+ (2a-bA2-be)A2 -.In- 此时A(t)如附录A式(A7)所示，将其代入状态 k(b以，-a) (2a-b2)(2-c) 方程并对等式两边同时进行积分可得： 而对于非齐次方程i(t)+k1(t)·(a-ba)2= 1)=cep{2n[2a-ep(乞·(bM:-a)· U,可以根据常数变易法，由前面求出的齐次方程 i()）+kI(t)·(a-b)2=0的通解求出其解： u-n)门+,-a)} (11) 告低-小- 由I(O)=。可以求出cr 此时，由于单位库存的边际价值低于单位产品的 ep((6i-a)u-n)]+ 生产成本，故不进行生产，而价格与单位库存的边际价 值的变化趋势相同，库存则不断的减少，但一直大 2(a). b入2 于零 bA2-a 2a-b入， B:h>ka'/b; R1:A(t）≤-a/b,u(t）=p(d)=0 ep空·(i-a)-n)]} i(t)=-ahI(）,I(0)=1。,入(t）=ak入+h. 再由I(0)=。可以求得c 由i()=-ak-l(t)有I()=cexp(-aha),而I(0)= 此时由于单位库存的边际价值大于单位产品的生 Io,故I(t)=I。exp(-ak).由入(t)=akλ+h有A= 产成本，故按最大产能进行生产。价格随着单位库存 [exp(ak (t+c))-h]/ak,(t)=-a/b. 边际价值的变化而变化，当单位库存的边际价值降到 在此阶段，由于库存的边际价值太低，特有库存和 c后，系统转到下一种情形 进行生产都是无利的.为了尽快消除库存，将价格取 R2:-a/b<A<c,u(t）=0,p(t）=(a+bn)/2b 为零，使得需求最大，同时不进行生产，随着时间的增 i(t)=-kI(t）·(a-ba)2, 加，库存不断的减少，需求也不断降低，从而使得库存 A(t）=h-k(a-b)2/4b,A(T）=0. 减少的速度变缓，当库存的边际价值达到-a/b时进 A(t)和I()如式(A7)及(11)所示.由I(t)的连 入下一个阶段. 续性，即本阶段的I()与上一阶段的I(t)相等，可以 R2:-a/b<A<c,u'(t）=0,p(t）=(a+b)2b 求出c- i(t）=-kI(t)·(a-ba)2, 在此阶段，由于单位库存的边际价值低于单位产 i(t)=h-k(a-bM)2/4b,A(T）=0. 品的生产成本，故不再进行生产.价格取为(a+bλ)/ 同样可以得到入()和I(t)如式(A7)及(11)所示，由 2b,由于h-k(a-bn)2/4b<0,故i(t)<0,p(t)= 入(t)=-ab可以得到 入()/2<0，即价格不断下降使得需求增大，库存不断 t.=T+/k(bA2 a)].In [(3a-bA2)bA2/ 降低使得需求减小，但库存总是保持在零水平之上 (2a-bd2)(a+b2)], 系统最后终止于终端时间T 代入上一阶段入()的表达式即可求出c,而对于 从以上分析我们仅能得到最优生产策略的具体情 I(t)由I(t)=I。exp(-ah)可以求得c 况，而对于最优定价策略和库存的具体变化过程却难 在此阶段，由于单位库存的边际价值低于单位产 以得到.在下一节中，我们将通过一个具体的算例对 品的生产成本，故仍然不进行生产，但价格不再为零， 最优定价策略和库存的具体变化过程进行说明，并与 而是随着单位库存的边际价值发生变化，且变化趋势 需求不依赖于库存的情形的结果进行对比，从而得到 相同，库存仍然不断减少，但始终保持在零水平之上. 需求依赖于库存所产生的影响. 在这里，考虑到u(t)的分段连续性，在3中取 3数值算例 u(t)=U,故可将R3和R4合并成R4来考虑. C:h<k(a-be)2/4b; 3.1需求依赖于库存的数值算例 R4:c≤A<a/b,u(t)=U,p(t）=(a+bA)/2b 某生产库存系统的相应参数为a=40,b=3,k= i(t）=U-kI(t）·(a-b)/2,I(0)=lo, 0.1,U=50,c=6,h=3.2,T=360,则k(a-bc)2/4b= i(t）=h-k(a-bA)2/4b. 4.03,故h<k(a-bc)2/4b,即符合情况C,单位库存成 结合R2的情况及前面的分析可知，入(，)仍如式 本较低.对于初始库存水平，取两种值：Io=20和1。=
刘 明等: 需求依赖库存的生产库存系统的最优控制 I · ( t) = － k·I( t)·( a － bλ) /2，I( 0) = I0， λ · ( t) = h － k( a － bλ) 2 /4b，λ( T) = 0． 此时 λ( t) 如附录 A 式( A7) 所示，将其代入状态 方程并对等式两边同时进行积分可得: I( t) = cI · { [ exp 2ln b ^ λ2 2a － bλ^ 2 ( － exp k 2 ·( b ^ λ2 － a)· ( t － T ) ] ) + k 2 ·( b ^ λ2 － a)·t ． } ( 11) 由 I( 0) = I0 可以求出 cI ． 此时，由于单位库存的边际价值低于单位产品的 生产成本，故不进行生产，而价格与单位库存的边际价 值的变 化 趋 势 相 同，库存则不断的减少，但 一 直 大 于零． B: h ＞ ka2 / b; Ｒ1: λ( t) ≤ － a / b，u* ( t) = p* ( t) = 0 I · ( t) = － ak·I( t) ，I( 0) = I0，λ · ( t) = akλ + h． 由 I · ( t) = － ak·I( t) 有 I( t) = cI ·exp( － akt) ，而I( 0) = I0，故 I( t) = I0 ·exp( － akt) ． 由 λ · ( t) = akλ + h 有 λ = ［exp( ak( t + cλ ) ) － h］/ ak，λ( tc) = － a / b． 在此阶段，由于库存的边际价值太低，持有库存和 进行生产都是无利的． 为了尽快消除库存，将价格取 为零，使得需求最大，同时不进行生产，随着时间的增 加，库存不断的减少，需求也不断降低，从而使得库存 减少的速度变缓，当库存的边际价值达到 － a / b 时进 入下一个阶段． Ｒ2: － a / b ＜ λ ＜ c，u* ( t) = 0，p* ( t) = ( a + bλ) /2b I · ( t) = － k·I( t)·( a － bλ) /2， λ · ( t) = h － k( a － bλ) 2 /4b，λ( T) = 0． 同样可以得到 λ( t) 和 I( t) 如式( A7) 及( 11) 所示，由 λ( tc) = － a / b 可以得到 tc = T +［2 / k( b ^ λ2 － a) ］·ln［( 3a － b ^ λ2 ) b ^ λ2 / ( 2a － b ^ λ2 ) ( a + b ^ λ2 ) ］， 代入上一阶段 λ( t) 的表达式即可求出 cλ，而对于 I( t) 由 I( tc) = I0 ·exp ( － aktc) 可以求得 cI ． 在此阶段，由于单位库存的边际价值低于单位产 品的生产成本，故仍然不进行生产，但价格不再为零， 而是随着单位库存的边际价值发生变化，且变化趋势 相同，库存仍然不断减少，但始终保持在零水平之上． 在这里，考虑到 u( t) 的分段连续性，在 Ｒ3 中取 u* ( t) = U，故可将 Ｒ3 和 Ｒ4 合并成 Ｒ4 来考虑． C: h ＜ k( a － bc) 2 /4b; Ｒ4: c≤λ ＜ a / b，u* ( t) = U，p* ( t) = ( a + bλ) /2b I · ( t) = U － k·I( t)·( a － bλ) /2，I( 0) = I0， λ · ( t) = h － k( a － bλ) 2 /4b． 结合 Ｒ2 的情况及前面的分析可知，λ( t) 仍如式 ( A7) 所示，由 λ( tc) = c 可以得到转换时间 tc = T + 2 k( b ^ λ2 － a) ·ln ( 2a － b ^ λ2 － bc) ^ λ2 ( 2a － b ^ λ2 ) ( ^ λ2 － c) ． 而对于非齐次方程 I · ( t) + k·I( t)·( a － bλ) /2 = U，可以 根 据 常 数 变 易 法，由前面求出的齐次方程 I · ( t) + k·I( t)·( a － bλ) /2 = 0 的通解求出其解: I( t) [ = exp k 2 ·( b ^ λ2 － a)· ] t ·{ cI'·[ b ^ λ2 2a － b ^ λ2 － ( exp k 2 ·( b ^ λ2 － a)·( t － T ) ] ) 2 + 2U k · [ exp k 2 ·( b ^ λ2 － a)· ] T b ^ λ2 － a ·[ b ^ λ2 2a － b ^ λ2 － ( exp k 2 ·( b ^ λ2 － a)·( t － T) ) ] } ． 再由 I( 0) = I0 可以求得 cI' ． 此时由于单位库存的边际价值大于单位产品的生 产成本，故按最大产能进行生产． 价格随着单位库存 边际价值的变化而变化，当单位库存的边际价值降到 c 后，系统转到下一种情形． Ｒ2: － a / b ＜ λ ＜ c，u* ( t) = 0，p* ( t) = ( a + bλ) /2b I · ( t) = － k·I( t)·( a － bλ) /2， λ · ( t) = h － k( a － bλ) 2 /4b，λ( T) = 0． λ( t) 和 I( t) 如式( A7) 及( 11) 所示． 由 I( t) 的连 续性，即本阶段的 I( tc) 与上一阶段的 I( tc ) 相等，可以 求出 cI ． 在此阶段，由于单位库存的边际价值低于单位产 品的生产成本，故不再进行生产． 价格取为( a + bλ) / 2b，由于 h － k( a － bλ) 2 /4b ＜ 0，故 λ · ( t) ＜ 0，p · ( t) = λ · ( t) /2 ＜ 0，即价格不断下降使得需求增大，库存不断 降低使得需求减小，但库存总是保持在零水平之上． 系统最后终止于终端时间 T． 从以上分析我们仅能得到最优生产策略的具体情 况，而对于最优定价策略和库存的具体变化过程却难 以得到． 在下一节中，我们将通过一个具体的算例对 最优定价策略和库存的具体变化过程进行说明，并与 需求不依赖于库存的情形的结果进行对比，从而得到 需求依赖于库存所产生的影响． 3 数值算例 3. 1 需求依赖于库存的数值算例 某生产库存系统的相应参数为 a = 40，b = 3，k = 0. 1，U = 50，c = 6，h = 3. 2，T = 360，则 k( a － bc) 2 /4b = 4. 03，故 h ＜ k( a － bc) 2 /4b，即符合情况 C，单位库存成 本较低． 对于初始库存水平，取两种值: I0 = 20 和 I0 = · 121 ·
·122· 工程科学学报，第37卷，第1期 230.图2~图6分别为初始库存取这两种数值时的价 55 格水平、需求水平和库存水平的变化趋势图.图中标 50 号为1的是。=20的情形，标号为2的是。=230的 情形，标号为3的是3.2中的需求不依赖于库存的情 5 形.图中的横轴均为时间.为了使图像更为精确，将 30 横轴的单位取为110单位时间. 5 当1。=20时，p(0)=10.07,d(0）=19.60,u(0)= 20 50,故此时1(0)>0，即库存开始增加，同时需求也由 于库存的增加而增加.在0≤1≤349.7的这段时间内， 505001000150020002500300035004000 p(t)=10.07,u(t)=50.当t=13.6时，库存增加到 51.03,而需求水平则增加到50，即与生产率相同，由 图4需求水平(1,3) 于生产率与价格将保持不变，故库存和需求也将保持 Fig.4 Demand level (I.3) 现在的水平，不再变化.当t=349.7时，价格p(t)开 6 始迅速下降，但生产率仍然保持不变，因此需求开始上 50 升，库存水平开始下降.当1=358.2时，生产率变为 零，价格仍然迅速下降，库存开始迅速下降，导致需求 40 也开始迅速下降，此过程一直保持到规划周期结束， 930 p(T)）=6.67,d(T=7.91,1(T)=3.95. 20 12 10 06501001500200025003000350400 图5库存水平1 Fig.5 Inventory level 1 1000 900 800 00 700 5001000150020002500300035004000 600 至500 图2价格水平(1,2,3) 400 Fig.2 Price level (I.2.3) 300 250 200 100 2 200 5001000150020002500300035004000 150 图6库存水平(2,3) Fig.6 Inventory level (2.3) 100 内，p(）=10.07,u(）=50.当t=15.4时，库存降低 到51.03，而需求水平则降低到50，即与生产率相同， 065001000150020002500300035004000 由于生产率与价格将保持不变，故库存和需求也将保 持现在的水平，不再变化.此后的情况与1。=20时相 图3需求水平2 同，不再赘述. Fig.3 Demand level 2 可以看到，当。取上述两种数值时，价格水平的 变化趋势是完全一致的，需求水平和库存水平的变化 当1。=230时，p(0)=10.07,d(0)=225.35, 趋势的后面部分也是一致的，存在差异的仅仅是需求 u(0)=50,故i(0)<0,即库存开始减少，同时需求也 水平和库存水平变化趋势的开始部分.不论1。取什么 由于库存的减少而减少.在0≤1≤349.7的这段时间 值，库存都将迅速变化到给定值，即51.03，同时需求
工程科学学报，第 37 卷，第 1 期 230． 图 2 ～ 图 6 分别为初始库存取这两种数值时的价 格水平、需求水平和库存水平的变化趋势图． 图中标 号为 1 的是 I0 = 20 的情形，标号为 2 的是 I0 = 230 的 情形，标号为 3 的是 3. 2 中的需求不依赖于库存的情 形． 图中的横轴均为时间． 为了使图像更为精确，将 横轴的单位取为 1 /10 单位时间． 当 I0 = 20 时，p( 0) = 10. 07，d( 0) = 19. 60，u( 0) = 50，故此时 I · ( 0) ＞ 0，即库存开始增加，同时需求也由 于库存的增加而增加． 在 0≤t≤349. 7 的这段时间内， p( t) = 10. 07，u( t) = 50． 当 t = 13. 6 时，库存增加到 51. 03，而需求水平则增加到 50，即与生产率相同，由 于生产率与价格将保持不变，故库存和需求也将保持 现在的水平，不再变化． 当 t = 349. 7 时，价格 p( t) 开 始迅速下降，但生产率仍然保持不变，因此需求开始上 升，库存水平开始下降． 当 t = 358. 2 时，生产率变为 零，价格仍然迅速下降，库存开始迅速下降，导致需求 也开始迅速下降，此过程一直保持到规划周期结束， p( T) = 6. 67，d( T) = 7. 91，I( T) = 3. 95． 图 2 价格水平( 1，2，3) Fig． 2 Price level ( 1，2，3) 图 3 需求水平 2 Fig． 3 Demand level 2 当 I0 = 230 时，p ( 0 ) = 10. 07，d ( 0 ) = 225. 35， u( 0) = 50，故 I · ( 0) ＜ 0，即库存开始减少，同时需求也 由于库存的减少而减少． 在 0≤t≤349. 7 的这段时间 图 4 需求水平( 1，3) Fig． 4 Demand level ( 1，3) 图 5 库存水平 1 Fig． 5 Inventory level 1 图 6 库存水平( 2，3) Fig． 6 Inventory level ( 2，3) 内，p( t) = 10. 07，u( t) = 50． 当 t = 15. 4 时，库存降低 到 51. 03，而需求水平则降低到 50，即与生产率相同， 由于生产率与价格将保持不变，故库存和需求也将保 持现在的水平，不再变化． 此后的情况与 I0 = 20 时相 同，不再赘述． 可以看到，当 I0 取上述两种数值时，价格水平的 变化趋势是完全一致的，需求水平和库存水平的变化 趋势的后面部分也是一致的，存在差异的仅仅是需求 水平和库存水平变化趋势的开始部分． 不论 I0 取什么 值，库存都将迅速变化到给定值，即 51. 03，同时需求 · 221 ·