§5.3a衰变的基本理论 1.a粒子与原子核的相互作用 Gamow and Gurney, 1928 F a粒子在衰变前已经在母核内形成,并自由地高速运动;由于隧道效应,a 粒子以一定几率穿过相互作用位垒发射出来。衰变几率: n:单位时间内a粒子碰撞势垒的次数 P:穿透几率。 问题:核内形成a集团并获得高能量的机制和概率; (课堂讨论) a粒子在核内的运动; 表面作用和穿透 作用势: 内部作用力很小,作用势近似为常数; 表面有很强的吸引力,作用势很快升高; 核外只有库仑相互作用 图59a衰变的势能曲线
§5.3 α 衰 变 的 基 本 理 论 1．α 粒子与原子核的相互作用 Gamow and Gurney, 1928 年: α粒子在衰变前已经在母核内形成，并自由地高速运动；由于隧道效应，α 粒子以一定几率穿过相互作用位垒发射出来。衰变几率： λ = nP n：单位时间内α粒子碰撞势垒的次数； P: 穿透几率。 问题：核内形成α集团并获得高能量的机制和概率； (课堂讨论) α粒子在核内的运动； 表面作用和穿透 作用势： 内部作用力很小，作用势近似为常数； 表面有很强的吸引力，作用势很快升高； 核外只有库仑相互作用
近似 当厂<R时 ()={2(Z-2)e 你r≥R时 4er 思考题:用测不准关系估计a粒子在势井中的最小 动能。 2.库仑势垒 势能曲线在母核的外围突起,称为库仑势垒。r=R处,子核对于a粒子的库仑势 垒高度 =(R)=22e ZZe2 4zE0R4(43+A3) 式中A1和A2分别表示子核和a粒子的质量数。显然,对于任何两个原子核,设其电荷 数和质量数分别为Z1,A1和Z2,A2,则两核相互作用的库仑势垒高度 Z? 4TEo(A3+4) r0一般取值145×1013cm。用能量单位MeV表示库仑势垒高度时,式可近似地简写为 Z1Z2
近似： ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≥ − − < = 时当 时当 Rr r eZ V Rr rV 4 )( )2(2 0 2 0 πε 思考题：用测不准关系估计α粒子在势井中的最小 动能。 2. 库仑势垒 势能曲线在母核的外围突起，称为库仑势垒。r＝R 处，子核对于α 粒子的库仑势 垒高度 (44 ) )( 3/12 3/1100 2 21 0 2 21 c AAr eZZ R eZZ RVV + === πεπε 式中 A1 和 A2 分别表示子核和α 粒子的质量数。显然，对于任何两个原子核，设其电荷 数和质量数分别为 Z1，A1和 Z2，A2，则两核相互作用的库仑势垒高度 )(4 3/12 3/1100 2 21 c AAr eZZ V + = πε r0一般取值 1.45×10-13cm。用能量单位 MeV 表示库仑势垒高度时，式可近似地简写为 3/1 2 3/1 1 21 c AA ZZ V + ≈
3.经典理论的困难 例如2Po的a衰变能为895MeV但a衰变时的库仑势垒高度V为2MeV,比a 衰变能895MeV要大得多。 而从经典观点看,a粒子要从核内发射出来,要求a衰变能大于势垒高度。 4.a衰变的量子理论 由量子力学知道,微观粒子具有一定的概率能够穿透势垒,这种现象称为“隧道效 应”。根据“隧道效应”,经典力学所不能解释的a衰变就成为可能了。 按量子力学的势垒穿透理论(=0,一维问题),a粒子穿透势垒的概率为(WKB方法) 2一h2 2u[v(r)-Ea ldr = exp E 4丌Enr 式中,p为a粒子与子核的折合质量, 2122e Re Ed=v(re=4IsR ze R。 4兀E。E,, 显然: V/Ed=r/r
3. 经典理论的困难 例如 84 212 Po 的α 衰变能为 8.95MeV 但 α 衰变时的库仑势垒高度 Vc为 22MeV，比α 衰变能 8.95MeV 要大得多。 而从经典观点看，α 粒子要从核内发射出来，要求α 衰变能大于势垒高度。 4．α 衰变的量子理论 由量子力学知道，微观粒子具有一定的概率能够穿透势垒，这种现象称为“隧道效 应”。根据“隧道效应”，经典力学所不能解释的α 衰变就成为可能了。 按量子力学的势垒穿透理论（l=0,一维问题），α 粒子穿透势垒的概率为(WKB 方法) ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧−== − ∫ P rErV RR G d])([2 2 expe c d - μ h ⎪⎭ ⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ −= − ∫ rE r R eZZ R d 4 2 2 exp 1/2 d 0 2 21 c πε μ h 式中，μ为α 粒子与子核的折合质量， Rc： Ed＝V(Rc)= c0 2 21 4 R eZZ πε ， d0 2 21 c 4 E eZZ R πε = ， 显然： = cdc // RREV
下面推导出表变常量和能量Ea的关系 G 2 2122 eada 4Ta 2√2uE R 对积分号下作变量变换,令 x= arccos R (推导) 则 2R、2uE h x(r)--sin2x(r) 2R、2E h 其中 R R arcc RR2)2 R R RR 可见G是(R的函数。也就是E的函数,使用时可查图表
下面推导出衰变常量 λ和能量 E d的关系。 rE r eZZ G R R d 4 2 2 1/2 d 0 2 21 c ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − πε μ h r r E R R R d1 22 c 2/1 d c ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − h μ 对积分号下作变量变换，令 2/1 c arccos ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = R r x （推导） 则 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − )(2sin 2 1 )( c 22 d RxRx ER G h μ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = c c d 22 R ER R ψ μ h 其中 2/1 2 c 2 c 2/1 c c arccos ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ R R R R R R R R ψ 可见 G 是 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Rc R 的函数。也就是 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ c d V E 的函数，使用时可查图表
R 由于(或p)通常不大于3,在一级近似下 1/2 R R l/2 2R√2ExR .2R R 为了便于和实验作比较,式可写为 2(z-2)e24e[(z-2)R]2 28h/E VIE h 于是a粒子穿透势垒的概率成为 P=c)√(z-224e[(z-2)R2 2EohyEC 衰变常量 a=nP 令R'为母(R≈R)核半径,U为a粒子在子核内运动的速度,则 2R′ 得衰变常量a与能量Ed的关系式 2(Z-2)e24e[u(Z-2)R2 exp 2R 26h√Ed Te h
由于 c d V E （或 Rc R ）通常不大于 13 ，在一级近似下 2/1 c c 2 2 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ −≈⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ RR RR π ψ ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = − 2/1 c c d 2 2 22 R ER R G μ π h 为了便于和实验作比较，式可写为 h 0 h 2/1 d0 2 ])2([4 2 )2(2 πε μ ε μ RZe E eZ G − − − = 于是α 粒子穿透势垒的概率成为 ⎪⎭ ⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧ − + − −= h 0 h 2/1 d0 2 ])2([4 2 )2(2 exp πε μ ε μ RZe E eZ P 衰变常量 λ=nP 令 R′为母（ R ≈ R ' ）核半径，υ为α 粒子在子核内运动的速度，则 R n ′ = 2 υ 得衰变常量λ与能量 Ed 的关系式 ⎪⎭ ⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧ − + − − ′ = h 0 h 2/1 d0 2 ])2([4 2 )2(2 exp 2 πε μ ε υ μ λ RZe E eZ R