由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形 式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主 元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵, 将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行 满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下 联系: 定理:如果A=BC=B1均为矩阵A 的满秩分解,那么 (1)存在矩阵∈C满足 B=B,0, C=8CI
由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形 式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主 元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵， 将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行 满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下 联系： 定理：如果 均为矩阵 的满秩分解，那么 （1） 存在矩阵 满足 A BC BC = = 1 1 A n n Cn 1 1 1 B B C C , − = =
C(CC)(B"B) B (2) H =C(CC1")(B"B1)B 矩阵的正交三角分解 例:设A∈C n×n ,那么A可唯一地分解 为 A=UR 或 A=RU
（2） 矩阵的正交三角分解 例： 设 ，那么 可唯一地分解 为 或 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) H H H H H H H H C CC B B B C C C B B B − − − − = n n A Cn A A RU = 1 1 A UR =
其中U2U∈U,R是正线上三角矩 阵,R1是正线下三角矩阵。 证明:先证明分解的存在性。将矩阵A按列 分块得到 由于A∈C n×n ,所以 是线性无关的。利用 Schmidt正交化与单位 化方法,先得到一组正交向量组
其中 ， 是正线上三角矩 阵， 是正线下三角矩阵。 证明：先证明分解的存在性。将矩阵 按列 分块得到 由于 ，所以 是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位 化方法，先得到一组正交向量组 1 , n n U U U R R1 A A = 1 2 n n n A Cn 1 2 , , , n
B1,B2,…,B 再单位化,这样得到一组标准正交向量组 77,77 nA 并且向量组之间有如下关系
1 2 , , , n 并且向量组之间有如下关系 1 2 , , , n 再单位化，这样得到一组标准正交向量组
2171+c27 C2=C2 31 322 C 3373 ●鲁 Cn=Cn171+cn27h2+……+cm17 其中Gn=1>0,i=1,2…,n,于 是有
1 11 1 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 33 3 n n n nn n 1 1 2 2 c c c c c c c c c = = + = + + = + + + 其中 ，于 是有 0, 1,2, , ii i c i n = =