2.F(x,y,z)=0 隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0, yn,ao)的某一邻域内有连续的偏导数,且F(x, Ayn,z)=0,F(x,yn,z)≠0,则方程F(x,y 牛2)=0在点P(x11)的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 工工工 z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0), Oz F z 并有 ax F O 上页
隐函数存在定理 2 设函数F(x, y,z)在点 ( , P x0 , ) 0 0 y z 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ( , F x0 y0 ,z0 ) = 0，Fz (x0 , y0 ,z0 ) 0，则方程F(x, y, z) = 0在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x, y)，它满足条件 ( , ) 0 0 0 z = f x y ， 并有 z x F F x z = − ， z y F F y z = − . 2. F(x, y,z) = 0
例3设x2+y2+x2-4z=0,求 04z ax 2 解令F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z, 则F =2x,F=2z-4 az x ax F (2-孔)+x (2-z)+x ax 2 2-砂3= (2-z) (2-z)2+x2 (2-z)3 上页
例 3 设 4 0 2 2 2 x + y + z − z = ，求 2 2 x z . 解 令 则 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z = x + y + z − z F 2x, x = F = 2z − 4, z , 2 z x F F x z z x − = − = 2 2 x z 2 (2 ) (2 ) z x z z x − − + = 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x − − − + = . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x − − + =
例4设乙=f(x+y+z,z),求Qar ax ay az 庄路把看成,的函数对求偏导数得数 ax 把x看成乙,y的函数劝求偏导数得, 把y看成x,z的函数对求偏导数得 a 解令=x+y+,"=x, 则z=f(u,) 上页
例 4 设z = f ( x + y + z, xyz)，求 x z ， y x ， z y . 思路： 把z看成x, y 的函数对x 求偏导数得 x z ， 把x看成z, y的函数对y 求偏导数得 y x ， 把y看成x,z的函数对z 求偏导数得 z y . 解 令 u = x + y + z, v = xyz, 则 z = f (u,v)