§2线性方程组的误差分析 / Error Analysis for Linear system of Equations * 求解Ax=b时,A和b的误差对解x有何影响? >设A精确,误差δb,得到的解为x+δx,即 绝对误差放大因子 A(x+8x)=b+8b →6x=A8b→6x<业4m 相对误差放大因子 又‖b=‖A‖s‖A‖·‖‖→ b‖ bxl‖l lSb b
§2 线性方程组的误差分析 /* Error Analysis for Linear system of Equations */ 求解 Ax b 时，A 和 的误差对解 有何影响？ = b x ➢ 设 A 精确， b 有误差 ，得到的解为 ，即 b x x + A x x b b ( + ) = + x A b −1 = || || || || || || 1 x A b − 绝对误差放大因子 || b || || Ax || || A|| || x || 又 = || || || || || || 1 b A x || || || || || || || || || || || || 1 b b A A x x − 相对误差放大因子
8 2 Error Analysis for Ax=b 设b精确 A|·A‖是关键x+Sx,即 的误差放大因子,称为 的条件数,记为cond(A4), 越大则A越病 难得准确解。 A(x+)+S4(x (A+d4)x+(4+d4)G=b =-4-S4(+&c →(4+d4)a=-4x l ac A4(I+A4)=-64x s‖A‖·G4‖ lx+&x‖ &c=-(+A SA) A SAx 4|-1A31D 4‖ A‖l (要高充分使得 sd#+4<1 is Invertib ‖4t·才田 ‖<‖A-‖‖4‖ A c‖-1-‖A-l·‖4‖ 4| A‖l
§2 Error Analysis for Ax b . = ➢ 设 b 精确，A有误差 ，得到的解为 ，即 A x x + A A x x b ( + )( + ) = A x x A x x b ( + )+ ( + ) = ( ) 1 x A A x x = − + − || || || || || || || || || || || || || || || || 1 1 A A A A A A x x x = + − − A A x A A x b ( + ) + ( + ) = A A x Ax ( + ) = − A I A A x Ax + = − − ( ) 1 x I A A A Ax 1 1 1 ( ) − − − = − + Wait a minute … Who said that ( I + A−1 A ) is invertible? (只要 A充分小，使得 || || || || || || 1 ) 1 1 − − A A A A || || || || 1 || || || || || || || || || || || || 1 || || || || || || || || || || || || 1 1 1 1 A A A A A A A A A A A A x x − = − − − − − 是关键 的误差放大因子，称为 A的条件数，记为cond (A) , 越 则 A 越病态， 难得准确解。 || || || || −1 A A 大
82 Error Analysis for Ax=b 注:cond(4)的昊体大小与‖·‖的取法有关,但相对 大小—致。 cond(4)取决于A,与解题方法无关 cond(a) dA‖l.‖b‖l ‖-1-cond(A川&A‖∥A‖A‖‖b‖ 纔常用条件数有: om(n)eom(42com(4)2=3(44-(4小 特别地,若A对称,则cond(42 max m 条件数的性质: 国A可逆,则cond(A)≥1; 国A可逆,a∈R则cond(aA)=cond(4 国A正交,则con(4)2=1; 国A可逆,R正交,则cond(RA)2=cond(4R)2=cond(4)2
§2 Error Analysis for Ax b . = 注: cond (A) 的具体大小与 || · || 的取法有关，但相对 大小一致。 cond (A) 取决于A，与解题方法无关。 + − || || || || || || || || 1 ( )|| || || || ( ) || || || || b b A A cond A A A cond A x x 常用条件数有： cond (A)1 cond (A) cond (A)2 ( )/ ( ) max A A min A A T T = 特别地，若 A 对称，则 min | | max | | ( ) 2 cond A = 条件数的性质： A可逆，则 cond (A)p 1； A可逆， R 则 cond ( A) = cond (A) ； A正交，则 cond (A)2=1； A可逆，R正交，则cond (RA)2 = cond (AR)2 = cond (A)2
82 Error Analysis for Ax= b 099 199 例:A= b 0990.98 1.97 精确解为x 98009900 计算cond(4)2 9900 10000 解:考察A的特征根 de(-A)=0→孔 1.980050504 2=-0.000050504 cond (a) 39206>>1 12 测试病态程度: 给b一个扰动Sb 0.97×104 ,其相对误差为 0.106×10 lb‖ ≈0.513×10-<0.01%此时精确解为x b|2 1.0203 a =x*一x 2≈2,0102>200% 2.0203
§2 Error Analysis for Ax b . = 精确解为 . 1 1 x = 例： = = 1.97 1.99 , 0.99 0.98 1 0.99 A b 计算cond (A)2 。 − − 9900 10000 9800 9900 A−1 = 解：考察 A 的特征根 det(I − A) = 0 0.000050504 1.980050504 2 1 = − = = 2 1 2 ( ) cond A 39206 >> 1 测试病态程度： 给 b 一个扰动 − = − − 3 4 0.106 10 0.97 10 b ，其相对误差为 0.513 10 0.01% || || || || 4 2 2 − b b 此时精确解为 − = 1.0203 3 x* − = − = 2.0203 2 x x * x 2 2 || || || || x x 2.0102 > 200%
82 Error Analysis for Ax= b 112 例: Hilbert阵H +1 2n cond(H2)oo= 27 cond(H3)≈748 eom(H)2=2.9×105comd(Hn)→∞asm→∞ 注:一般判断矩阵是否病态,并不计算A1,而由经验 得出。 G行列式很大或很小(如某些行、列近似相关) 元素间相差大数量级,且无规则; G主元消去过程中出现小主元; G特征值相差大数量级
§2 Error Analysis for Ax b . = 例：Hilbert 阵 = + 2 −1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 n n n n Hn cond (H2 ) = 27 cond (H3 ) 748 cond (H6 ) = 2.9 106 cond (Hn )→ as n → 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A−1，而由经验 得出。 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级