定理4( Korovkin)设线性正算子序列Ln(/;x)满足条件 (1)Ln(;x)=1+an(x) ( 2)L,(cost; x) B,(x) (3)L, (sin t; x)=sin x+r,(x) 其中an(x),Bn(x),yn()在区间6]上一致收敛与零又设函数/()有界且具 有周期2z在区间[ab]上连续于点b右连续于点a左连续在上述条件下序列 Ln(/;x)在小]上一致收敛于f( 证明对于对于函数f(x)定理3的条件满足由此不等式(3.5)与(36)成立其 中第一个适于一切x与t的值,而第二个为一下条件所约束 ≤x≤b,p-x 对固定的x(a≤x≤b)依这些不等式类似定理3中(37)式的证明,可得 y()<f(t)-f(x)<E 其中 由不等式(39)得到 EL,(1; x)--L,(; x)<LnU; x)-f(x)L, (1 x) EL,(1; x)+ 6 L,(v; x) 但是v()=,(- corcos- sin xsin I) TRE Ln(; x)==L,(1; x)-cosxL, cost; x)-sin xL,(sin t; x)) (1+a, (x)-cos2x-cosxB, (x)-sin2x-sin xy (x)) =1(n、()-(x)csx-2(mxy=6(x) 其中6(x)于区间[ab]上一致收敛于零依上述等式及定理条件可推出不等式
定理 4(Korovkin) 设线性正算子序列 L (f x) n ; 满足条件: (1) L ( x) a (x) n =1+ n 1; . (2) L ( t x) x (x) n = + n cos ; cos (3) L ( t x) x (x) n n sin ; = sin + 其中 a (x) n , (x) n , (x) n 在区间 a,b.上一致收敛与零;又设函数 f (t).有界且具 有周期 2 ,在区间 a,b 上连续,于点 b 右连续,于点 a 左连续.在上述条件下,序列 L (f x) n ; 在 a,b 上一致收敛于 f (x) 证明 对于对于函数 f (x),定理 3 的条件满足,由此不等式(3.5)与(3.6)成立,其 中第一个适于一切 x 与 t 的值,而第二个为一下条件所约束: a x b, t − x . 对固定的 x ( a x b ),依这些不等式,类似定理 3 中(3.7)式的证明,可得 ( ) ( ) ( ) (t) M t f t f x M 2 sin 2 2 sin 2 2 2 − − − + (3.9) 其中 ( ) 2 sin 2 t x t − = , a x b, − x 由不等式(3.9)得到 ( ) L ( x) L ( f x) f (x)L ( x) M L x n n n n ; ; 1; 2 sin 2 − 1; − − ( ) L ( x) M L x n n ; 2 sin 2 1; 2 + . (3.10) 但是 (t) (1 cos x cost sin x sin t) 2 1 = − − . 于是 Ln ( x) Ln (1; x) cos x Ln (cost; x) sin xLn (sin t; x) 2 1 ; = − − . n (x) x x n (x) x x n (x) 2 2 3 1 cos cos sin sin 2 1 = + − − − − n (x) n (x)cos x n (x)sin x 2 1 2 = − − = (x) n 其中 (x) n 于区间 a,b 上一致收敛于零.依上述等式及定理条件可推出,不等式
(310)右边在区间[,b上一致收敛于E而左边一致收敛于-E因此有N,使得当 n>N,a≤x≤b时有不等式 E<L,U x))Ln(1; x)<2. 由此可以推出 L, U; x)-(x)Ln(1; x)=a,(x) 其中λn(x)在区间b上一致收敛于零从而依据定理条件得到 n U; x)- f(x)=a,(x)+fx Ln (1; x)-1) =a,(x)+f(ka, (x)=v,(x) 其中vn(x)在区间叵b上一致收敛于零于是序列L2v;x)在这个区间上一致收 敛于函数f(x) 注记请注意在定理3与定理4的证明过程中我们已经指明如果序列Ln(:x) 在区间[6]上一致收敛于而序列Ln(v;x)(在定理3中,v()=(-x)2在定理4 中,v()=sn2-x在这区间上一致收敛于零那么这些定理是正确的 验证在所述诸定理中指出的这两个条件而非三个条件在多数情形下是较易 实现的 下面研究特殊的算子序列的一致收敛性 引理2设函数o(x)满足条件 (1)o(x)在区间[cc>0上连续 (1)g(x)=1;当x≠0,x∈[cc]时,0≤ox)<1
(3.10)右边在区间 a,b 上一致收敛于 ,而左边一致收敛于 − .因此有 N ,使得当 n N , a x b 时,有不等式 − 2 L (f ; x)− f (x)L (1; x) 2 n n 由此可以推出. L (f x) f (x)L ( x) (x) n − n = n ; 1; , 其中 (x) n 在区间 a,b 上一致收敛于零.从而依据定理条件得到 Ln (f ; x)− f (x) = n (x)+ f (x)Ln (1; x)−1 = (x) f (x) (x) v (x) n + n = n 其中 v (x) n 在区间 a,b 上一致收敛于零,于是序列 L ( x) n ; 在这个区间上一致收 敛于函数 f (x). 注记 请注意,在定理 3 与定理 4 的证明过程中我们已经指明,如果序列 L ( x) n 1; 在区间 a,b 上一致收敛于1,而序列 L ( x) n ; (在定理3中, ( ) ( ) 2 t = t − x ;在定理4 中, ( ) 2 sin 2 t x t − = )在这区间上一致收敛于零,那么这些定理是正确的. 验证在所述诸定理中指出的这两个条件,而非三个条件,在多数情形下是较易 实现的. 下面研究特殊的算子序列的一致收敛性. 引理 2 设函数 (x) 满足条件: (1) (x) 在区间 − c,c, c 0 上连续, (1) (x) =1 ;当 x 0 , x− c,c 时, 0 (x) 1
若令0≤δ<c固定, 1n=(及1(6)=9( 则 lim -(6) → 证明我们有 1=o(=(+门。q(x+o( 厂"(x+o"(x1+1() 由于函数(x)在区间[c-上连续可设q1=max(x)#由引理条件(2) 推出0<q1<1同理q2=max(x)<1 令q=引()=mx{n2q2},则在集[c-。]和{,d]上函数ox)满足不等式 0≤o(x)≤q=(6)<1 据此有 0≤。g(x)+o(x<q"(-6)+q(e-)<2y 现在来估计()依x)在点x=0#处的连续性及(0)=1,对于 E=1-q>0有可>0(6<6)使得当闻<时有 q 由此再依函数叫(x)的正性得到
若令 0 c 固定, I (x)dx c c n n − = 及 I ( ) (x)dx n n − = 则 ( ) 1 lim = → n n n I I 证明 我们有 I (x)dx (x)dx (x)dx (x)dx c n n c n c c n n = = + + − − − − ＝ ( ) ( ) ( ) n c n c n x dx + x dx + I − − (3.11) 由于函数 (x) 在区间 − c,− 上连续,可设 q (x) c x c 1 max − = #..由引理条件(2) 推出 0 q1 1,同理 2 = max ( ) 1 q x x c ． 令 q = q( ) = maxq1 ,q2,则在集 − c,− 和 ,c 上函数 (x) 满足不等式 0 (x) q = q( ) 1 据此有 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n c n c n 0 x dx + x dx q c − + q c − 2cq − − ． (3.12) 现在来估计 ( ) n I 依 (x) 在 点 x = 0 #. 处的连续性及 (o) =1 ., 对 于 0 2 1 − = q 有 1 0 （ 1 ）.使得,当 1 x 时,有 ( ) q q q x = + − = ~ 2 1 1 由此再依函数 (x).的正性,得到
ln=。g(xk≥上q(x)>26” 由(3.11)与(3.12推出 n(6)≤ln<ln(O)+2cq 把这些不等式各部分除以ln()并注意到不等式(313得到 1m2>91+/g 2cg"<1+2e 由于q>q所以上面的不等式的右边趋于1,由此便证明了引理 定理5设函数o(x)满足引理2的条件且 InL o"(xb 又设函数f(x)在区间[]上连续则算子序列 L0x)=1(x(-x(0≤b-a≤c) 在区间[a+δb-。](d>0)上一致收敛于函数f(x) 证明:依定理4的注记,要证明定理只需验证,在区间{a+δ,b-]上序 列Ln(x)一致收敛于1且序列Ln(x)一致收敛于零此处v()=(-x)2 我们有 Ln(l: x)=ro"(-xyde 令z=1-x,则得 L (1: x)= (z 我们指出,a+δ≤x≤b-,故 a-x≥a-(b-6)=8-(b-a)≥δ-c>-c a-x≤a-(a+)=-6 b-x≥b-(b-)=6
( ) ( ) n n n I n x dx x dx q ~ 2 1 1 1 − − = (3.13) 由(3.11)与(3.12)推出 ( ) ( ) n n n n I I I + 2cq 把这些不等式各部分除以 ( ) n I .并注意到不等式(3.13),得到 ( ) ( ) n n n n n n n q q q c cq cq I cq I I + + = + ~ 1 ~ 2 2 1 2 1 1 1 (3.14) 由于 q q ~ ,所以上面的不等式的右边趋于 1,由此便证明了引理. 定理 5 设函数 (x) 满足引理 2 的条件且 I (x)dx c c n n − = 又设函数 f (x) 在区间 a,b 上连续,则算子序列 ( ) f (t) (t x)dt I L f x n b a n n = − 1 ; （ 0 b − a c ） 在区间 a +,b − （ 0 ）上一致收敛于函数 f (x) 证明：依定理 4 的注记，要证明定理只需验证，在区间 a +,b − 上序 列 L ( x) n 1; 一致收敛于 1,且序列 L ( x) n ; 一致收敛于零,此处 ( ) ( ) 2 t = t − x . 我们有 ( ) (t x)dt I L x n b a n n = − 1 1; . 令 z = t − x ,则得 ( ) (z)dz I L x b x a x n n n − − = 1 1; 我们指出, a + x b − .,故 a − x a −(b − ) = −(b − a) − c −c a − x a −(a + ) = − b − x b −(b − ) =
(a+)=(b-a)-6≤c-6<c 由此再依函数叫(x)的正性有 l()-=o"(≤,g(≤"(=n ln(6) ≤厂,(=L1(x)≤1 又依引理2,上述最后的不等式的左边趋于1,因此若 n>N,E>0,a+δ≤x≤b-,则有不等式 1-E<Ln(;x)≤1,-E<Ln(0;x)-1≤0 这就验明了序列Ln(x)在区间[a+b-。上一致收敛于零剩下的是要 验证序列Ln(v;x)在这一区间上一致收敛于零,其中v()=(-x),我们有 <Ln(v; x)=( 由于a-x≥c,而b-x≤c且函数o(x)#在区间#cd]上是正的所以 0<Ln((; x)sL="(-x)dt 2+9(k 分=20( 在第一与第二积分号下x≤c2,而在第三积分号下二2≤a2.因而 0<1x(k+(起户上o(k 依不等式(3.12)得到
b − x b −(a + ) = (b − a)− c − c 由此再依函数 (x) 的正性有 ( ) ( ) ( ) ( ) n c c n b x a x n n n I = z dz z dz z dz = I − − − − . ( ) ( ) = (1; ) 1 − − z dz L x I I n b x a x n n n 又依引理 2, 上 述 最 后 的 不 等 式 的 左 边 趋 于 1, 因此若 n N , 0, a + x b − ,则有不等式 1− Ln (1; x) 1， − Ln (1; x)−1 0 这就验明了序列 L ( x) n 1; 在区间 a +,b − 上一致收敛于零.剩下的是要 验证序列 L ( x) n ; 在这一区间上一致收敛于零，其中 ( ) ( ) 2 t = t − x ,我们有 ( ) (t x) (t x)dt I L x n b a n n = − − 2 1 0 ; z (z)dz I b x a x n n − − = 1 2 由于 a − x −c ,而 b − x c .且函数 (x) #.在区间# − c,c 上是正的,所以 ( ) z (t x)dt I L x n c c n n − − 2 1 0 ; = z (z)dz z (z)dz I n c a n a c n + − − 1 2 2 z (z)dz I n a a n − + 1 2 在第一与第二积分号下 2 2 z c ,而在第三积分号下 2 2 z a .因而 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − + + a a n n c a n a c n n n z dz I a z dz z dz I c I x 2 2 0 ; 依不等式(3.12)得到