n 2M 2 因此存在自然数N使得当n>N时 C<62 (2.4) 综合(22),(2.3)和(2.4),即可知 Weierstrass第二定理成立 §3.线性正算子与 Korovkin定理 设叫{x)对集E中每一个x,在区间a≤【≤b并上关于t都连续,则积分 L(,x)=((x)x)=o)y(=gx) (31) 对于每一在区间叵b上连续的函数f(x)都确定了一个函数g(x)=L0f;x) 定义1设已知函数集F,如果对于集F中的每一函数∫(),均有一个函数 o(x)=H(,x)与之对应则说在函数集F上定义了算子H(,x)=H(()x) 定义2称算子H(,x)是线性的如果随着f()与g(),属于它的存在域 qf(t)+bf()(其中a与b为任意的实数地属于它的存在域且成立如下等式 例1由31)式定义的算子L(f,x)是线性的 事实上由下列等式即可以推出算子L(,x)的线性性质 L(1+:)=ox)(1()+m10) alp(,if(dt +Blo(,n2(dt
C1 ( ) ( ) dt t x f x f t n I n t x 2 1 cos 2 − − − 2 2 1 2 cos 2 n I n M ( ) ( ) q n n n M 2 2 1 !! 2 !! 2 − = q n M n 2 4 ． 因此存在自然数 N 使得当 n N时 2 2 C （2.4） 综合（2.2），（2.3）和（2.4），即可知 Weierstrass 第二定理成立． §３．线性正算子与 Korovkin 定理 设 (x,t) 对集 E 中每一个 x , 在区间 a t b #上关于 t 都连续, 则积分 L(f x) L(f (x) x) (x t)f (t)dt g(x) b a = = = ; ; , （3.1） 对于每一在区间 a,b 上连续的函数 f (x) 都确定了一个函数 g(x) = L(f ; x). 定义 1 设已知函数集 F, 如果对于集 F 中的每一函数 f (t), 均有一个函数 (x) = H(f ; x) 与之对应,则说在函数集 F 上定义了算子 H(f ; x) = H(f (t); x). 定义 2 称算子 H(f ; x) 是线性的,如果随着 f (t) .与 g(t) .属于它的存在域, af (t)+ bf (t) .(其中 a 与 b 为任意的实数)也属于它的存在域且成立如下等式: H(af +b; x) = aH(f ; x)+bH(; x). 例 1 由(3.1)式定义的算子 L(f ; x).是线性的. 事实上,由下列等式即可以推出算子 L(f ; x).的线性性质: L( f f x) (x t)( f (t) f (t))dt b a 1 2 1 2 + ; = , + = (x t)f (t)dt (x t)f (t)dt b a b a 1 2 , , +
=a(6;x)+B(;x) 例2设n(x),u2(x),…,L(x)为定义于集E上的函数令 其中∫()为在实数集,12,…,n上有定义的函数可以证明算子H(,x) 是线性的 事实上 H(af+bo:; x)=E(af(x)+bo( r )k,(x) k=1 ∑f(k(x)+b∑ok(x) aH(; x)+bH(o; x) 定义3如果对于每一个正函数∫()及x∈E,线性算子LG;x),满足条件 L(;x)≥0,则称L(;x)为集E上的线性正算子 显然对于每一固定的值x线性算子L(/;x)成为线性泛函数因此如果对于集 E中每一固定的值x线性泛函数均是正的则线性算子L(f;x)在集E上是正的 例如当uA(x)(k=12,m)在E上为函数时算子 L(,x)=∑f(kk(x) 为集E上的线性正算子又如若o(xt)对集E中每一固定的x在区间[ab上关 于t为连续的正函数则算子 LU; x)=p(x, dr(dr 在集E上是正的 还须指出的是,在线性算子L(fx)中,变元f的变元与x不同
= L(f ; x) L(f ; x) 1 + 2 . 例 2 设 u (x) 1 ，u (x) 2 ，．．．u (x) n 为定义于集 E 上的函数.令 H( f x) f (t )u (x) k n k k = = 1 ; ， 其中 f (t).为在实数集 1 t ， 2 t ，．．．， n t 上有定义的函数.可以证明算子 H(f ; x) . 是线性的. 事实上 H(af b x) (af (t ) b (t ))u (x) k n k k k = + = + 1 ; . ＝a f (t )u (x) b (t )u (x) k n k k k n k k = = + 1 1 ＝ aH(f ; x)+ bH(; x)． 定义 3 如果对于每一个正函数 f (t).及 xE .,线性算子 L(f ; x).满足条件: L(f ; x) 0 , 则称 L(f ; x).为集 E 上的线性正算子. 显然,对于每一固定的值 x ,线性算子 L(f ; x).成为线性泛函数.因此,如果对于集 E 中每一固定的值 x ,线性泛函数均是正的,则线性算子 L(f ; x).在集 E 上是正的. 例如,当 u (x) k (k =1,2,...n).在 E 上为函数时,算子 ( ) ( ) ( ) = = n k k k L f x f t u x 1 ; 为集 E 上的线性正算子.又如,若 (x;t).对集 E 中每一固定的 x 在区间 a,b 上关 于 t 为连续的正函数,则算子 ( ) ( ) ( ) = b a L f ; x x,t f t dt 在集 E 上是正的. 还须指出的是 , 在线性算子 L(f ; x) 中 , 变 元 f 的变元与 x 不 同
L(,x)=L(()x)在计算算子L(f;x)的值时我们将x当作常数但为集E中任意 的)因此等式 L((x)x)=f(x)(:x) 成立这是由于f(x)为常数(与t无关) 现在我们来研究线性正算子序列Ln(/;x)在区间[ab]上的一致收敛于函数 f(x)的条件这里的f(x)是[b上的连续函数并且在整个实轴上有界如在泛函 数情形一样我们将证明序列Ln(k;x)在[小]上一致收敛于f(x)=x2(k=012) 蕴含序列Ln(;x)一致收敛于f(x)(如果f(x)满足上面指出的条件) 下面将引进这一论断的一种证法它是以闭区间上的连续函数必一致连续这个 事实为基础的先证明一个引理 引理1若函数f(x)在区间{小上连续在点b为右连续在点a为左连续则对 E>0,有6>0,使得当py-x<6a≤x≤b时恒成立不等式 证明令s=5>0根据函数∫(x)在区间b]上的一致连续性可以求出这样的 d>0,使得当{y-x<6,a≤x≤b时有不等式 ()-f(x)< (32) 由于函数f(x)在点a连续(左连续是假定的而右连续则是依函数在闭区间 a上的连续性得知所以对>0有62>0使得当y一对<62时 同理有3>0使得当-x<6时 ()-f(b)< (34) 令取δ=mm(,2,63)并证明当py一x<6a≤x≤b时有
L(f ; x) = L(f (t); x),在计算算子 L(f ; x) 的值时,我们将 x 当作常数(但为集 E 中任意 的),因此等式 L(f (x); x) = f (x)L(1; x) 成立,这是由于 f (x) 为常数(与 t 无关). 现在我们来研究线性正算子序列 L (f x) n ; .在区间 a,b 上的一致收敛于函数 f (x).的条件.这里的 f (x) 是 a,b 上的连续函数,并且在整个实轴上有界.如在泛函 数情形一样,我们将证明,序列 L ( f x) n k ; 在 a,b.上一致收敛于 ( ) k k f x = x (k = 0,1,2) 蕴含序列 L (f x) n ; .一致收敛于 f (x) .(如果 f (x).满足上面指出的条件). 下面将引进这一论断的一种证法,它是以闭区间上的连续函数必一致连续这个 事实为基础的.先证明一个引理. 引理 1 若函数 f (x) 在区间 a,b 上连续,在点 b 为右连续,在点 a 为左连续,则对 0,有 0,使得当 y − x ,a x b 时,恒成立不等式 f (y)− f (x) 证明 令 0 2 ' = .根据函数 f (x) 在区间 a,b 上的一致连续性可以求出这样的 1 0.,使得当 y − x 1 ,a x b 时,有不等式 f (y)− f (x) ' （3.2） 由于函数 f (x) 在点 a 连续(左连续是假定的,而右连续则是依函数在闭区间 a,b 上的连续性得知),所以对 ' 0 有 2 0,使得当 − 2 y x 时 f (y)− f (a) ' （3.3） 同理有 3 0 ,使得当 − 3 y x 时 f (y)− f (b) ' （3.4） 令取 ( ) 1 2 3 = min , , .并证明,当 y − x ,a x b 时,有
(y)-f(x)<26=6 事实上若x与y均属于区间[a1b]则后面的不等式由(32推得若y<a(当然x 必须属于区间叵b)则|y-x=|y-d+|x-a,且由于y-x<8,所以 y-d<6x-d<6现在得到 J()-f(x)=/()-f(a)+f(a)-f(x)s()-f(a)+/(x)-f(a 依(3.3式不等式右边第一项小于E而依(32)式第二项也小于E从而 fo)-f() 如此已证明当y<a.时引理为真对于y>b得情况可以同样证明 现在我们给出线性正算子序列的收敛性定理 定理3 koro kin)设线性正算子序列L(,x)满足条件 (1)Ln(:x)=1+an(x) (2)Ln(;x)=x+n(x) +y 其中an(x).Bn(x),yn(x)在区间[b]上一致收敛于零又设函数f()有界且在区 间[ab]上连续于点b为右连续于点a为左连续则在区间[ab上序列LG,x) 致收敛于函数f(t) 证明由于函数f()有界(-M<f()<M)#所以对一切x与t均成立不等式 M<f(-f(x) (3.5 其次依引理1对于E>0有E>0使得当a≤x≤b,-x<时成立不等式 <f()-f(x)<E 假定v()=(-x)(x为区间上的任意一点且一经取好就固定了由(35) (36)式不难得到
f (y)− f (x) 2' = 事实上,若 x 与 y 均属于区间 a,b,则后面的不等式由(3.2)推得.若 y a (当然 x 必 须 属 于 区 间 a,b ), 则 y − x = y − a + x − a ., 且由于 y − x , 所 以 y − a , x − a 现在得到 f (y)− f (x) = f (y)− f (a)+ f (a)− f (x) f (y)− f (a) + f (x)− f (a) . 依(3.3)式不等式右边第一项小于 ' ;而依(3.2)式第二项也小于 ' .从而 f (y)− f (x) 2' = 如此已证明当 y a .时引理为真,对于 y b 得情况可以同样证明. 现在我们给出线性正算子序列的收敛性定理. 定理 3(korovkin) 设线性正算子序列 L (f x) n ; 满足条件: (1) L ( x) a (x) n =1+ n 1; . (2) L (t x) x (x) n = + n ; (3) L (t x) x (x) n n = + 2 2 ; 其中 a (x) n , (x) n , (x) n 在区间 a,b 上一致收敛于零;又设函数 f (t) 有界且在区 间 a,b 上连续,于点 b 为右连续,于点 a 为左连续.则在区间 a,b 上序列 L (f x) n ; 一 致收敛于函数 f (t). 证明 由于函数 f (t) 有界 (− M f (t) M ) #.,所以对一切 x 与 t 均成立不等式 − 2M f (t)− f (x) 2M (3.5) 其次,依引理 1,对于 0 有 0 使得,当 a x b, t − x 时,成立不等式 − f (t)− f (x) (3.6) 假定 ( ) ( ) 2 t = t − x ( x 为区间 a,b 上的任意一点,且一经取好就固定了),由(3.5)、 (3.6)式不难得到
2M ()<f()-f(x)<E+2,v( 由此再依算子Ln(:x)的线性性质与单调性(其中x为固定的因而∫(x)#为常 数 2M EL, (1; x) <L (3.7) M L U; x)-f(x)Ln(; x)saL, (1; x)+=L,(; x) (38) 现在我们可以断定,Ln(x)在区间[ab]一致收敛于零事实上由定理的条件 与算子Ln(,x)的线性性质推出 L,(, x)=(2 =Ln(2;x)-2x1(x)+x2Ln(x) (x)-2x(x+B,(x))+x2(1+a,(x)) =r,(x)-2xB, (x)+x2a, () 6(x) 其中6(x)在区间{ab上一致收敛于零 考虑到这一点及定理中第一个条件便可断言不等式(38右边在区间[b]上 致收敛于E而左边一致收敛于-E 据此可以求出这样的序标N,使得当n>N,a≤x≤b时成立不等式 E<L,U; x)-(x)Ln(; x)<E 最后依E的任意性序列 LU; x)-f(x)Ln (1; x) 在区间[上一致收敛于零,从而再依定理中第一各条件便可断言序列 Ln(x)在区间[ab]上一致收敛于零f(x)
( ) ( ) ( ) (t) M t f t f x M 2 2 2 2 − − − + . 由此再依算子 L (f x) n ; 的线性性质与单调性(其中 x 为固定的,因而 f (x) #.为常 数) ( ) L ( x) L (f x) L (f (x) x) M L x n n n n ; ; ; 2 1; 2 − − − . (3.7) = ( ) ( ) ( ) ( ) L ( x) M L f x f x L x L x n n n n ; 2 ; 1; 1; 2 − + (3.8) 现在我们可以断定, L ( x) n ; 在区间 a,b 一致收敛于零.事实上,由定理的条件 与算子 L (f x) n ; 的线性性质推出 L ( x) L (t tx x x) n n ; 2 ; 2 2 = − + = L (t x) xL (t x) x L ( x) n n n ; 2 ; 1; 2 2 − + = x (x) x(x (x)) x ( a (x)) + n − 2 + n + 1+ n 2 2 = (x) x (x) x a (x) n n n 2 − 2 + = (x) n ; 其中 (x) n 在区间 a,b 上一致收敛于零. 考虑到这一点及定理中第一个条件,便可断言不等式(3.8)右边在区间 a,b 上一 致收敛于 ,而左边一致收敛于− 据此可以求出这样的序标 N ,使得当 n N , a x b 时,成立不等式 − L (f x)− f (x)L ( x) n n ; 1; 最后,依 的任意性,序列 L (f x) f (x)L ( x) n n ; − 1; 在区间 a,b 上一致收敛于零,从而再依定理中第一各条件便可断言序列 L (f x) n ; 在区间 a,b 上一致收敛于零 f (x)