0<L(0)×s:2a2+g,() (3.14) 现在设6>0及a2=5.依引理2,不等式(315右边第二项有极限数 而依不等式(3.14)第一项趋于零因而成立不等式 0<L,v: x)<s 如果n>N,a≤x≤b从而推得序列Ln(,x)在区间a≤x≤b上一致收敛 于零,定理得证 采用 Korovkin定理和上述定理,可证明许多算子的收敛性质例如 Bernstein算子 Landau算子, Weierstrass算子, Jackson算子,以及 Kontrovitch算 子等的相应收敛性均可由它们验证 第二章一致逼近 教学目的及要求 要求掌握一致逼近定理、收敛速度估计、函数的构造性理论、代数多项式逼近理 论中的有关结果。会找最佳一致逼近多项式 第一章所讲述的 Weierstrass逼近定理,指出了有界闭区间[ab]上的连续函数 均可用多项式序列一致逼近.换句话说实系数多项式所构成的集合,在连续函 数空间Cab中是处处稠密的.即设∫(x)是C[a中任意给定的连续函数,则 对任意指定的E>0,恒存在实系数多项式p(x),使得 (x)-p(x)<E,a≤x≤b 大量的理论问题和实际问题要求人们研究如下的问题:对于指定的非负整 数n在次数不超过n的实系数多项式集合
( ) I (a) I a I c cq L x n n n n n n + 2 0 ; 2 (3.14) 现在设 0 及 2 2 a = ..依引理 2,不等式(3.15)右边第二项有极限数 2 2 a = 而依不等式(3.14),第一项趋于零.因而成立不等式 L ( x) n 0 ; 如果 n N , a x b.从而推得,序列 L ( x) n ; 在区间 a x b 上一致收敛 于零,定理得证. 采用 Korovkin 定理和上述定理,可证明许多算子的收敛性质.例如 Bernstein 算子,Landau 算子,Weierstrass 算子,Jackson 算子,以及 Kontrovitch 算 子等的相应收敛性均可由它们验证. 第二章 一致逼近 教学目的及要求： 要求掌握一致逼近定理、收敛速度估计、函数的构造性理论、代数多项式逼近理 论中的有关结果。会找最佳一致逼近多项式。 第一章所讲述的 Weierstrass 逼近定理, 指出了有界闭区间 a,b 上的连续函数 均可用多项式序列一致逼近. 换句话说实系数多项式所构成的集合, 在连续函 数空间 Ca,b 中是处处稠密的. 即设 f (x) 是 Ca,b 中任意给定的连续函数, 则 对任意指定的 0 ,恒存在实系数多项式 p(x), 使得 f (x)− p(x) , a x b. 大量的理论问题和实际问题要求人们研究如下的问题: 对于指定的非负整 数 n 在次数不超过 n 的实系数多项式集合
P=∑ax;a为实数,Vi 中寻求多项式p∈Pn,使得它与给定函数f(x)∈Cab]的偏差 △(p)=max/(x)-p(x) (0.1) 尽可能的小 称量△(p)为p(x)与f(x)的偏差.显然有△(p)非负因而当p取遍P中所 有多项式时,相应△(p)的集合必有下确界 En=En()=nf△(p) maxf(x)-p(x) (0.2) 称En()为Pn对给定函数f(x)的最小偏差或最近逼近.按En的定义,显然有 En≥En 再由 Weierstrass逼近定理,En↓0 现在的问题是:是否存在p∈Pn,使得 ()=En()? (0.3) 如果这样的p存在,它是否唯 满足(0.3)式的多项式p(x),称为f(x)于P中的最佳逼近多项式 §1. Borel存在定理 Boe存在定理对任何给定的f(x)∈Cab],总存在p(x)∈Pn,使得 △(p)=En( 证明因为En是△(P)的下确界,因而对任何给定的E>0,必有p(x)∈Pn
= = n i i i i def n a x a i 0 ; 为实数， 中寻求多项式 p n , 使得它与给定函数 f (x)Ca,b 的偏差 ( p) f (x) p(x) a x b def = − max （0.1） 尽可能的小. 称量 (p) 为 p(x) 与 f (x) 的偏差. 显然有 (p) 非负.因而当 p 取遍 n 中所 有多项式时, 相应 (p) 的集合必有下确界: E E ( f ) (p) p n def n = n = inf = f (x) p(x) p n a x b − inf max （0.2） 称 E (f ) n 为 n 对给定函数 f (x) 的最小偏差或最近逼近. 按 En 的定义, 显然有 ... En En+1 再由 Weierstrass 逼近定理, En 0 . 现在的问题是:是否存在 p n ,使得 (p ) E (f ) = n ？ （0.3） 如果这样的 p 存在,它是否唯一? 满足（0.3）式的多项式 p (x) , 称为 f (x) 于 n 中的最佳逼近多项式. §1．Borel 存在定理 Borel 存在定理 对任何给定的 f (x)Ca,b,总存在 ( ) n p x , 使得 (p) E (f ) = n 证明 因为 En 是 (p) 的下确界, 因而对任何给定的 0 , 必有 ( ) n p x
使得 En≤△(p2)≤En+E 特别取=1,存在pn(x)eP,使 En≤△(pn)≤En 所以,如果能证明{pn}或它的某一子序列一致收敛于某p∈P,则上式中令 m→∞,即可证明 (p)=E,() 以下集中于从{n(x)中选取收敛的子序列 首先,按Pn(x)的选取方法可知Pn(x)有界 pn(x)≤|pn(x)-f(x)+(x)≤(En+1)+max/(x) 进而可证 中的各系数 aom,a1m,a2m…,anm皆有界为此,在[ab]中任意取定n+1个互异点 xn<x1<…<x P(xo) # aom+a,+ a,nxn t.t.mxn pn 可推出
使得 ( ) En p En + 特别取 m 1 = , 存在 ( ) m n p x , 使 ( ) m En pm En 1 + （1.1） 所以, 如果能证明 pm 或它的某一子序列一致收敛于某 p n , 则上式中令 m→,即可证明 (p ) E ( f ) = n 以下集中于从 pm (x) 中选取收敛的子序列. 首先, 按 p (x) m 的选取方法可知 p (x) m 有界 p (x) p (x) f (x) f (x) (E ) f (x) a x b m m n 1 max − + + + 进而可证 ( ) n m m m m n m p x a a x a x a x 0, 1, 2, , = + + +...+ 中的各系数 a0,m , m a1, , a2,m ,…, an,m 皆有界.为此, 在 a,b 中任意取定 n +1 个互异点 n x x ... x 0 1 . 由 # ( ) ( ) + + + + = + + + + = m n n m m n m n n m n m n m m m n m a a x a x a x p x a a x a x a x p x 0, 1, 2, , 0, 1, 0 2, 0 , 0 0 ... ................................................................ ... 可推出
pn(xn)…xa Cpm(x,k 其中Q为多项式在确定点上的值,从而得a1m有界: ≤A(i=0 由 Bolzano-Weierstrass定理,可逐一选出n+1个同时收敛得子序列{m} i=0,…,n,使得 0 作多项式 p(x)=ao +a,x+a,x,,a,x (1.2) 显然当j→∞时,多项式Pn(x)在[ab]上一致收敛到p(x) 下面证明 △(p)=E P 由于p(x)∈Pn,按定义 △(p)≥En 以下只须证明 △(p)≤En 由pn(x)的取法可知 A(n)=m/)-n2()kE,+
( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) = + − = = n j m j j i s t s n n i n i n n m n n i m i m p x Q x x x x x x p x x p x x a 0 0 0 0 0 1 0 , 1 1 1 1 1 列 其中 Qj 为多项式在确定点上的值, 从而得 i m a , 有界: ai,m A (i = 0, ,n.) 由 Bolzano-Weierstrass 定理, 可逐一选出 n +1 个同时收敛得子序列 mj ai, , i = 0, ,n ,使得 lim , 0, , . ai,m ai i n j j = = → 作多项式 ( ) n n p x a a x a x, ,a x = 0 + 1 + 2 （1.2） 显然当 j → 时, 多项式 p (x) mj 在 a,b 上一致收敛到 p(x). 下面证明 ( ) ( ) n p p En p n n = = inf 由于 ( ) n p x , 按定义 ( ) p En 以下只须证明 ( ) p En 由 p (x) mj 的取法可知 ( ) ( ) ( ) j m n p m m p f x p x E j n n j 1 = max − +
A()=m/(对)-n()smx/()-pn(+mNmn()-p(x)<E,+m+6 令j→>∞得到 △(p)≤En 从而 △(p)=E 证毕 §2.最佳逼近定理 由 Borel存在性定理,对任给定的f(x)∈Cab],均存在多项式p(x)∈Pn,使 得 (pm )=maxP(x)-f()=E,= inf maxIa(x)-f().(2.1) 这样的多项式p(x)称为f(x)于P中的最佳逼近多项式 显然,En=0等价于∫(x)∈P,即除∫(x)∈P外,En均取正值 以下探讨最佳逼近多项式的本质特征.记 s(x)=p(x)-f() 由于s(x)∈Cab,于是存在x∈[ab,使得 (x)=max|(x)=△(p) 称这样的x为p(x)关于f(x)的偏离点.特别的,如果a(x)=△(p)(或-△(P) 则称x0为p(x)关于∫(x)的正(或负偏离点
但 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j m n a x b m a x b m a x b m p f x p x f x p x p x p x E j j j = − − + − + + 1 max max max 令 j → 得到 ( ) p En 从而 ( ) p = En 证毕. §2．最佳逼近定理 由 Borel 存在性定理, 对任给定的 f (x)Ca,b, 均存在多项式 ( ) n p x , 使 得 (p ) p(x) f (x) E q(x) f (x) q a x b n a x b m n j = − = = − max inf max . （2.1） 这样的多项式 p(x) 称为 f (x) 于 n 中的最佳逼近多项式. 显然, En = 0 等价于 ( ) n f x . 即除 ( ) n f x 外, En 均取正值. 以下探讨最佳逼近多项式的本质特征. 记 (x) = p(x)− f (x) 由于 (x)Ca,b, 于是存在 x a,b 0 , 使得 (x ) (x) (p) a x b = = max 0 称这样的 0 x 为 p(x) 关于 f (x) 的偏离点. 特别的, 如果 (x ) = (p) 0 (或− (p)), 则称 0 x 为 p(x) 关于 f (x) 的正(或负)偏离点