定义:复变积分是复数平面上的线积分 设C是复平面上的曲线,函数f(z)在C上 有定义.将曲线C任意分割为m段,分点 为20=A,31,2,……,n=B,(k是 xk-1→zk段上的任意一点,作和数 ∑∫()(=k-2k-1 k=1 ∑∫()4zk 若当n→∞,使得max|4ak→0时,此和数的极限存在,且 与k的选取无关,则称此极限值为函数f(z)沿曲线C的积 分,记为 ():=m2/G)
Complex Integration Cauchy Integral Theorems Two Useful Lemmas Complex Integration: Definition Complex Integration: Fundamental Properties ½ÂµECÈ©´E겡þÈ© C´E²¡þ§¼êf(z)3Cþ k½Â©òC?¿©n㧩: z0 = A, z1, z2, · · · , zn = B§ ζk´ zk−1→zkãþ?¿:§Úê Pn k=1 f(ζk) (zk − zk−1) ≡ Pn k=1 f(ζk)∆zk en→∞§¦max |∆zk| → 0§dÚê43§ ζkÀÃ'§K¡d4¼êf(z)÷CÈ ©§P Z C f(z) dz = lim max |∆zk|→0 Xn k=1 f(ζk)∆zk C. S. Wu 1où ECÈ©()
复变积分 个复变积分实际上是两个实变线积分的有 序组合 f(2)2=/(+i)(d+idy) (ud.T-udy)+i/(udz +udy) 因此,如果C是分段光滑曲线,f(2)是C上的 连续函数,则复变积分一定存在
Complex Integration Cauchy Integral Theorems Two Useful Lemmas Complex Integration: Definition Complex Integration: Fundamental Properties ECÈ© ECÈ©¢Sþ´ü¢CÈ©k S|Ü Z C f(z)dz = Z C (u + iv) (dx + i dy) = Z C (udx − vdy) + i Z C (vdx + udy) Ïd§XJC´©ã1w§f(z)´Cþ ëY¼ê§KECÈ©½3 C. S. Wu 1où ECÈ©()
复变积分 个复变积分实际上是两个实变线积分的有 序组合 f(a)dz=/(a+iv)(d.+idy) 因此,如果C是分段光滑曲线,f(x)是C上的 连续函数,则复变积分一定存在
Complex Integration Cauchy Integral Theorems Two Useful Lemmas Complex Integration: Definition Complex Integration: Fundamental Properties ECÈ© ECÈ©¢Sþ´ü¢CÈ©k S|Ü Z C f(z)dz = Z C (u + iv) (dx + i dy) = Z C (udx − vdy) + i Z C (vdx + udy) Ïd§XJC´©ã1w§f(z)´Cþ ëY¼ê§KECÈ©½3 C. S. Wu 1où ECÈ©()
Complex Integration: Fundamental Properties 讲授要点 ③复变积分 复变积分的定义 复变积分的基本性质 e cauchy定理 单连通区域的 Cauchy定理 不定积分与原函数 复连通区域的 Cauchy定理 ③两个有用的引理 引理:适用于半径为无穷小的圆孤 引理:适用于半径为无穷大的圆弧
Complex Integration Cauchy Integral Theorems Two Useful Lemmas Complex Integration: Definition Complex Integration: Fundamental Properties ùÇ: 1 ECÈ© ECÈ©½Â ECÈ©Ä 5 2 Cauchy½n üëÏ«Cauchy½n ؽȩ¼ê EëÏ«Cauchy½n 3 ük^Ún Únµ·^u»Ã¡ l Únµ·^u»Ã¡ l C. S. Wu 1où ECÈ©()
Complex Integration: Fundamental Properties 复变积分的基本性质 0若积分/(2)d=,/(x,…,/f(2都 存在,则 (2)+1(2)+…+f(2) fi(z)dz+/f2(z) dz+.+/fn(z)dz
Complex Integration Cauchy Integral Theorems Two Useful Lemmas Complex Integration: Definition Complex Integration: Fundamental Properties ECÈ©Ä 5 ❶ eÈ© Z C f1(z)dz, Z C f2(z)dz, · · · , Z C fn(z)dzÑ Z 3§K C h f1(z) + f2(z) + · · · + fn(z) i dz = Z C f1(z)dz + Z C f2(z)dz + · · · + Z C fn(z)dz ❷ Z eC = C1 + C2 + · · · + Cn§K C1 f(z)dz + Z C2 f(z)dz + · · · + Z Cn f(z)dz = Z C f(z)dz C. S. Wu 1où ECÈ©()