第二部分 数学物理方程
Wu Chong-shi
第十二章数学物理方程和定解条件 1.一长为l、横截面积为S的均匀弹性杆,已知一端(x=0)固定,另一端(x=D) 在杆轴方向上受拉力F作用而得到平衡(见图12.1).在t=0 时,撤去外力F.试列出杆的纵振动所满足的方程、边界条件 和初始条件 2.在铀块中,除了中子的扩散运动外,还存在中子的吸收 和增殖过程.设在单位时间内、单位体积中吸收和增殖的中子 数均正比于该时刻、该处的中子浓度u(r,t),因而净增中子数可表 为au(r,t),a为比例常数.试导出u(r,t)所满足的偏微分方程 3.有长为l的均匀细杆,现通过其两端、在单位时间内、经 单位面积分别供给热量q1与q2.试写出相应的边界条件 4.有一半径为a、表面涂黑的金属球,暴晒于日光下(见图 12.2),在垂直于光线的单位面积上,单位时间内吸收热量M.同 时,球面按 Newton冷却定律散热(不妨取周围介质的温度为0) 试在适当的坐标系中写出边界条件 第十三章线性偏微分方程的通解 1.求下列线性齐次偏微分方程的通解 a-u a1 0 0; a2u/c2 a +a2=0,b≠0 2.求下列线性非齐次偏微分方程的通解 ar2 dy2-+ry dy ay 3.求解偏微分方程 du dy
Wu Chong-shi 16 ❅ ❹ ✂ ✄✹✾✆ ✞❳❨✱éê✟✰✿❩❬ 1. ❞❭✛ l ✔❪❫■ ➓✛ S ✑✰❴❵➯❛✷❙❚ ❞❜ (x = 0) ❝✈✷❞❞❜ (x = l) ❸ 12.1 ❃❛➁▲❡✽❢❣❤ F ❼✧✐❥❥❍❦ (❧✪ 12.1) P❃ t = 0 ✼✷♠♥✭ ❤ F P❯✍☞❛✑♦♣❣qrs✑▲▼✔❲t✉✈ ✗■✇✉✈P 2. ❃①②④✷ ③④④☛✑⑤⑥⑦❣ ✭ ✷❪ ❈ ❃④☛✑⑧➫ ✗⑨⑩❶▼P❘❃❬➛✼❷➅✔❬➛❸➓④⑧➫✗⑨⑩✑④☛ ✏✰❾❹ ❺ ⑧✼❻✔⑧❄✑④☛❼❽ u(r, t) ✷✤✐❾⑨④☛✏❅✬ ✛ αu(r, t) ✷α ✛❹✡✯✏P❯❆☞ u(r, t) qrs✑❿ï◆▲▼P 3. ❶❭✛ l ✑✰❴➀❛✷➁➂❶❈♥❜✔❃❬➛✼❷ ➅✔➃ ❬➛■ ➓◆❖➄➎➅➆ q1 ➲ q2 P❯☛☞ß➇✑❲t✉✈P 4. ❶❞➝➐✛ a ✔✬■➈➉✑➊➋➌✷➍➎❺ ➏➐ ✌ (❧✪ 12.2) ✷❃➑➒❺➐⑥ ✑❬➛■ ➓✽✷❬➛✼❷➅⑧➫➅➆ M P✻ ✼✷➌ ■ ➍ Newton ➓➔✈→⑥➅ (➻➣②❤↔ ↕ ã✑➙❽✛ 0) P ❯❃➛❺✑❏❑✦④☛☞❲t✉✈P ❸ 12.2 ✄✹➊✆ ➜➝➞è➌éêë➟✿ 1. ✱✌✍⑥ ➯➠➡❿ï◆▲▼✑➂❉✚ (1) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y − 3 ∂ 2u ∂y2 = 0; (2) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y + 2 ∂ 2u ∂y2 = 0; (3) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y = 0; (4) ∂ 2u ∂t2 = c 2 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r , c 6= 0; (5) a 2 − b 2 ∂ 2u ∂x2 + 2a ∂ 2u ∂x∂t + ∂ 2u ∂t2 = 0, b 6= 0; (6) ∂ 4u ∂x4 − ∂ 4u ∂y4 = 0. 2. ✱✌✍⑥ ➯➢➠➡❿ï◆▲▼✑➂❉✚ (1) ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = x 2 + xy; (2) ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂y2 = xy − x; (3) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y + ∂ 2u ∂y2 = x 2 + y. 3. ✱❉❿ï◆▲▼✚ (1) x 2 ∂ 2u ∂x2 − 2xy ∂ 2u ∂x∂y + y 2 ∂ 2u ∂y2 + x ∂u ∂x + y ∂y ∂y = 0;
(=2-y2)sin ry 4.求偏微分方程 0 的通解,并进一步求出它在初始条件 =0=),a=() 下的解 第十四章分离变量法 1.长为l、两端固定的均匀弦,初始时,弦被拉开如图 141,达到平衡后突然放手.求解此问题 2.长为2的均匀杆,两端受力作用而分别压缩了al t=0时撤去外力.求解此杆的纵振动问题 3.求解细杆的导热问题.杆长l,两端(x=0,0)均保 图14.1 持为零度,初始温度分布为2=0= 4.一均匀各向同性的弹性薄膜,0≤x≤l,0≤y≤l,四周夹紧.初始位移为Ary( r)(l-y),初始速度为0.求解膜的横振动 5.求解 a2u a2u 2+a2=0, loy, 其中为已知常数 6.求解 02202n ar2 ba(l-r), 0, 0, 元lt=0 7.求解第十二章第1题 8.一细长杄,=0端固定,x=l端受周期力 Asin wt作用.求解此杆的纵振动问题 设初位移和初速度均为0
Wu Chong-shi ❱ ❲ 17 (2) ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂y2 = x 2 − y 2 sin xy. 4. ✱❿ï◆▲▼ ∂ ∂x 1 − x l 2 ∂u ∂x − 1 a 2 1 − x l 2 ∂ 2u ∂t2 = 0 ✑➂❉✷❇➤❞➥✱☞❷❃■✇✉✈ u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x) ✌✑❉P ✄✹➥✆ ➌➦✠➧í 1. ❭✛ l ✔♥❜❝✈✑✰❴➨✷■✇✼✷➨➩❣Õ✸✪ 14.1 ✷➫ ❥❍❦ ❧➭➯➲➳P✱❉➾ ⑨❏P 2. ❭✛ 2l ✑✰❴❛✷♥❜❢❤❼✧✐◆❖➵➸④ αl P t = 0 ✼♠♥✭ ❤P✱❉➾ ❛✑♦♣❣⑨❏P 3. ✱❉➀❛✑❆➅⑨❏P❛❭ l ✷♥❜ (x = 0, l) ✰➺ ➻ ✛➼❽✷■✇➙❽◆➽✛ u t=0 = b x(l − x) l 2 P ❸ 14.1 4. ❞✰❴➾❡✻➯✑❵➯➚➪✷ 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l ✷Ø❤➶➹P■✇➛❢✛ Axy(l − x)(l − y) ✷■✇➘❽✛ 0 P✱❉➪✑❪♣❣P 5. ✱❉✚ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, u x=0 = u0, u x=a = u0y, ∂u ∂y y=0 = 0, ∂u ∂y y=b = 0, ❈④✛❙❚ ✯✏P 6. ✱❉✚ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = bx(l − x), u x=0 = 0, u x=l = 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0. 7. ✱❉➴➷î➬➴ 1 ❏P 8. ❞➀❭❛✷ x = 0 ❜❝✈✷ x = l ❜❢❤❆❤ A sin ωt ❼✧P✱❉➾ ❛✑♦♣❣⑨❏P ❘■➛❢✗■➘❽✰✛ 0 P
9.在矩形区域0≤x≤a,-b/2≤y≤b/2中求解 (1)V2a=-2 (2)V2=-x2 u在边界上的数值均为0 10.试求下列定解问题之解 022O2u 0. dr ult=o=cos t, of =0 SIn 11.求解下列定解问题 Aexp [-ant, uls=Bexp-B2xty 12.当层状铀块的厚度超过一定临界值时,中子浓度将随时间而增高,以致引起铀块爆 炸.这就是原子弹爆炸的基本过程.试估计层状铀块的临界厚度.中子浓度满足的偏微分方程 见第十二章第2题,假定边界条件为齐次的第一类边界条件. 第十五章正交曲面坐标系 1.一个半径为a的无穷长空心导体圆柱,分成两半,互相绝缘.一半电势为V,另 半电势为一V.求柱内的电势分布 2.半径为a、表面熏黑的均匀金属圆柱,平放在地上,受到阳光照射,在垂直于光线的 单位面积上单位衰减内吸收热量为M,同时,柱面按 Newton冷却定律向外散热.试求柱内 的稳定温度分布.取外界温度为0,并设圆柱为无穷长 3.求在环形区域a≤r≤b内满足边界条件 f(o),u-h=g(o 的调和函数 4.在圆域0≤x2+y2≤a2上求解 (1)v2a=-4 (01u=4(+0)
Wu Chong-shi 18 ❅ ➮ ✂ 9. ❃➱✫➃➄ 0 ≤ x ≤ a, −b/2 ≤ y ≤ b/2 ④✱❉✚ (1) ∇2u = −2, (2) ∇2u = −x 2y, u ❃❲t✽✑✏❭✰✛ 0 P 10. ❯✱✌✍✈❉⑨❏➚❉✚ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, u x=0 = cos π l at, ∂u ∂x x=l = 0, u t=0 = cos π l x, ∂u ∂t t=0 = sin π 2l x. 11. ✱❉✌✍✈❉⑨❏✚ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = 0, u x=0 = A exp − α 2κt , u x=l = B exp − β 2κt , u t=0 = 0. 12. ❺✃❐①②✑❒❽❮❶❞✈❰t❭✼✷④☛❼❽ÓÏ✼❷✐⑨Ð✷✎ÑÒÓ①②Ô Õ P ⑩Ö ✜ ❦ ☛❵ÔÕ ✑×➆❶▼P❯Ø➑✃❐①②✑❰t❒❽P④☛❼❽rs✑❿ï◆▲▼ ❧➴➷î➬➴ 2 ❏✷Ù✈❲t✉✈✛➠➡✑➴❞✧❲t✉✈P ✄✹Ð✆ ÚÛÜÝÞßà 1. ❞❡➝➐✛ a ✑ÛÜ❭áâ❆❸➜ ã ✷◆➣♥➝✷☞ ß➳äP❞➝å æ ✛ V ✷❞❞ ➝å æ ✛ −V P✱ã ➅✑å æ ◆➽P 2. ➝➐✛ a ✔✬■ç➉✑✰❴➊➋➜ ã ✷ ❍ ➲❃✩✽✷❢ ❥è➐éê✷❃➑➒❺➐⑥ ✑ ❬➛■ ➓✽❬➛ëì➅⑧➫➅➆✛ M ✷✻✼✷ã■ ➍ Newton ➓➔✈→❡✭ ⑥➅P❯✱ã ➅ ✑í✈➙❽◆➽P②✭ t➙❽✛ 0 ✷❇❘➜ã ✛ÛÜ❭P 3. ✱❃î✫➃➄ a ≤ r ≤ b ➅rs❲t✉✈ u r=a = f(φ), u r=b = g(φ) ✑ï✗✣✏P 4. ❃➜➄ 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2 ✽✱❉✚ (1) ∇2u = −4, u x2+y 2=a2 = 0; (2) ∇2u = −4y, u x2+y 2=a2 = 0; (3) ∇2u = −4xy, u x2+y2=a2 = 0; (4) ∇2u = −4(x + y), u x2+y2=a2 = 0
5.一个由理想导体做成的无穷长波导管,其截面均匀,如图15.1所示.管内为真空 假定一个平面(即图中的一条直边)的电势为V,其余面上 的电势均为0.试求波导管内的电势分布 6.求解球内的定解问题: at-d( dr l=0有界,a-1=Aexp{- 提示1(m)=m 第十六章球函数 (在下列各题中,k,l均为自然数 1.证明: Px(r)Pl(r)dr=(1-12) Pk()P(a)-P(a)Pk(a) k(k+1)-1(+1) 2.计算积分 (1+r)"P(a)dz, 注意分别讨论k≥l和k,l两种情形 3.计算下列积分 (1)/Px)ln(1-)dr (2)/P(x)(1-x)-odx,0<a<1 4.从 Legendre多项式的生成函数证明 (1)P(-1/2)=∑Pk(-1/2)P2-k(1/2)(2)P(cos2)=∑(-)P2(csO)P2-k(os8) k=0 5.计算下列积分 (1)/Pk(a)Pi(=r)dr (2)/zP(r)Pl+1(a)dr (3)/x2P2(x)P2+2(x)dx; (4)/P(x)dr 6.将下列定义在[-1,1上的函数按 Legendre多项式展开 (2)f(x)=√1-2xt+t (3)f(x)= (4)f(x)=2x+l
Wu Chong-shi ❱ ❲ 19 5. ❞❡ ↕ðñ❆❸ò➣✑ÛÜ❭ó❆ô✷❈❫ ■ ✰❴✷✸✪ 15.1 q✭Pô ➅✛õáP Ù✈❞❡❍■ (❇✪④✑❞✉➒❲) ✑å æ ✛ V ✷❈ö ■ ✽ ✑å æ ✰✛ 0 P❯✱ó❆ô➅✑å æ ◆➽P 6. ✱❉➌➅✑✈❉⑨❏✚ ∂u ∂t − κ r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r = 0, u r=0 ❶t, u r=1 = A expn − (pπ) 2κto , u t=0 = 0. ➪➶✚1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r ≡ 1 r ∂ 2 (ru) ∂r2 . ❸ 15.1 ✄✹æ✆ ÷✡✞ (❃✌✍➾❏④✷ k, l ✰✛ ø➯✏) 1. ❋●✚ Z 1 x Pk(x)Pl(x)dx = 1−x 2 P 0 k (x)Pl(x)−P 0 l (x)Pk(x) k(k + 1)−l(l + 1) , k 6=l. 2. ➑➒➓◆ Z 1 −1 (1 + x) kPl(x)dx, ù ✫◆❖❛❜ k ≥ l ✗ k, l ♥úû✫P 3. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) Z 1 −1 Pl(x) ln(1 − x)dx; (2) Z 1 −1 Pl(x)(1 − x) −αdx, 0 < α < 1. 4. ü Legendre ❫Ù❄✑ý➣✣✏❋●✚ (1) Pl(−1/2) = X 2l k=0 Pk(−1/2)P2l−k(1/2); (2) Pl(cos 2θ) = X 2l k=0 (−) kPk(cos θ)P2l−k(cos θ). 5. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) Z 1 0 Pk(x)Pl(x)dx; (2) Z 1 −1 xPl(x)Pl+1(x)dx; (3) Z 1 −1 x 2Pl(x)Pl+2(x)dx; (4) Z 1 −1 h xPl(x) i2 dx; 6. Ó✌✍✈➀❃ [−1, 1] ✽✑✣✏➍ Legendre ❫Ù❄ÔÕ✚ (1) f(x) = x 2 ; (2) f(x) = √ 1 − 2xt + t 2; (3) f(x) = |x| ; (4) f(x) = 1 2 x + |x| .