球对称分布的性质我们已给出了球对称分布的极分解或随机表示x= ur, u~U(s n-1), r 兰 IIxll ,下面进一步利用旋转不变性考虑其分布性质，尤其是球面均匀分布及其边际分布，我们将大量采用同分布等号”"同分布等号兰可传递，但不是真正意义上的数学等号，同分布同分布等号操作需要小心，比如对于3个r.v.x,y,z等号x不定蕴含x+z+z引理1：若随机向量x兰y，则g(x)=g(y)，其中g是任一（可测向量函数。特别地，xiyi，xixj=yiyj注：该引理的关键是等号两边的内部做同样的运算/函数，分布依旧相同。证: P(g(x) E C) = P(x E g-1(C)) = P(y E g-1(C)) = P(g(y) E C)6
6 同分布等号 = 可传递，但不是真正意义上的数学等号，同分布 等号操作需要小心 ， 比如对于3个r.v. 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥 = 𝑦 不一定蕴含 𝑥 + 𝑧 = 𝑦 + 𝑧 引理1：若随机向量 𝐱 = 𝐲，则𝑔 𝐱 = 𝑔 𝐲 , 其中 𝑔是任一（可测） 向量函数。特别地，𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 𝑦𝑖𝑦𝑗 . 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 同分布 等号 球对称分布的性质 证：𝑃 𝑔 𝐱 ∈ 𝐶 = 𝑃 𝐱 ∈ 𝑔 −1 𝐶 = 𝑃 𝐲 ∈ 𝑔 −1 𝐶 = 𝑃 𝑔 𝐲 ∈ 𝐶 注：该引理的关键是等号两边的内部做同样的运算/函数，分布依旧相同。 我们已给出了球对称分布的极分解或随机表示 𝐱 = 𝐮𝑟, 𝐮~𝑈(𝑆 𝑛−1 ), 𝑟 = 𝐱 ， 下面进一步利用旋转不变性考虑其分布性质，尤其是球面均 匀分布及其边际分布，我们将大量采用同分布等号 " = " 𝑑 𝑑 𝑑
问题：已知x=y，何时x+z=y+z？由引理1，一个充分条件是当z与x，y都独立时上式成立，特别地，当z是常向量时成立。Cramer-Wold定理说明两个随机向量同分布，当且仅当它们在任何单位方向的投影坐标同分布，引理2（Cramer-Wold定理）假设随机向量x，yERn，则x=ytTxtTy,vtesn-1。证明：(一）由引理1立得。(-)对任何vtE Rn, t/t E Sn-1, tTx/ltl 兰 tTy/ltll→tT x兰tTy→矩母函数 E(exp(tTx))=E(exp(tTy))=→x=y注：矩母（或特征）函数唯一决定x的分布表达的含义实际上就是“所有一维投影坐标tx的分布决定x整体的分布
7 问题：已知 𝐱 = 𝐲，何时 𝐱 + 𝐳 = 𝐲 + 𝐳？ 𝑑 𝑑 𝑑 由引理1，一个充分条件是 𝐱 𝐳 = 𝐲 𝐳 当𝐳与𝐱, 𝐲都独立时上式成立, 特别地，当𝐳是常向量时成立。 引理2 (Cramer-Wold定理) 假设随机向量𝐱，𝐲 ∈ 𝑅 𝑛 ，则 𝐱 = 𝐲 ⇔ 𝐭 ⊤𝐱 = 𝐭 ⊤𝐲, ∀ 𝐭 ∈ 𝑆 𝑑 𝑑 𝑛−1。 证明:(⇒) 由引理1立得。 (⇐) 对任何∀ 𝐭 ∈ 𝑅 𝑛 , 𝐭/ 𝐭 ∈ 𝑆 𝑛−1 , 𝐭 ⊤𝐱/ 𝐭 = 𝐭 ⊤𝐲/ 𝐭 ⇒ 𝐭 ⊤ 𝐱 = 𝐭 ⊤𝐲 ⇒ 矩母函数 𝐸 exp 𝐭 ⊤𝐱 = 𝐸 exp 𝐭 ⊤𝐲 ⇒ 𝐱 = 𝐲 𝑑 𝑑 𝑑 Cramer-Wold定理说明两个随机向量同分布，当且仅当它们在任 何单位方向的投影坐标同分布. 注：矩母（或特征）函数唯一决定𝐱的分布表达的含义实际上就是“所 有一维投影坐标 𝐭 ⊤𝐱的分布决定𝐱整体的分布
命题1：若x服从球对称分布，则x所有分量同分布（不独立），且球对称分E(x) = 0, var(x) = α2Ir布的一元边际证明：因为置换变换是正交变换，所以x各个分量同分布，方差相同；因为反射矩阵H=diag(1,1,，-1,1,….1)是正交变换，我们有xi 兰-xi，xix; =-xixj，从而E(xi)=0,cov(xi,x)= 0球对称分布随机向量x的各个分量x同分布，因为旋转不变性，它在任何方向tESn-1上的投影坐标与x;同分布定理1.x服从球对称分布tTx=x1,tESn-1。证明：（-)任取正交矩阵H,其第一行为t则Hx=x，特别地两边的第一分量等分布，即tTx兰x1。(-)对任何正交矩阵H，为了证明Hx=x，由引理2，我们只需对任何t E S n-1证明tTHx兰 tTx.因为t E S n-1,HTt E S n-1,故tT×兰x1,且(HTt)T×兰x1，从而(HTt)T×兰tTx8
8 命题1：若𝐱服从球对称分布， 则𝐱所有分量同分布(不独立)，且 𝐸 𝐱 = 𝟎, 𝑣𝑎𝑟 𝐱 = 𝜎 2 𝐼𝑛 证明：因为置换变换是正交变换，所以 𝐱各个分量同分布，方差相 同；因为反射矩阵𝐻 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(1,1, . , −1,1, . 1)是正交变换，我们有 𝑥𝑖 = −𝑥𝑖 , 𝑥𝑖𝑥𝑗 = −𝑥𝑖𝑥𝑗，从而𝐸(𝑥𝑖) = 0, 𝑐𝑜𝑣 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 = 0. 𝑑 𝑑 球对称分布随机向量𝐱的各个分量𝑥𝑖同分布，因为旋转不变 性，它在任何方向 𝐭 ∈ 𝑆 𝑛−1上的投影坐标与𝑥𝑖同分布 球对称分 布的一元 边际 𝑑 定理1. 𝐱服从球对称分布 ⇔ 𝐭 ⊤𝐱 = 𝑥1, ∀ 𝐭 ∈ 𝑆 𝑛−1。 (⇐) 对任何正交矩阵𝐻，为了证明𝐻𝐱 = 𝐱，由引理2，我们只需对 任何𝐭 ∈ 𝑆 𝑛−1证明𝐭 ⊤𝐻𝐱 = 𝐭 ⊤𝐱.因为𝐭 ∈ 𝑆 𝑛−1 ，𝐻 ⊤𝐭 ∈ 𝑆 𝑛−1 , 故 𝐭 ⊤𝐱 = 𝑥1, 且(𝐻 ⊤𝐭) ⊤ 𝐱 = 𝑥1，从而(𝐻 ⊤𝐭) ⊤ 𝐱 = 𝐭 ⊤𝐱 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 证明：(⇒)任取正交矩阵𝐻,其第一行为𝐭, 则 𝐻𝐱 = 𝐱，特别地两 边的第一分量等分布，即𝐭 ⊤𝐱 = 𝑥1。 𝑑
U(sn-1)的定理2（第一讲P38推论1），u=（u1,,un)T～U(sn-1)，则u维边际的概率密度函数为r(a)r(b)B(a, b) = T(a + b)A(1-u)(n-3)/2, [uil < 1fn(u)n-11（这是[-1,1]区间上的beta分布）ui+1~beta("u1n-1.注：等价地，Vn - 1n-121-u?证明1：引入球坐标u = (cos(0), sin(0) cos(02), ., sin(0) ... sin(0n-))T由第二讲推论1，～pk(）αsinn--1(),k=1,.…,n-1，特别地01~ pi(01) α sinn-2(01), 0 < 01 <π因为Jsinn-k-1(k)do=B(=,),所以i的概率密度为sinn-2(01)p1(01)由此可得u1=cos(Q)的概率密度1 -u2)(n-3)/2fn,1(u) =-19
9 定理2（第一讲P38推论1）. 𝐮 = (𝑢1, . , 𝑢𝑛) ⊤~𝑈 𝑆 𝑛−1 ，则𝑢1 的概率密度函数为 𝑓𝑛 𝑢 = 1 𝐵 𝑛−1 2 , 1 2 (1− 𝑢1 2 ) (𝑛−3)/2 , |𝑢1| < 1 （这是[−1,1]区间上的beta分布） 证明1：引入球坐标 𝐮 = (cos(𝜃1) , sin(𝜃1) cos(𝜃2) , . , sin(𝜃1) ⋯ sin(𝜃𝑛−1) ) ⊤ 由第二讲推论1，𝜃𝑘~ 𝑝𝑘 𝜃𝑘 ∝ sin𝑛−𝑘−1 (𝜃𝑘) , 𝑘 = 1, . , 𝑛 − 1， 特别地 𝜃1~ 𝑝1 𝜃1 ∝ sin𝑛−2 (𝜃1)，0 < 𝜃1 < 𝜋 因为0 𝜋 sin𝑛−𝑘−1 (𝜃𝑘) 𝑑𝜃𝑘 = 𝐵 𝑛−𝑘 2 , 1 2 , 所以𝜃1的概率密度为 𝑝1 𝜃1 = 1 𝐵 𝑛−1 2 , 1 2 sin𝑛−2 (𝜃1) 由此可得𝑢1 = cos(𝜃1)的概率密度 𝑓𝑛,1 𝑢 = 1 𝐵 𝑛−1 2 , 1 2 (1 − 𝑢 2 ) (𝑛−3)/2 𝑈 𝑆 𝑛−1 的 一维边际 𝐵 𝑎, 𝑏 = Γ(𝑎)Γ(𝑏) Γ(𝑎 + 𝑏) 注：等价地，𝑢1+1 2 ~𝑏𝑒𝑡𝑎( 𝑛−1 2 , 𝑛−1 2 )， 𝑛 − 1 𝑢1 1−𝑢1 2 ~𝑡𝑛−1