微积分基本公式如果F(x)是连续函数 f∫(x)在区间[a,b上的一个原函数,则 re r(xk=F(6)-F(@) f(x)dx=[F(x 定积分的计算法牛顿一莱布尼茨公式 (1)换元法 ∫f(x)x=f(p()lp()Mt 换元积分公式 (2)分部积分法 ∫ndh=lpe-wm 分部积分公式
( ) [ ( )] . b a b a f x dx = F x 定积分的计算法 牛顿—莱布尼茨公式 （1）换元法 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) 换元积分公式 （2）分部积分法 = − b a b a b a udv [uv] vdu 分部积分公式 微积分基本公式 如果F( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = −
利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算 广义积分 (1)无穷限的广义积分 +oo b f(x)dx= lim f(x)d b→+a b b f(r)dx= lim f(x)dx (2)无界函数的广义积分 C,f()dx =lim f(x)dx E→1 f(r)dx= lim o f(r)dx E→>+0
利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算 广义积分 (1)无穷限的广义积分 + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx (2)无界函数的广义积分 b a f (x)dx →+ + = b a f x dx lim ( ) 0 b a f (x)dx − →+ = b a lim f (x)dx 0
b b Cf()dx=Sf(x)dx+5f(x)dx lim f(x)dx+ lim f(x)dx 三、典型例题 T 例1 求 sIn 0 sinx+ cos x 解由/=2 SIn cos d dx,设J dx 0 sinx+cos x o sixt cos x 则/+/=k=y sInx- cos x d (cos x +sin x) 0 sinx+ cos x =0 0 sinx+ cosx T 故得2 即I 2
b a f (x)dx = c a f (x)dx+ b c f (x)dx − →+ = c a lim f (x)dx 0 + →+ + b c f x dx lim ( ) 0 三、典型例题 例1 . sin cos sin 2 0 + dx x x x 求 解 , sin cos sin 2 0 + = dx x x x 由 I , sin cos cos 2 0 + = dx x x x 设 J , 2 2 0 + = = 则 I J dx + − − = 2 0 sin cos sin cos dx x x x x I J + + = − 2 0 sin cos (cos sin ) x x d x x = 0. , 2 2 故得 I = . 4 即 I =
例2广义积分中值定理 设fx)在[a,b上连续,g(x)在[,b上可积,且 不变号,则 35∈,使(x)g(xdk=)(xt 证因x)在|a,为止上连续,故八x)在|a,b上必取得 最大值M和最小值m,msf(x)SM 又g(x)在{a,b上不变号故不妨设g(x)≥0 →]g(x)dx≥0mg(x)≤∫( x)g(x)≤Mg(x) →mg(x)dxsf(x)g(x)≤Mg(x)d
例2 广义积分中值定理 设f(x) 在 [a ,b]上连续， g(x) 在 [a ,b]上可积，且 不变号，则 = b a b a [a,b],使 f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx 证 因f(x) 在 [a ,b]上连续，故f(x) 在 [a ,b]上必取得 最大值M和最小值m， m f (x) M 又g(x) 在 [a ,b]上不变号 故不妨设 g(x) 0 b a g(x)dx 0 mg(x) f (x)g(x) Mg(x) b a b a b a m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx
若∫8(x)d=0则由上式知∫f(x)g(x)dx=0 →∫/(x)g(xk=/)s(x)可取l内任一点 a b b 若∫x)则g(xd>0(xg(x →n≤ M 由介值定理 f(x)g(x)dx g(r)dx 彐5∈|a,使f(5)=b g(x)dx f(x)g(x dx=f(5 g(x)d
若 ( ) = 0 b a g x dx 则由上式知 = b a f (x)g(x)dx 0 = b a b a f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx 可取[a ,b]内任一点 若 b a b a g(x)dx 0,则 g(x)dx 0 M g x dx f x g x dx m b a b a ( ) ( ) ( ) 由介值定理 = b a b a g x dx f x g x dx a b f ( ) ( ) ( ) [ , ] 使 ( ) = b a b a f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx