7A=1 aA+1∂A+a2A ar+ 7a$十a E=-7V.V·E=0 以下试作定量描述，可得到谢尔赤公式： 轴对称场V满足拉普拉斯方程 72V= 1a〔.av a2V r ar'ar 02 0 场向量E则满足 E=一 av az E,- av ar 所以 ∂E+1 a≈ (E)=0 r∂r 1 E:= aE, ar ∂之 E$=0 12 B满足的方程与E相同
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前已述及，V,E,B是r的偶函数，E,B,是r的奇函数. 设轴上即r=0处所有点的V(或B.)是可知的，它们仅是x的 函数，则空间各点的场皆可用轴上场分布一称为V()或 B()一及它们对之的各阶微商和r的各次幂表示.此种表示式 称为谢尔赤展开式，如对V(x,r),有 v(v( =V()-V(r+64w()r-… 13
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推导要点 任一之坐标相同的横切面上V可展开为的偶次 幂级数V(,-∑a,(),其中a,是之的函数，n从0到无穷 大.显然，=V(z). 拉普拉斯方程7V=上，Y+Y=0即成为 X r ar'ar a ∑[a"2+(2m)2a,r22]-0 r的各次幂的系数皆应为0，故应有a,=-证，始于4 4· 重复递推，即得上式. V:m=)-r+w(r-… 14
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此类公式的特点为：利用偏微分方程（麦氏方程）建立的关系， E:E ar az E。=0 B满足的方程与E相同. 用一个方向的高阶偏微商代替另一个方向的偏微商.于是 E=-V+}v"-… E=-6wp+… 形式上可将一V(x)写成E(),而将E的分量用E:及其高 阶微商表示.与之完全相似的是： B.(=B.()-寻B7+… B(=-Br+6B,-… 15
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以上工作之所以有意义，是因为电子光学的计算大多在近轴 区进行，有理由认为的高阶项可忽略（小量假设）.常可只取r的 一次项以得到线性方程，较低的高次项有时用于分析像差等问题 和计算机数值计算.在离最近的边界（设半径为R)较近处用这些 公式是不可取的，因各级数高阶项按卡的升幂可能收敛极慢，必须 取很多项才能得到可用的结果 近轴处E,的第一项最为重要，它说明力线的走向，并提供电 子受到的横向力.V”简单地联系了V沿之轴的纵向变化率和横向 聚焦力.因为电子受力为一E,容易看出（近轴处）： V'>0时，电子被加速；V">0时，电子受到聚焦， 电场Er E=-V'+V"- 州 4 E=V,-w+… 电场Ez →加速 16 聚焦 16
z 16 r 电场Ez e 电场Er e 聚焦 加速