E--+… E,近似地正比于是这一横向力能聚焦（而非偏转或其他）的 原因.它能提供一种指向轴的、与径向偏离成比例的横向力，偏离 越大，这个力越强，对已在轴上的粒子则完全无作用：当然，如果它 背离中轴，指向外方，就成为散焦力.容易看出，V”的大小、符号与 聚焦的关系和前文对等位面、力线的定性分析一致， 等位面V 电场Er 电场E 轴上电位 Z 电场Ez 》加速 低电位 高电位 聚焦 V>0(加速)V">0(聚焦) 《电场E 17
17 z r 电场Ez e 电场Er e 聚焦 加速 z z r 电场E 等位面V e e e 电场E 低电位 高电位 轴上电位 V'>0(加速) V">0(聚焦)
回到等位面形状.由以 上公式可得到定量关系： 之轴上取一点，如该 点处V'()与V”()皆不 等于0，则过该点的等位面 在近轴处为一旋转双曲面， 如图1.1所示.令量纲为长 度的量a= V'() 图1.1 V"(z) ,此双曲 面过而向一a方向凸 起，子午面上的截线是双曲线，其方程为 -(a-a)] 2 =1 a 2d 渐近线为过（一a,0)点的斜率为tga=士2（与轴的交角a= 士5444')的两条直线，焦点坐标之=+（3-1)a,≈=处双曲 面顶点的曲率半径为2a. 18
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V”()=0时，等位面为垂直于之轴的平面心=. V'()=0而V”()≠0时，过的等位面为半顶角等于上 述α角的对顶圆锥面，子午面上的截线方程是r=士2（之一≈）： 其附近等位面呈鞍形分布，是“鞍点”，该点上E=0,根据V"大于 (或小于)0，其电位是轴向极小（或极大）值点、径向极大（或极小） 值点. 图1.1所示是a>0的情况.此时如V'>0,则V">0,此等位 面好像凸透镜人侧，起聚焦作用：若V'与V”皆小于0，则似凹透镜 出侧，所以散焦.a<0时，等位面向右凸起，聚焦、散焦仍与V”>0 或V"<0一致. e /v V>0加速 NV<0减速 V>0折速 V"<0减速 V"0聚焦(E=/2*V) V"<0散焦 V"<0散焦 V">0聚焦 \19
19 E V e V'>0 加速 V" >0聚焦 (Er=r/2*V") E V V'<0 减速 V" >0聚焦 E V V'<0 减速 V" <0 散焦 V'>0 加速 V" <0 散焦 E V
V(,)=V()-V(xr+w(r-… 64 推导要点在点处将电位沿轴向展开，得 V)=V()+v'()(e-)+2v()(-2+… 再利用谢尔赤公式沿径向展开.两式综合，则等位面方程为 V(x,r)=V(%)+V'(%)(x-∞) +([(--r]+… =V() 只考虑(，0)点附近，可将高次项略去， V"=0或V'=0时结果易得.否则，可写成 -P+2a(x-)-7f=0 剩下的只有解析几何计算了· 该式对x微分，可得 2[x-(0-a)]-r'=0 2-r2-m"=0 代入p=1十) ，即得曲率半径. 20
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顺便提一下，处理电子问题，有人愿意把E变号，使其大于0 时加速，方向与电子受力一致；同样，电荷、电流密度ρ和J也可以 变号，使对于电子是正的.虽本书不取，只要自己和相应计算程序 不糊涂，并无坏处.类似地，B的符号也可根据方便自行定义， 谢尔赤公式形式上规定了：轴上电位分布唯一地决定“全空 间”的电位分布.这是拉氏方程的性质，所谓全空间的场具有“牵一 发动全身”的连带关系和“求细节可以知高远”.本书未予过分强 调，因为此说法易产生误解.场的高阶微商无论计算或实测皆难以 准确获得；满足拉氏方程的“调和函数”具有调和、平均的特性一 空间中任意取一球面，该函数在球心取球面所有点的平均值，球内 函数之极大、极小值必在球面上，所以边界附近即使有较大变化， 到轴附近的反映已极细微，可能近于不可知.反过来，由中央求外 部，任何误差必被放大，可能使上述说法失去意义. 21
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