也许通过举例可以很好地强调这一点，让我们考虑上下交错构型中的乙烷.CC线定义了一个C，轴，但显然不是C，轴。此外，没有垂直于C，轴的对称面，然而有一个S，如下图所示，显然II和III彼此等价但都不等价于I：即?或C.本身不是对称操作，但二者任意次序的组合，我们称之为S是一个对称操作，因为它产生与I等价的IVIIIryII以后将证明转动和垂直于转动轴的平面反映操作永远给出同样结果，而与完成它们的次序无关，因此非真转动的定义不必指明次序作为另一个存在非真轴和非真转动的重要例子，让我们考虑个正四面体型分子，在3.5节中已经指出，四面体具有三个C，轴，现在每一个C，轴同时是一个S，轴，从下图可以看出：SA元素S，一般生成一组操作S.，S.S，...，但这些操作的某·26
些重要特征应该加以指出，偶数和奇数？所生成的操作集合不同，因而这两种情况应该分别考虑，假设，我们的S，轴与坐标系的轴重含，并且操作S，的反映部分对应的平面x面。偶数阶的非真轴S,生成一组操作Sn，S，S#，·，S.首先我们指出，S”=E（对于偶数n）.S表示我们完成了操作Ca，Cn，，··直到每个C，和总共都被完成了n次为止，因为n是偶数，的"次重复是恒等操作，所以S=C；C也恰好是E，因此SF，并且S+1一SS+=，等等，现在按同一论点，当m是偶数时，S”应等了C，所以在一组由偶数阶S所生成的操作中，某些S可用其他方式写出。例如，考虑一组操作S6，品，S，，S%.S不能用其他方式写出.%=C=C.=S,=i，S=C.S不能用其他方式写出。S=E，因而由元素S.所生成操作的完整集合通常可以写为：S，Ci，C，S，E，然而，按这和方式写出这一集合之后，我们很容易进行另外有益的观察，这个集合包含C3，C和E，它们正是由C，轴生成的操作，因而S。轴的存在自动地要求C.轴存在，不难看出，一般偶数阶S，轴的存在，永远要求存在一个C，轴现在让我们转到奇数阶的非真轴。它的最重要的性质是，奇数阶的S，要求C，和垂直于它的了必须独立地存在.这一点很容易证明，元素S，生成操作S，S，S，S，·，，让我们考n为奇数时的操作S它必须与应用C之后，随之应用"=有相同的效果。但是击于C一E，我们得到S.换言之，元素S生成一个对称操作。但假若存在对称操作，与它所对应的乎面本身必定是一个对称元素，现在操作S，要求我们在平面中反映，由此把构型I变成另一个构型II，然后转动2元/n，从而把I变为II.因为S，是一个对称操作，I和II必须是等价构型，但是，当n是奇数时，α本身是一个对称操作，所以II也和等价，因而又等价于II，所以我们看到，转动2㎡/n把I变到等价构型I中，因而操作C，本身也是一个对称噪作为了进一步熟悉奇数阶非真轴，让我们以S，为例，考虑这一·27
类轴生成多少个不同的操作。这个序列开始于Ss，，S，Ss，利用前面拟定的关系和习惯，我们可以把这些操作按另一种方式写出如下：S，C，之后（或之后Cs)SCSC之盾0SI= Css-aSg CsS=C之盾S=C,=C之后aS-ESHC，之后g我们着到从S，到S1（一般从S，到S），这些操作是各不相尚的，但是从S+1起开始重复这一序列，然而，在这于个操作中，有四个加上E只能用符号S表为单一的操作，其余五个则可以写为C或，因此有些操作即使借连续使用C和？可以完成它们，但除了用净之外，不能以任何方式装为单个操作，我们还看到，一般奇数”的元素S，生成2n个操作，3.7对称操作的乘积在3.3-一一3.6各节中，我候多次讨论过如何表示一个对称操作继另一对称操作运用士分子的净效应，但讨论限于有限范围，在本节中我们将涉及尽可能广的范围来讨论这个问题，首先确定一个“先完成X操作，然后完成Y作，给出和完成单个操作Z相同的净效应的方便速记法用符号把它装为YXZ注意，应用操作的次序是从右到左写出它们的次序，即YX表示X先作用，Y后作用。一般说来，不同的次序是有差别的，虽然.28-
有些情况没有差别，当序列Y的结果与序列?文的结果相同时，这两个操作X和Y称为可交换的，一个对称操作产生了两个或多个其他操作连续运用的相同结果，通常就称这一操作是其他操作的乘积，寻求单个操作为两个其他操作乘积的处理方法是考虑一个坐标为【x，，2]的普通点，运用某一操作之后，这个点移动到坐标为「r2，2，的新位置；假若还要运用其他操作，它将重新被移动，因而现在它的坐标是【x3，y3，，]，连续应用这两个操作的净效果是把这一点从【x，31，]移动到【xy3]。现在我们寻域一一步完成这一过程的方法，完成此过程的操作应是前两操作的乘积。让我们通过证明以前所做的结论来说明这种方法，这个结论是，若有两个互成直角的二重轴，则必有与二者成直角的第三个轴，假设两个给定的拍与和y轴惠合：我们可以用C&）和C来标志它们对普通点首先运用C，然居运用C）它们的坐标发生下列变换：[r1, y, ] C(2 [ x, -, 2] G(2 [-1, - 1, a1]即x的数值是一，y的数值是一y1，的数值是t。若现在把C（）运用于普通点，它被移动到【一x1，一y.因此我们可以写C,(y)C2(x) = C2()由此可见，每当存在C（）和C（y）时，必定也存在C（）因为它是它们的乘积。为什么存在两个对称元素就自动地要求第三个元素存在，作为第二个例子，考虑具有C4轴和包含这个轴的一个平面的情况，我们已经君到，操作C，将生成与第一个平面成直角的第二个平面，当存在C.轴和一个这种平面时，则必定存在第二个也包含C+，并与第一个平面成45°的平面，这-一点虽然不太明显，但也是正确的，可以用方才用过的方法来证明，普通点【x，，遍:29*
过平面的反映效果可以表为G(x)Ix1, y, at] -+ [tis -y1s 21]绕轴顺时针方向的C，转动，作用于该点的效果可表为C()[x yu, α] --→ [y, xi, m]由这些关系可以决定依次应用），然后，应用C（）的效果，即C(z)o(xz)[x1, y1, 21l ---→ C4(z)[xi, y1, zil-y-,]现在我们考虑通过平面.反映这个点的效果，平面.也包含2轴并平分十和一*轴之间以及十和一y轴之间的夹角，这一变换是aa[x, y1 ] → [y x, ]我们看到C(2)0(xx) = aa它意味着，C（）和a（x）的存在，自动地要求a的存在，因此C.转动从.生成另一个通过第一和第三象限的平面，最终的结果是，若有一个色含C轴的平面，自动地有四个为一组的平面，用非常相似的方法可以证明，若C（）和C）轴存在，则位于ry平面第一，三象限并与C）成45°的C轴也必定存在，这留作一个习题.关于普通点移动的研究还可以用来说明交换关系，例如，C（）和xy）可交换。因此按照用代替x，代替一y，代替一的符号，我们可以写C2(α)[x, y, ] →[,, ]o(xy)[x, y, z] -→[x, y, =]C20[x, y, a] - C2[x, y, z] 1, , =]以及aC2[x, y, z] -→o(x, ?, z] -→[x, y, ]我们也看到了在每种情况下乘积等价于.在只与C，和C，转动以及某种平面有关的以上诸例中，例如，.30: