3.5真轴和真转动在一般地讨论真轴和真转动之前，让我们先考虑一种特殊悄况，一条垂直于等边三角形的平面，并与它的几何中心相交的线就是这个三角形的真转动轴，将三角形绕这个轴转动120°（2元3）时，三角形进入等价构型中，应注意，转动240°（2×2元/3）也产生一个等价构型真转动轴的一殿符号是C，，此处下标n表示轴的阶。阶的意义是指在转过2元/n后，得出一个等价构型时n的最大值，在上面的例子中，这个轴是C，轴。另一种解释轴的阶n意义的说法是，为了得出不仅是等价于而且是恒等于原始情况的构型，所必须重复的，生成等价构型的最小转动的次数，若在我们的例子中，把三角形的每个角顶加上数字符号，便可详细说明“恒等”的意义。如此，转动2元/3，2×2元/3和3×2元/3的效果是：2元/3I1I人2×2T/3IIII天23×2元/31IVI构型II和III等价于1因为如不带有标号（这些标号不是实际存在的，而仅仅代表我们想象的结构）它们与【是不可能区别的，但是带有标号就是可能区别的，然而，IV不仅不带标号不可.21*
能与I相区别，即使带有标号也不可能与1相区别。因而它不仅是等价的，而是恒等的.G，轴又称为三重轴，此外，我们用符号C，表示绕C，轴转动2元/3的操作．对于转动2×2元/3，我们用符号C，对于转动3×2元/3用符号C.我们可以用符号写出CfC3，因而只有C3，C和C是独立而不同的操作.但C导至一个恒等构型，因此我们可以写C一E，研究了上一例子后，容易理解几种对于真轴和真转动的更广义的叙述，一般说来，n重轴表为Cn，转动2元/n也用符号C，表示，连续完成m次转动2元/n，用符号C表示，此外，在任何情况下，CF，C+1=C，C+2一C等等.在讨论对称蔬和反演中心时，注意下列事实：对称面只生成一个操作，即反映，反演中心只生成一个操作，即反演。但一个阶真轴则生成n个操作，即C，C，C，，C一，C一E）C，轴存在的最后一个一般性推论是要求在这种分子中，每种类型的原子具有确定的数国，当然，绕这个轴作任意转动时，在对称性真轴上的任何原于都不动，因此，位于轴上的每种类型的原子可以有任意数目，即偶数或奇数（除非其他对称元素给以一些限制），但是，假如有一个某种类型的原子位于C，轴之外，那么必须自动地还有n-1个，或总共有n个这种原子，因为连续次使用C，轴时，第一个原子总共移动了n个不同的点，假若从一开始在所有其他一1个点上没有等价的原子，新的构型就不是等价构型；这意味着，这个轴不是C对称轴，而与原始假设相矛盾，符号C表示一个转动m×2元/n.让我们考虑由C4轴所生成的操作之一的C。这是一个2×2元/4=2元/2的转动，因此同样可以写为C：类似地，在由C.轴所生成的操作之中，我们找到CC和C它们相应地可以写为CC?和C但是由于考虑到（m/n）2元中的分数（m/n），把一个操作C势写成所谓的最低项，往往不是固定不变的，读者应该熟悉这种习惯，以室于他们立该可以看出，例如，序列CC，Cz，C，C，E和C6，C，,Ct,:22
C，C在意义上是等同的，让我们现在考虑选自常见类型分子的几个另外的实例。还是从考虑一些极端情沉开始，很多分子不具有真转动轴，例如，FCISO就没有，（实际上FCISO是一个不必要的例子，因为正如我们在前面所看到的那样，它不具有任何种类的对称元素.）CISO或FSO也都不具有真转动轴。另一种极端情况是线型分子，它具有与分子轴共线的8重真转动轴。因为在线型分子中，所有原子都位于这根轴上，不论什么角度的转动，因而对所有（）个角度的转动都保留与原始情况无这别的构型。此外，和具有对称面一样，很多小分子通常具有一个或几个低阶轴。具有单个二重轴分子的例子中，有H2O和CHCI2.没有恰好具有两个二重轴的分子；稍后将证明这一点在数学上是不可能的。有很多具有三个二重轴的分子的例子，例如艺烯（CH），一个C轴与C一C轴共线：第二个垂直于分子平面并平分C一C线。第三个垂直于前两个轴并在这两个C一C线的中点与它们相交，正四面体型分子也具有三个二重轴，如下图所示C2C三重轴是非常普遍的，三角锥和平面型AB分子都具有通过·23
原子A并垂直于三个B原子平面的三重真轴：四面体型分子AB。具有四个三重轴，年个都通过原子A和一个B原子．八面体型分子AB也具有四个三重轴，每个都通过两个相对的三角形表面的中心和A原子如下图所示，平面型AB分子具有三个垂直于三重轴的二重轴．C，轴和一个垂直于C3轴的C，存在，意味着必须存在其他两个与第一个成2㎡/3和4z/3角的C，辆。因为完成转动C，我们可3以从第一个C轴生成第二个Cz轴，而完成转动C，我们可以从第一个C，轴生成第三个C，轴，C3.C在这里可以更充分有利地讨论操作C，C，，·，C，-在复刷其他对称元素时的效应。令人感兴趣的对称元素是一距平面和轴，把讨论限制于与复制转动轴垂直的轴和包含复制转动轴的平面就足够，垂直于复制转动轴的平面最然不能被复制，因为所有的转动使它不变。虽然可以完满地进行一般的讨论，但分别地研究在实际拍可能遇到的每一个复制转动轴（C1一二8）似乎是更加有益的在完成C.操作时，垂直于C.轴的轴或包含C.轴的平面都不变；因而在这种情况下，不要求存在同栏类型的其他轴或乎面，我们方才已经看到，从个垂直于C，轴的轴生成了两个同样的轴。这对于包含C轴的对称面也是正确的，我们同样可以处理C，和日24
C，的情况（实际上，对？为奇数的任意C，都可以），因为它们按相同方式操作，个垂直于C或C，轴的轴或一个包含C.或C，轮的平面，可以通过C，或C，轴的可能操作生成四个或六个另外的轴或平面，对于C，中的"是偶数的情况，结果就不那么简单：假设有一个C（1）轴垂直于C.轴。完成转动C.后，C（1）被转动了2元/4，由此产生了另一个C,轴，C(2）任是对于C.轴完成转动CC）时，C(1）完全不变，并且C（2）也不变动作C使C（1）变为C2)，C2)变为G（1).因此，由于C实际上就是C，而C是先运用C4再运用C?，C,轴仅要求另外一个.与C（1）相伴随的轴，而不要求三个，完全类似的讨论适用于平面。在C。的情况下，利用同样的论点，很容易看出，若存在一个垂直于C。的轴，或包含一个C。轴的平面，则必有另外两个同类轴或平面相伴随，同理，一个C。轴将复制一个垂直于它的C，轴，从而产生四个为一组的同类C2轴，继典型分子巾真轴的例了之后，我们可以举出平面型的PtC离子，它有一个与离子平面相垂直的C，轴和四个在离子平面克的C，轴。环成二烯阴离子CH，具有一个垂直于分子平面的C，轴和五个在分子平面中的C轴。苯具有一个C.轴和两组三个C，轴，大概唯一已知的具有C，轴的分子是平面型黄离子[C,H,]+，具有C。轴的分子的例子是（C.H:),U（双环辛四烯钳）.3.6非真轴和非真转动非真转动可以想象为接照两个步骤发生：首先是真转动，然后通过垂真于转动轴的平面反映，实现这一过程所对应的轴称为非真转动轴，或简称为非真轴，并用符号S，表示，此处仍旧表示阶．非真转动2#/n的操作也用符号5，表示，显然，若独立地存在-一个C，轴和一个垂直于它的平面，那么就存在S，·然而，更要的是，当分别地既不存在C，也不存在垂直的0附，S，也可以学:存在.0.25: