则当我们取A，的逆元素A，右乘上列等式时，得BA2A,=AMsBEAAsB= AAs但这与我们所假设的B不是子群A1，A2，···，4g的成员相矛盾，因为44A，只可能是A，中的一个，因此，如果所有乘积BA，加上A本身是在大群中，则群中至少有2g个成员。若h>2g，我们还可以选另外的不属于A或BA：的群元素，例如C，并用C去乘A我们将得到另外&个元素，它们都是主群的成员，但不是A，或BA.这些集合的成员．因而知道必定至少等于3g.但是我们终归必能达到那种情况，其时再没有其他可以用来乘4，的元素，而这些元素不在已经得到的AiBAiCA等各集合中.假设在找到了尺个那种元紫之后，就达到了再也没有其他元案的情况。那么，此处当然是整数。因而/g一，这就是所要证明的,虽然我们已经证明，任意一个子群的阶必为的除数，但我们没有证明逆定理，即存在着所有阶为的除数的子群，而实际上这一点一般并不正确。此外，我们所举出的群表明，可以有多个子群具有给定的阶，2.4类我们已经看到，在给定的群中有可能选出元素的各种较小的集合，然而，每个这种集合包含E，它们自身形成群，有另一种方法把群元素分为更小的集合，这种集合称为类，在定义类之前，必须考虑一种通称为相似变换的运算，若A和X是群的两个元素，则X-AX将等于群的桌一元素，例如B，我们有B-X-1AX用文字来表达这种关系为，B是借助于X所得的相似变换我们也称A和8是共轭的，下列共轭元素的性质是重要的。.11
（）每个元素与其自身共腕，这意味着，若我们选任意一个元案A，至少必定可以找到一个元素X，使得A-X-IAX若用 A-1左乘，得A-A - E - A-IX-AX -"(XA)-I(AX)这只有当A和X可交换时才能成立，如此，元素X总可以是E，并可以是任意其他与所选定的元素A可交换的元素，（）若A与8共轭，则B与4共轨轭这意味着，如果AX-IBX则在群中必有某个元素Y，使得B-Y-1AY通过完成相应的乘法，容易证明必定如此，即XAX-1- XX-1BXX-1 - B因此若Y=X-（因而又有Y-1=X）我们有B-y-Y这必定是可能的，因为任意元素X必存在一个逆元素Y（ii）若A与B及C共轭，则B与C相互共轭，关于这点的证明，从前面的讨论应该容易作出，所以留作习题现在我们可以定义元素的类相互共轭的元素的一个完整集合称为群的类。为了确定任意具体群中的类，可以从一个元开始，作出样中所有元素（包括它自已在内）对它的变换，然后取第二个元素确定它的所有的变换，这个元素不与第一个元素共轭，如此等等，直到把群中的所有元素都列人一个类中或另一类中为止我们用群G来说明这一方法，所有下列结果都可以利用乘法表来证明，让我们从E开始.E-FE-EEEEA-1EA=A-AE-EB-IEB-B-IBE-E.12
因此E本身必定组成一阶的类，因为它不与任何其他元素共轭，这当然在任何群中都应该是正确的，继续下去E-AE-AA-AAAB-1AB-CC-1AC = BD-AD-BF-1AF - C因此元素A，B和C都是共轭的，因而是同一类的成员.留给读者去证明B和C的所有变换都是A，B或C因此实际上A，B和C是类的仅有成员，继续进行，我们有E-DFDA-DAFB-DRFC-IDC - FD-IDD - DF-IDFD还可以求出，所有F的变换不是F就是D，因而D和F组成一个兰阶的类，应当注意，类有一阶，二阶和三阶的，它们是六阶群的全部因子，通过类似于有关子群的阶所用的方法，可以证明下面的定理是正确的。所有类的阶必定是群的阶的整数因子。以后我们将看到，在对称群中类具有有用的儿何意义，习题2.1证明只有-个五价群，并求出其乘法表。2.2推广习题2.1的结果，来证明所有阶为质数的群都唯一地定义为循环的阿贝群。13
2.3推导出它种六阶群的乘法表，2.4辩认群G!，G）的子群和六阶循环群的于群，该六阶群的乘法表已在习题2.3中求出。2.5把G，G!"，G"，G，群和六阶循环群的元素整理成类证明下列定理：在任意阿贝耳群中每个元素都成一类。2.62.7设想一个八阶的非循环2.8求出习题2.？中所设想群的所有子群和类，2.9证明对于任意循环群X、，X，·，=E，对应于阶五的每个整除数，应存在一个子群假设把一个元素心加到G，群的元素中，若C与1及B可交换，生成2.10一个怎样的新群？2.11证明或否定下列定理在群E，A，B，C，·不可能有4一≠E.【刘春万译江元生校】14
第三章：分字对称性和对称群3.1通论在本章开始先陈述一下我们的意图，看来是合适的，当我们说一些分子比另一些更对称，或某些分子具有高对称性，而另一些分子却具有低对称性或非对称性时，我们的意思直观上无疑是明确的，但是为了建立尽可能有用的分子对称性概念，必须制定一些关于对称性的严格数学标准，为此，首先研究分子可以具有的对称元素的种类，和由这些对称元素所生成的对称操作，然后将证明，·一组完全的但不是重复的对称操作（不是对称元素）组成一个数学群，最后，我们要用第二章中所讨论的群的一般性质，来帮助正确而系统地确定希望研究的任意分子的对称操作，在本章中还要叙述化学工作者通常使用的各种对称群的符号系统，另一种在结晶学中最初使雨的系统摘录于附录I中。值得向本意的读者提出下列建议．在学习识别和瑞掌对称元素时，利用三维模型是非常有帮助的。实际上在这方面，任何人从模型的研究中决不可能得不到实惠，同时还可以说，任何人想要精通现代化学知识的各方面，通过使用模型，在取得有关分子对称性的良好工作知识方面，必定会成功的。3.2对称元素和对称操作对称元素和对称操作这两种事物是不可分割地联系着的，因而容易被初学者混为一谈，但它们是不同种类的事物，因此从一开始就弄楚它们之间的差别，对理解和记忆亿是重要的。”对称操作的定义对称操作是使物体作一种运动，完成这种运动之后，物体的每?15*