D等于ABC，我们得到D-=(ABC)-J= C-B~1A-1这证明了上述法则，2.2群的几个例子群可以最有限的或无限的，即它们可闪包含有限或无限个数的元素，我们所要研究的对称群绝大部分是有限的，只有两个是无限的，这就是线型分子所可能属于的群，有限群中元素的数目称为群的阶，阶的惯用符号为，为了阐明上达作为定义的各法则，可以考一个无限群，然后考虑几个有限群。我们可以取所有整数，包括正的，负的和零作为一个无限群。若把初等代数的相加过程作为组合律，则法则1是满足的，显然，任一整数可由其他两个整数相加而得，注意得到的是阿贝耳群，因为相加的次序是无关紧要的。这个群的恒等元素是零，因为0十n一十0一n此外，组合的结合律也是成立的，例如，[(+3)4（--7)1 +(+1043)=(+3)+[(-7)+(1043)].任元素n的逆元素是（～n）因为（十n）+（一n）=0群的乘法表假著我们有一个有限群的个元素的完全而不重复的名单，并且知道所有可能的乘积有个）是什么，那么这个群就完全而唯一地被定义了一一至少在抽象的意义上是如此。上述概念可以更方便地呈现在群的乘法表的形式中，该表由h行和列所组或，每一列用一个群元素标明，每一行也是这样，表中给定的列下面并沿着给定的行，所记入的是该和该行领头的元素的乘积，因为乘法一般是不可交换的，我们对于乘法的次序必须有一个一致的并且始终如一的规则，习惯上，按照（列元素）×（行元素）的次序取这些因子，如此，在标有X的列和标有Y的行的交义点上，找到的元素是XY的乘积现在证明一个关于群的乘法表的重要定理，这个定理称为重·6
排定理在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列人，一次而且贝被列入一次，出此可见，不可能有两个行是全同的，也不可能有任意两个列是全同的，因此每一个行和每一个列都是群元素的重新排列的表。证明：令群由h个元素E，42，As，，A所组成。例如在给定的第"行中的元素为EAusA2AnsAnAnsArA因为没有两个群元素4，和，是相同的，所以不会有两个乘积AA,和A4，是相同的，记入第n行的h个元素都是不同的，因为只有个群元素，其中每个元素必须出现一次且仅出现一次，这种论证然可以适用了列现在让我们系统地研究可能的低阶抽象群，用这些群的乘法表来定义它们，当然，形式地有一个一阶群，它仅仅由恒等元素所组成，只有一个可能的二阶群，它具有下列乘法表，这个群用符号G,表示.GEAEE1EA4对于三阶群，乘法表的一部分必须如下：EABBEEAAA.BB于是，只有一种方法来完成这个表.不是AA一B就是AA*F假若AA=E，则BB=E，我们可以把表增加为
VBBEEAEAAEBB但以后我们不能进一步做下去，因为为了完成最后一列和最店一行，我们必须分别地承认BA=A和4B=A,这样一来在第二列和第二行中都重复了A，另-个可以选择的，1.4一B，明确地导致下表：BCE3RABH循环群G，是重要的一种群一一循环群的最简单而非平庸的一个成员.注意AA一B，而AB（一4AA）一E.如此可以认为取元素A及其幂A（一B）和A（一E）将组成完整的群.一般情况下，h阶的循环群定义为一个元素×及其全部h个幂，一直到X一E，我们现在就来研究儿个另外的循环群循环群的一个重要性质是，它们是阿贝耳群，即所有的乘法都是可交换的。这是理所当然的，因为不同的群元素都具有X"，X”，等等的形式，显然对于所有的m和n,X"X"=X"X"接下去我们问：可以有几个四阶群，它们的乘法表（一个或几个）将是怎样的。显然，将有一个四阶循环群。让我们运用关系式X-AX3= CX2 = BX-E出此可见，按一般格式乘法表如下：8
G(1>EABcEcE1BBcEAABBCEAccBEA-存在第二种G群，即G2是很明显的注意，对于G只有一个元素，即B是它自身的逆元案，假设代之以取两个元素A和B，每一个都是它们自身的逆元素，那么我们将无可选择，除非也令C是它自身的逆元素，因为四个E之小的每一个在表中必须位于不同的行和列，如此，将得到EA BCEEBCAAAEBBHcGE考虑片刻即可看出只有一种方式来完成这个表G2EABCEBcEAECBAAcEBBAcBEC而且显然没有其他可能性"因此有两个四阶群，即G和G2)可以认为它们是由自已的乘法表所定义，把证明只存在一个五阶群留作一个习题。同样，系统地研究1）若我们遗一个表，其中只有一个元案（除E外）是它自身的逆元案，并令这一元素是A或心来代替G表中的B，如此我们并未亿造出不同的G我们只不过是交换了相应的一些群元素的符号
六阶群的各种可能性也留作一个习题。为了使我们以后要研究的一些课题具有解说材料，给出六阶群中一个群的乘法表，G!oDEBcAFFABcDEEEDF8C4ABBFEDcABccDFEAFEDDcABBDFFCAE群2.3子检查G1群的乘法表表明，在这个六阶群中有一些较小的群。恒等元素本身是一个一阶群，这一点在任何群中当然是正确且平庸的具有非平庸本质的是二阶群，即E，A；E，B；E，C；和三阶群，即E，D，F后者也应看作是一个循环群G，因为D2一F，D3=DF=FD=E，回到主题，这些可以在较大的群中找到的较小群称为子群，当然，有些群除了E本身作为平庸子群外，没有其他子群现在让我们考感一下，对于子群的本质是否有任何限制，这些限制是群的一般定义的必然结果，而不是任何附加的，或某一具体的群所特有的性质，注意G1，群和它的子群的阶是6和1，2，3；简言之，子群的阶都是主群阶的因子现在证明下列定理：h阶群的任意子群，它的阶8必为的除数，换句话说，h/g一，是某个整数证明：假设一组个元素41，Az，43，·**，4，组成一个子群取群中的另一个不是这个子群成员的元素B，并作出所有g个乘积：BA，BAz·,BAg、这些乘积中没有一个可以在子群中，例如，假若BA A4.10