p= po +t 这就是不可压缩均质液体平衡微分方程积分后的普遍关系式。通常在实际问题中, 力的势函数W的一般表达式并非直接给出,因此实际计算液体静水压强分布时, 采用式(2-2-2)进行计算较式(2-26)更为方便 3.帕斯卡定律 在式(226)中,p{W-W)是由液体密度和质量力的势函数决定的,与p的 大小无关。因此,当p增减Δp时,只要液体原有的平衡状态未受到破坏,则p 也必然随着增减△p,即 p±△p=p0±△p+pW-W) 由此可得:在平衡液体中,一点压强的增减值将等值地传给液体内所有各点, 这就是著名的压强传递帕斯卡 B Pasca定律。水压机、水力起重机、液压传动装 置等都是根据这一定律设计的。 4.等压面 在相连通的液体中,由压强相等的各点所组成的面叫做等压面( sobaric Surface)。在静止的或相对平衡的液体中,由式(2-2-5)容易推知:等压面同时也是 等势面( sopotential Surface) 在相对平衡液体中,因在等压面上,d=0,由式(22-2)得 Xdx+Ydy +Zdz =0 (2-2-7) 这就是等压面的微分方程式。如单位质量力在各轴向的分量X、Y、Z为已知, 则可代入上式,通过积分求得表征等压面形状的方程式。 等压面的重要特性是:在相对平衡的液体中,等压面与质量力正交。这可如 下证明: 设想液体的某一质点M在等压面上移动一微分距离ds,则作用在这一质点上 的质量力所作的功应为(图2-4) 图24 w=(fdmcos 0 )ds 式中∫为作用于该质点的单位质量力,dm为该质点的质量,为质量力与ds之 间的夹角
( ) p = p0 + W −W0 (2-2-6) 这就是不可压缩均质液体平衡微分方程积分后的普遍关系式。通常在实际问题中， 力的势函数 W 的一般表达式并非直接给出，因此实际计算液体静水压强分布时， 采用式(2-2-2)进行计算较式(2-2-6)更为方便。 3．帕斯卡定律 在式(2-2-6)中， ( ) W −W0 是由液体密度和质量力的势函数决定的，与 p0 的 大小无关。因此，当 p0 增减Δp 时，只要液体原有的平衡状态未受到破坏，则 p 也必然随着增减Δp，即 p±Δp=p0±Δp+ ( ) W −W0 由此可得：在平衡液体中，一点压强的增减值将等值地传给液体内所有各点， 这就是著名的压强传递帕斯卡(B.Pascal)定律。水压机、水力起重机、液压传动装 置等都是根据这一定律设计的。 4．等压面 在相连通的液体中，由压强相等的各点所组成的面叫做等压面(Isobaric Surface)。在静止的或相对平衡的液体中，由式(2-2-5)容易推知：等压面同时也是 等势面(Isopotential Surface)。 在相对平衡液体中，因在等压面上，dp=0，由式(2-2-2)得 Xdx + Ydy + Zdz =0 (2-2-7) 这就是等压面的微分方程式。如单位质量力在各轴向的分量 X、Y、Z 为已知， 则可代入上式，通过积分求得表征等压面形状的方程式。 等压面的重要特性是：在相对平衡的液体中，等压面与质量力正交。这可如 下证明： 设想液体的某一质点 M 在等压面上移动一微分距离 ds，则作用在这一质点上 的质量力所作的功应为(图 2-4)： W=( fdmcos )ds 式中 f 为作用于该质点的单位质量力，dm 为该质点的质量，θ为质量力与 ds 之 间的夹角
设d在各轴向上的投影分别为x、d及d;因质量力的合力所作之功应等 于它在各轴向的分力所作之功的和,故 (fdmcos0 )ds=dm( Xdx+ Ydy + Zdz 然而在相对平衡液体中的等压面上 dp= Xdx+ Ydy+Zd==0 即得 fas cos=0 在上式中,根据假设∫及d都不等于0,故必有cos=0,亦即θ必须等于90 由于等压面上ds的方向是任意选择的,既然质量力与ds正交,它与等压面也必 然是正交的。可见,二者的方向只要知道一个,其他一个便可随之确定。例如只 有重力作用下的静止液体中的等压面为水平面;如果在相对平衡液体中,如除重 力外还作用着其他质量力,那么,等压面就应与这些质量力的合力成正交,此时 等压面就不再是水平面了。 常见的等压面有液体的自由表面(因其上作用的压强一般是相等的大气压 强),平衡液体中不相混合的两种液体的交界面等等。等压面是计算静水压强时常 用的一个概念 §2-3重力作用下静水压强分布规律 工程实际中经常遇到的液体平衡问题是液体相对于地球没有运动的静止状 态,此时液体所受的质量力仅限于重力。下面就针对静止液体中点压强的分布规 律进行分析讨论。 、重力作用下静水压强的基本公式 h 图25 在质量力只有重力的静止液体中,将直角坐标系的z轴取为铅直向上,如图 2-5所示。在这种情况下,单位质量力在各坐标轴方向的分量为X=0,Y=0,Z=8 代入公式(2-2-2),得 dp=-pgdx=rdz
设 ds 在各轴向上的投影分别为 dx、dy 及 dz；因质量力的合力所作之功应等 于它在各轴向的分力所作之功的和，故 ( fdmcos )ds=dm( Xdx + Ydy + Zdz ) 然而在相对平衡液体中的等压面上 dp= Xdx + Ydy + Zdz =0 即得 fdscos =0 在上式中，根据假设 f 及 ds 都不等于 0，故必有 cosθ=0，亦即θ必须等于 90°。 由于等压面上 ds 的方向是任意选择的，既然质量力与 ds 正交，它与等压面也必 然是正交的。可见，二者的方向只要知道一个，其他一个便可随之确定。例如只 有重力作用下的静止液体中的等压面为水平面；如果在相对平衡液体中，如除重 力外还作用着其他质量力，那么，等压面就应与这些质量力的合力成正交，此时 等压面就不再是水平面了。 常见的等压面有液体的自由表面(因其上作用的压强一般是相等的大气压 强)，平衡液体中不相混合的两种液体的交界面等等。等压面是计算静水压强时常 用的一个概念。 §2-3 重力作用下静水压强分布规律 工程实际中经常遇到的液体平衡问题是液体相对于地球没有运动的静止状 态，此时液体所受的质量力仅限于重力。下面就针对静止液体中点压强的分布规 律进行分析讨论。 一、重力作用下静水压强的基本公式 在质量力只有重力的静止液体中，将直角坐标系的 z 轴取为铅直向上，如图 2-5 所示。在这种情况下，单位质量力在各坐标轴方向的分量为 X=0，Y=0，Z=-g。 代入公式(2-2-2)，得 dp=-ρgdz=-γdz
或 d+=0 对不可压缩均质流体,重度y=cosm,积分上式得 +p=c 3-1) 式中C为积分常数。式(2-3-1)表明,在重力作用下,不可压缩静止液体中各点的 (z+P)值相等。式中z代表某点到基准面的位置高度,称为位置水头( Elevation Head);P代表该点到自由液面间单位面积的液柱重量,称为压强水头( Pressure Head);t+P称为测压管水头( Piezometric head)。对其中的任意两点1及2,上式 可写成 P 2-3-2) 这就是重力作用下静止液体应满足的基本方程式,是水静力学的基本方程式。 在自由表面上,=0,p=p0,则C=20+P0。代入式(231)即可得出重力作用下静 止液体中任意点的静水压强计算公式 pot y 或 p=po+ rh 式中h=20-表示该点在自由液面以下的淹没深度。式(2-3-3)即计算静水压强的基 本公式。它表明,静止液体内任意点的静水压强由两部分组成:一部分是表面压 强p0,它遵从帕斯卡定律等值地传递到液体内部各点;另一部分是液重压强yh, 也就是从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量。 由式(2-3-3)还可以看出,淹没深度相等的各点静水压强相等,故水平面即为 等压面,它与质量力即重力)的方向相垂直。如图26a所示连通容器中过1、2 3、4各点的水平面即等压面。但必须注意,这一结论仅适用于质量力只有重力的 同一种连续介质。对于不连续的液体(如液体被阀门隔开,见图2-6b),或者一个 水平面穿过两种及以上不同介质(见图2-6c),则位于同一水平面上的各点压强并 不一定相等,水平面不一定是等压面 b非等压面 6非等压面 等压面 等压面 (a)连通容器 (b)连通容器被隔断 (c)盛有不同种类液体的连通容器 图2
或 dz+ dp =0 对不可压缩均质流体，重度γ=cosnt，积分上式得 z+ p =C (2-3-1) 式中 C 为积分常数。式(2-3-1)表明，在重力作用下，不可压缩静止液体中各点的 (z+ p )值相等。式中 z 代表某点到基准面的位置高度，称为位置水头(Elevation Head)； p 代表该点到自由液面间单位面积的液柱重量，称为压强水头(Pressure Head)；z+ p 称为测压管水头(Piezomeric Head)。对其中的任意两点 1 及 2，上式 可写成 z1+ 1 p =z2+ 2 p (2-3-2) 这就是重力作用下静止液体应满足的基本方程式，是水静力学的基本方程式。 在自由表面上，z=z0，p=p0，则 C=z0+ 0 p 。代入式(2-3-1)即可得出重力作用下静 止液体中任意点的静水压强计算公式 p=p0+γ(z0-z) 或 p=p0+γh (2-3-3) 式中 h=z0-z 表示该点在自由液面以下的淹没深度。式(2-3-3)即计算静水压强的基 本公式。它表明，静止液体内任意点的静水压强由两部分组成：一部分是表面压 强 p0，它遵从帕斯卡定律等值地传递到液体内部各点；另一部分是液重压强γh， 也就是从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量。 由式(2-3-3)还可以看出，淹没深度相等的各点静水压强相等，故水平面即为 等压面，它与质量力(即重力)的方向相垂直。如图 2-6a 所示连通容器中过 1、2、 3、4 各点的水平面即等压面。但必须注意，这一结论仅适用于质量力只有重力的 同一种连续介质。对于不连续的液体(如液体被阀门隔开，见图 2-6b)，或者一个 水平面穿过两种及以上不同介质(见图 2-6c)，则位于同一水平面上的各点压强并 不一定相等，水平面不一定是等压面
二、压强的量度 量度压强的大小,首先要明确起算的基准,其次要了解计量的单位。 1.量度压强的基准 压强可从不同的基准算起,因而有不同的表示方法。 (1)绝对压强( Absolute pressure):以设想的没有气体存在的完全真空作为零点 算起的压强称为绝对压强,用符号p′表示 (2)相对压强( Relative Pressure):在实际工程中,水流表面或建筑物表面多为 当地大气压强,并且很多测压仪表测得的压强都是绝对压强和当地大气压强的差 值,所以,当地大气压强又常作为计算压强的基准。以当地大气压强作为零点算 起的压强称为相对压强,又称计示压强或表压强,用符号p表示。于是可得相对 压强与绝对压强之间的关系为 p- Pab -pa 2-3-4 式中pz为当地大气压强 如自由液面上的压强为当地大气压强,则式(2-3-3)成为 h (3)真空及真空压强( Vacuum Pressure):绝对压强值总是正的,而相对压强值 则可正可负。当液体某处绝对压强小于当地大气压强时,该处相对压强为负值, 称为负压,或者说该处存在着真空。真空压强p用绝对压强比当地大气压强小多 少来表示,即 p=P,-Pab=lpl (pab <pa= (2-3-6) 由式(2-36)可知:在理论上,当绝对压强为零时,真空压强达到最大值p=pa, 即“完全真空”状态。但实际液体中一般无法达到这种“完全真空”状态,因为 如果容器中液体的表面压强降低到该液体的汽化压强(饱和蒸汽压强( Saturation Vapour Pressure)pp时,液体就会迅速蒸发、汽化,因此,只要液面压强降低到液 体的汽化压强时,该处压强便不会再往下降。所以液体的最大真空压强不能超过 当地大气压强与该液体汽化压强之差。水的汽化压强随着温度降低而降低。表2-1 列出了水在不同温度下的汽化压强值 表2-1水在不同温度下的汽化压强值 温度(℃) 10 15 25 p(kPa 061087 1.23 2.34 3.17 4.24 (m水柱)|0 0.09 0.17 0.33 0.44 7.38 23319.9 31.16 47.34 70.10 01.33
二、压强的量度 量度压强的大小，首先要明确起算的基准，其次要了解计量的单位。 1．量度压强的基准 压强可从不同的基准算起，因而有不同的表示方法。 (1)绝对压强(Absolute Pressure)：以设想的没有气体存在的完全真空作为零点 算起的压强称为绝对压强，用符号 p′表示。 (2)相对压强(Relative Pressure)：在实际工程中，水流表面或建筑物表面多为 当地大气压强，并且很多测压仪表测得的压强都是绝对压强和当地大气压强的差 值，所以，当地大气压强又常作为计算压强的基准。以当地大气压强作为零点算 起的压强称为相对压强，又称计示压强或表压强，用符号 p 表示。于是可得相对 压强与绝对压强之间的关系为 p= pab - a p (2-3-4) 式中 pa 为当地大气压强。 如自由液面上的压强为当地大气压强，则式(2-3-3)成为 p=γh (2-3-5) (3)真空及真空压强(Vacuum Pressure)：绝对压强值总是正的，而相对压强值 则可正可负。当液体某处绝对压强小于当地大气压强时，该处相对压强为负值， 称为负压，或者说该处存在着真空。真空压强 pv 用绝对压强比当地大气压强小多 少来表示，即 pv= a p - pab =|p| (pab＜pa＝ (2-3-6) 由式(2-3-6)可知：在理论上，当绝对压强为零时，真空压强达到最大值 pv=pa， 即“完全真空”状态。但实际液体中一般无法达到这种“完全真空”状态，因为 如果容器中液体的表面压强降低到该液体的汽化压强(饱和蒸汽压强(Saturation Vapour Pressure))pvp 时，液体就会迅速蒸发、汽化，因此，只要液面压强降低到液 体的汽化压强时，该处压强便不会再往下降。所以液体的最大真空压强不能超过 当地大气压强与该液体汽化压强之差。水的汽化压强随着温度降低而降低。表 2-1 列出了水在不同温度下的汽化压强值。 表 2-1 水在不同温度下的汽化压强值 温度(℃) 0 5 10 15 20 25 30 pvp(kPa) 0.61 0.87 1.23 1.70 2.34 3.17 4.24 pvp/γ (m 水柱) 0.06 0.09 0.12 0.17 0.25 0.33 0.44 温度(℃) 40 50 60 70 80 90 100 pvp(kPa) 7.38 12.33 19.92 31.16 47.34 70.10 101.33
y(m水柱 1.26 2.0 10.33 玉强 A点相对压 相对压强基准 B点真空压强 A点绝对压强 地大气压 B点绝对压强 绝对压强基准 图27 图27为用几种不同方法表示的压强值的关系图,其绝对压强与相对压强之 间相差一个大气压强 2.压强的计量单位 (1)用一般的应力单位表示,即从压强定义出发,以单位面积上的作用力来表 示,如 PakA (2)用大气压强的倍数表示,即大气压强作为衡量压强大小的尺度。国际单位 制规定:一个标准大气压(pm=101325Pa,它是纬度45°海平面上,当温度为0℃ 时的大气压强。工程上为便于计算,常用工程大气压来衡量压强。一个工程大气 压(pan)=98kPa (3)用液柱高表示。由式(2-3-5)可得 h=p 上式说明:任一点的静水压强p可化为任何一种重度为y的液柱高度h,因此也 常用液柱高度作为压强的单位。例如一个工程大气压,如用水柱高表示,则为 h=Pan=980010m(水柱) y9800 如用水银柱表示,则因水银的重度取为y=133230Pa/m,故有= =0.7356m(水银柱) y133230 三、水头和单位势能 前面己经导出水静力学的基本方程为x+2=C式(2-3-1)。若在一盛有液体的容器 的侧壁打一小孔,接上开口玻璃管与大气相通,就形成一根测压管( Piezometer) 如容器中的液体仅受重力的作用,液面上为大气压,则无论连在哪一点上,测压 管内的液面都是与容器内液面齐平的,如图2-8所示。测压管液面到基准面的高
pvp/γ(m 水柱) 0.76 1.26 2.03 3.20 4.96 7.18 10.33 图 2-7 为用几种不同方法表示的压强值的关系图，其绝对压强与相对压强之 间相差一个大气压强。 2．压强的计量单位 (1)用一般的应力单位表示，即从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表 示，如 Pa,kPa。 (2)用大气压强的倍数表示，即大气压强作为衡量压强大小的尺度。国际单位 制规定：一个标准大气压(patm)=101325Pa，它是纬度 45°海平面上，当温度为 0℃ 时的大气压强。工程上为便于计算，常用工程大气压来衡量压强。一个工程大气 压(pat)=98kPa。 (3)用液柱高表示。由式(2-3-5)可得 h= p (2-3-7) 上式说明：任一点的静水压强 p 可化为任何一种重度为γ的液柱高度 h，因此也 常用液柱高度作为压强的单位。例如一个工程大气压，如用水柱高表示，则为 h= at p = 9800 98000 =10m(水柱) 如用水银柱表示，则因水银的重度取为γH=133230Pa/m，故有\= h= at p = 133230 98000 =0.7356m(水银柱) 三、水头和单位势能 前面已经导出水静力学的基本方程为 z+ p =C 式(2-3-1)。若在一盛有液体的容器 的侧壁打一小孔，接上开口玻璃管与大气相通，就形成一根测压管(Piezometer)。 如容器中的液体仅受重力的作用，液面上为大气压，则无论连在哪一点上，测压 管内的液面都是与容器内液面齐平的，如图 2-8 所示。测压管液面到基准面的高