12已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r=R(cos ot i+sin at j) 求(1)质点轨迹,(2)速度和加速度,并证明其加 速度总指向一点。 AF:(1)X=R cos ot, y=R sin ot 质点轨迹方程:x2+y2=R2,是圆心在圆点的圆。 (2)速度:vx=dx/dt=-0 R sin ot v,=dy/dt=oR cos ot ⅴ=oR(- sin ot 1+ cos at j 加速度:a1=dv/dt=-02 R cos ot y dv / dt R sin ot a=-ofR(cos ot i +sin ot j=-ofr
目录1-2 已知质点位矢随时间变化的函数形式为： r R(cos t i sin t j) = + 求 (1) 质点轨迹，(2) 速度和加速度，并证明其加 速度总指向一点。 解：(1) x = R cos t ，y = R sin t 质点轨迹方程：x 2 + y2 = R2，是圆心在圆点的圆。 (2)速度：vx = dx/dt = - R sin t vy = dy/dt = R cos t v R( sin t i cos t j) = − + 加速度：ax = dvx /dt = - 2 R cos t ay = dvy /dt = - 2 R sin t a R(cos t i sin t j) r 2 2 = − + = −
呼3在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数 形式为: F=4t2i+(2t+3)j 求(1)质点轨迹,(2)从t=0到t=1的位移, 3)t=0和t=1两时刻的速度和加速度。 解:(1)x=4t,y=2t+3 质点轨迹方程:x=(y-3)2,故x>0,y>3,质 点轨迹为抛物线的一段 (2)r(0)=3j,f (1)=4i+5j △r=r(1)-r(0)=4i+2 (3)v=8i+2i,a=81,而0)=2 ()=8 v()=81+2j,a(1)=8
目录1-3 在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数 形式为： r 4t i (2t 3) j 2 = + + 求 (1) 质点轨迹，(2) 从 t = 0 到 t = 1 的位移， (3) t = 0 和 t = 1 两时刻的速度和加速度。 解： (1) x = 4t2 ，y = 2t + 3 质点轨迹方程：x= ( y - 3)2，故 x > 0，y > 3，质 点轨迹为抛物线的一段。 r r(1) - r(0) 4 i 2 j r(0) 3 j, r(1) 4 i 5 j, = = + = = + (2) (3) v(1) 8 i 2 j, a(1) 8 i v 8t i 2 j, a 8 i. v(0) 2 j, a(0) 8 i = + = = + = = =
13一弹性球自静止竖直地落在斜面上的A点 下落高度h=0.20m,斜面与水平夹角=300 问弹性球第二次碰到斜面的位置B距A多远。设 弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等,碰撞时入 射角等于反射角 解:vo=(2gh)1,取xy坐标轴如图 vx=dx/dt=vo sin300+g sin300t h 0.5(v+g v,= dy dt=v. cos300-g cos300 t g 0.866(v。-gt) B x=0.5(vnt+gt2/2 y=0866(vt-gt2/2);y=0→t=2v/g→ X=0.5(v·2v/g+g·(2vg)2/2)=2v2/g =4h=4×0.20=0.80m
目录1-13 一弹性球自静止竖直地落在斜面上的 A 点， 下落高度 h = 0.20 m ，斜面与水平夹角 = 30o ， 问弹性球第二次碰到斜面的位置 B 距 A多远。设 弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等，碰撞时入 射角等于反射角。 B A O h y x g vo 解：vo = ( 2gh )1/2 ，取 xy 坐标轴如图。 vx = dx / dt = vo sin30o + g sin30o t = 0.5 ( vo + g t ) vy = dy / dt = vo cos30o - g cos30o t = 0.866 ( vo - g t ) x = 0.5 ( vo t + g t2 / 2 ) y = 0.866 ( vo t- g t2 / 2 ) ；y = 0 t = 2vo / g x = 0.5 ( vo 2vo /g + g ( 2vo /g ) 2 / 2 ) = 2vo 2 / g = 4 h = 4 0.20 = 0.80 m
尽14一物体从静止开始作圆周运动,切向加速度 at=3.00m/s2,圆的半径R=300m,问经过多 少时间物体的加速度a恰与半径成450夹角。 解:=450, a,=dv/dt→dv=a,dt→V=a,t R o a a=v2/R=a2t2/R 根据题意:a1=an=a12t2/R →t=(R/a1)12=(300/300) 1/2 10s
目录1-14 一物体从静止开始作圆周运动，切向加速度， at = 3.00 m / s2 ，圆的半径R = 300 m，问经过多 少时间物体的加速度a 恰与半径成 45o 夹角。 a at o R 解： = 45o ， at = dv / dt dv = at dt v = at t an = v2 / R = at 2 t 2 / R 根据题意： at = an = at 2 t 2 / R t = ( R / at ) 1/2 = ( 300 / 3.00) 1/2 = 10 s
充题1.一物体沿x轴运动,其加速度与 位置的关系为a=2+6x,物体在x=0处的 速度为10m/s,求物体速度与位置的关系。 解:a=dⅤdt= v dv/dx=2+6x v dv=(2+ox)dx L v aV=jo(2+6x dx 2-ⅴ2/2=2x+3 6x2+4x+v 6x2+4x+100(SI)
目录补充题 1. 一物体沿 x 轴运动，其加速度与 位置的关系为 a = 2 + 6x，物体在 x = 0 处的 速度为 10 m/s，求物体速度与位置的关系。 解：a = dv/dt = v dv/dx = 2+6x v dv = ( 2+6x ) dx vo v v dv = o x ( 2+6x ) dx v 2 / 2 - vo 2 / 2 = 2x + 3x2 v 2 = 6x2 + 4x + vo 2 = 6x2 + 4x + 100 ( SI )