1.2三维矢量;标积和矢积 计算表明vt与v方向相同 183定义两矢量的标积 解两矢量F1、F2(见图1-35)的标积写 为F1H2,定义为它们大小与之间夹角的余弦的 乘积.即,F1F2=F1·F2C00,这是-标量.在图 1-35中,F1=75,F2=100,=60°,所以F1F2 =(75)(100)(0.5)=3750 184求沿x、y、z方向的单位矢t之间的标 解因为厶、j、k互相垂直,大小均为1由 图1-35 定义可得 185用直角坐标分量表示两矢量的标积 解断设两矢量为 Ft= Fid+ FlJ+ Flk, F2= F2i+ F2j+ F2k 它们的标积为 F1∵F2=(F1+F1+F1k)(F2i+F2小+F2k)上式右式可以化简设标积满足分配律,又ii= 见题184),所以 F1·F2=F1Fx+FFy+F1F 为证明F1F2的这一表达式与F1F2csB相同(8为F1、F2之间的夹角),上式右共同乘、除F1、F2 FF(号+P2 =F1F2(l1l2+m1m2+n1n2) 在两维情况下 推广到三维,cos0=l1l2+m:m2+n1n2.因此,上面表达式确为F1F2cos,所以分量乘法满足标积的 定 1.86令F1=10i-15j-20k,F2=6+8-12k,求它们的标积和夹角 解F1·F2=(10)(6)+(-15)(8)+(-20)(-12)=180 而F1=(102+152+202)2=2693,F2=1562,因此,F1、F2之间的夹角a满足 F .93)(156)0.4279,8=64.66 当然,也可由c0s=l12-m1m2+n1n2求得 187求任意矢量沿一直线的投影 矢量A=(A,Ay,A-)沿矢径r=(x,y,x)决定的直线方向的投影为A,=As0,0是r与 A之间的夹解由点积的定义,A·r= Arcos日-A,r,因此,记r=(1/r)r=(l,m,n)-沿r方向的单 位矢量,则A,=Ar=A+Am+A2丌,即使直线不经过原点此式仍然适用 1.88求矢量A=10+8-6k沿r=5i+6+9k方向的投影 92)12=11.92,由题1.87知 A=A+Am+Am=0(19)+8 定义两矢量的矢积
第一章数学简介 解两矢量F1、F2(见图1-36)的矢积写 4F=F×F2 成F=F1×F2,F足义为矢量,其大小为F= 向前 F1F2sin,方向为从F1转过a角到达F2时右 手螺旋前进的方向,螺旋的轴直于F1和F2 所决定的平面(手螺旋定则).即:右手弯曲的 四指从F转至F2时,伸直的拇指所指的方向 (右手定则) 注意:根据右手定则,F1×F2--(F2XF:) 1.90求坐标轴单位矢量的矢积 解因为i小k互相垂直,大小为 i×i=jXj=k×k=0,×j=k 图1-36 j×k=i,k× jX kxj=i,i×k=-j 191给定两个矢量(见图1.37 A=A-Aj+Ak,B=Bi+Bj+Bk,求它们在直角坐标系中的矢积 C=A×B=(Ai+Aj+Bk),右边运用分配律并利用题1.90中得出的iXi等结 果,得 C=A×B=AAyA B. B 验证如下:展开行列式的第一行,C的x、y、z方向的分量为 Cr=AB:,,, Cy=(A,B,.B2), C,=ABy-A, Br 因此,C的大小为C=(C2+C2+C2),而其方向余弦是 矢量C当然垂直于矢量A、B组成的平面 f2. m. n2 C,,wl. 1.92如图1-38,设矢量A、B在xy平面内,求C=A×B的大小和方向 解Cm(200)(100)sin(55·-15)=2000040°=1285 由右于定则,C的方向为+Z方向,可写成C=12855k 1.93参见图1-37,设A=20i-10j+30k,B=-6i+15j-25k
12三维矢量;标积和矢积 17 (a)求A、B的大小, (b)求A的方向余 弦,(c)求矢积C A×B,(d)求C的 大小和方向,(e)求 B的夹角,(f)求 B的方向余弦l2 并求B与 轴之间的夹 图1.38 角 a21a22丶a (a)A=(202+102+302)1/2=37.42,B=29.77 (c)应用行列式公式 C=i[(-10)(-25)-(15)(30)-j[(20)(-25)-(30)(-6) +k[(20)(15)-(-10)(-6)] 200i+320j+240k d)C的大小为C=200(12+1.62+1.2)y12=447.21,方向余弦为 注意:C=C(l3i+my+n3k) (e)C= ABsin,447.21=(37,42)(29.7)sin,sin6=0.40145,9=23.67 (f)B=-6i+15}-25k=B(l2+m2j+n2k) 因此 5,Bm2=-25,B={62+152+252)/2
第二章共点力的平衡 2.1绳子;绳结和不计摩擦的滑轮 2.1图2-I(a)中的物体重50N且被一根绳子拉住求绳上的拉力 解有两个力作用在物体上,向上的绳子拉力和向下的重力用T表示绳子上的拉力和绳中的 张力物体重力w=50N,这两个力画在图21(b)中的示意图中 力已经写成分量形式,所以我们可以马上写出平衡的第…个条件 ∑F ∑F 得T·50N-0 从中得T=50N 2.2如图22(a)所示水平绳中的张力为30N求物体的重力 解由2.1题知绳1中的张力等于挂在 面物体的重力所以T1=t,我们要求出T1或 已知未知力T:和已知力30N都作用在P点的 结上,可把P点的结作为研究对象画出结所受 的力如图22(b)所示同时也画出力的分量 由图2-2(b)写出结受力平衡时的第一个条件 ∑F=0得30N-2s4r=0 特T2sin40°-w=0 重力mw 解第一个方程得T2=39.2N.把该值代入第二个力程得物体的重为 2.3对于图2-3(a)中的系统,如果物体重600N,求T1和T2的值 解話研究在三个力作用下处十平衡的结,如图23(b)所示 即 ∑F=0,得T2ss0-600N-0,即0.76672-60N 解得T2=783N,代入∑F2的方程得T1=503N 24绳子受到如下共面力:与x轴正方向成30的力大小为200N成80的力大小为500N,成 240的力大小为300N,还有一个未知的力求当绳子处于平衡时未知力的大小和方向
2.1绳子;绳结和不计摩擦的滑轮 图2-4 解以0“的线为x,90·的线表示y轴.三个已知力如图2-4所示如果F4表示未知的力,则 F1+F2+F3+F4=0.设R=F1+F2+F3,则R+F:=0→FA=-R.要求F4,我们只需求出R R,=Fl+ Fx+ F3r Ficas30 R,=200(0,866)+500(0,174)-300(0.500)=110(N) R,= FIsin30+ F2sin80-F3sin6t 0.985)-300(0,866)=33(N) R=(R2+R3)12=351N,tang →R=71.7,F4=R和6p.=R+180°=252 2.5在图2-5(a)中W的值为180N.求绳A、B中的张力 解根据图2-5(b)以及x和y方向的合力为零得A=Bco53和Bsn53=W=180.由后式解得 225N,代入前式解得A=135N C=w 图2.5 26如果图2-5(a)中相同的绳子A和B能承受的力不超过200N,则W的最大值为多大? 当W为最大值时另一根绳子中张力为多大? 解欹由2.5题,B将受到最大拉力200N.由竖直方向的力平衡求得W=200in53=160(N),由 水平方向的力平衡求得A=200c0s53=120(N 27一根绳子系在两根杆上一位重90N的男孩抓住绳子并悬在空中,如图2-6(a)所示求 绳上两部分的张力 解设绳上两部分的张力为T和T2,研究男孩手抓住的绸子的部分该处受力如图2-6(b)所 ∑F=0,得 ∑F=0,得T2sns+Tsin°-=0