第草数学简介 角60°;200N,与x轴夹角140°;250∵,与x轴夹角320°求第四个力 R=F1F22↑F Ry= Fly+ F2, + Fs 153轿车重v,位于顷角为0的斜 面上,斜面支撑轿车的正压力应为 多大才能承受住轿车的重量? 解如图129所示,轿车的重力 可分解为沿斜面和垂直斜面的两个 分量斜面的正压力应与垂直斜而的分 vcos平衡 154图1-30(a)所示为作用于一物体 上的五个共面力求它们的合力 图1 解(1)求每个力的x和y分量 分量/N 19.0 l6cs45--11.316sin45°=11,3 22.0 φ (2)合力R的分量为 R2-∑F=19.0+7.5-113-9.5+0=+5.7(N) R、=∑F,-0+13.0 (3)合力的大小为
1.2三维矢量;标积和矢积 (4)合力如图1-29(b)所示,出图可见 合力大小为6.5N,在331(或-29°)方向 1.55用代数方法求下列共面力的合力R和平衡力E:300(N),0°;400(N),30°;400N), 解国R=F1+F2+F3,E=-R R2=300+400530+400cs150°-300(N) 注:400150°=-400cc30°,400sin150°=400sin30 R,=0+400sn30°+400sin150°=400(N) =53在x轴上方,而E=500N,E=53在+x轴下方 12三维矢量;标积和矢积 1.56矢量A(见图1-31)起点在原点,端点在点(7.0m,4.0m,5.0m)处,求其大小 解卸首先,注意到矢量A和其分量A2分 别是直角三角形的斜边和直角边(该三角形所在 平面垂直于xy平面),由勾股定理有A2=B2+ Ax,AA:)-(70m4.0m,50m A,而矢量B又是xy平画内的直角三角形的斜5「 边,该三角形的二直角边分别是A和Ay,由勾 股定理又得B2=A2+A3两方程联立,得 A2即A 就是三维悄况下的勾股定理 由已知条件,得 A=√(7.0m)2+(4.0m)2+(5.0m)2=9.5m 1.57求图132中三维矢量F的三个分量的大0 解跖在图132中,F,F,F是F的三个 互相垂直的分量,其大小Fx、Fy、F4分别为 x/m(7 图131 为方便起见,记cosa1=l,os2=m,cosy=n FI, F F 1、m、n称做F的方向余弦由三维的勾股定理(题1.56)得,l2 1.8在图1-32中,设F表示一力,其大小为200N)令a1=60°,02=40°,求Fx、F,和F 解1=0.5, 0,404 (已设F为正,否则n=-0.404) F的直角分量为 Fx=(200)(0,5)=100(N), F=153.2(N) F=80.0(N) 复查:(1002+153.2+80.82)1/2≈200.而B3=66,17 1.59求F1、F2F3的失量和R.三矢量在与图1-32相同的三维直角坐标系中,起点均位于 原点 解归按分量法
第一章数学简介 R,=FI R=[ F32)2]2,式中F12是F1的x分 量,依此类推.R的方向余弦如下: FIy+ F2x+ F3x 下23 起始于原点的任意数目的矢量的合矢量(大小 图1.32 及方向)均可这样求得 160定义单位矢量 解任一非零矢量均可写成F=Fe,F是F的大小,而e是F方向的单位矢量(大小为1的矢量).也 就是说,F的大小由F表示,而方向由e表示,F的单位(如N,m/s)与F相同,因此e是无量纲的矢 1.61用沿坐标轴方向的单位矢量表示图132中的矢量F 解在图1-32中,引入x、y、z方同的单位矢量i、k,则按题160的定义,F的三个矢量分量 可仔成 Fi-Fi, F,= FJ, F:=Fk 若某一分量大小为负如F=-F:-Fx,则F2=-F2|t=|F2(-),这也已在毯1,60中规 定过因为F代表合矢量,我们可写出下列重要表达式: F“FA+Fi+Fk 在此表达式中,F=Fos,=F,依此类推而F的大小及其方向(即方向余弦)为 F=(F2-F2+F2),L=F, m=b, n=F 1.62力F的分量为F,=100N,F=153.2N,F4=808N,用单位矢量表示F并求其大小 解用单位矢量表示F可写成F=100i+1532j+808k 大小:F=(1002+153.22+812)2=200(N) 方向:1=00=0.5,m=0.766,n=0.404 所以F=(100N)i+(153.2)j+(80.8N)k或F=100i+153.2j+80.8k(N) 1.63一力的x、y分量分别为3N和-5N,与力A相加后,合力在负x轴方向,大小为4N 求A的x、y分量 解设A=A4+Aj,则有A,+3=-4,A3-5=0,因此A1=-7N,A,=5N 164用单位矢量ij、k表示图1-13中的A、B、C 解節A-Ai+Aj+Ak=6i(m),B=6+10.4(m),C=4,5i-7.8j(m 1.65一未知位移与位移7i-4j相加后的合位移为5i-3j(m),求该位移的分量 解A+7-5,A,-4=-3所以A=2m,A=1 1.66求下列二矢量:2i-3;-9i-5j;4i+8j的矢量和的大小和方向 解(2-9+4)i+(-3-5+8)=-3i,所以大小为三个单位,沿负x轴方向 1.67量与下列两矢量相加后等于6:10i-7i;4i+2i,该矢量的分量是多少?
1.2三维矢量;标积和矢积 解记该矢量为A,则A1-10+4=0,A-7-2=6,所以A2=-14,A,=11 168一房间地板为5×6m,天花板高度为3m.写出从房间下角到天化板的对角的矢量.其 大小是多少? 解旷x、y、z方向的位移分别是5、6、3m,因此,D=-2+3+5k(m),D=6,2m, 1.69请找出从点(0,3,-1)(m)到点(-2,6,4)(m)的位移矢量用ij、k表示答案再给出 它的大小 解矿此位移的分量是D4=-2-0=-2D,=6-3=3,D2=4-(-1)=5,于是 D=-2i+3j+5k,D=6.2m 1.70一物体起始位置为(2,5,1)cm,位移为8i-2j+k(cm),求新位置的坐标 解新坐标是x=2+8=10;y=5+(-2)=3;z=1+1=2 所以,物体到达(10,3,2)cm处 1.71求下列三位移矢量的和:2i-3k;5j-2k;-6i+j+8k(单位为mm),要求给出其大小 及用ij、k的表示式 解R=(2-6)+(5+1)+(-3-2+8)k=-4i+6j+3k(mm) 开以R=612=7,8mm 1.72一力与另二个力相加后等于7-6-k,已知另二个力分别为2i-7k和3j+2k,求该 力的ik表示式及其大小(这里所有力的单位均为N) 解记该力为F.则Fx+2=7;F+3=-6;F2-7+2=-1 因此,F=5i-9+4k(N),F=11N 1.73矢量A、B在xy平面内,A大小为70N,与x轴成90°;而B大小为120N,与x轴成 210°求(a)A-B,(b)满足A-B+C=0的矢量C 解罄A、B=-120c030°/J-120sin30’j=-1042-60j (B)A-B=(0+104)i+(70+60)=166(N),51 (b)C=-(A-B)=104i-100j=166(N),231 1.74若A=2i-3i+5k(mm),B=-i+2j+7k(mm),求(a)A-B,(b)B-A,(c)满足方 程A+B+C=0的矢量C 解(a)A-B=[2-(-1)]i[-3-(-2)]+(5-7)k=3i-}-2k(mm) (b)B-A=-(A-B)=-3i+j+2k(mm) (c)C=-(A+B)=-i+乐-12k(mm) 1.75矢量A=3i+5i-2k,矢量B=-3+6k,求矢量C满足2A+7B+4C=0 解一矢量为零则其各分量一定为零:2A2+7B2+4C=0,所以,Cx=-1.5.而C,解2(5)+ 7(-3)+4C=0,得Cy=275类上,得C=-9.5所以C=-15+275j-95k 1.76一矢量为3i+4j+7k,求它与z轴的夹角 解D先求矢量在xy平面上的投影:(32+42)14=5矢量的大小为(72+52)12=8.6,它与x轴 的夹角为 aretas(5/7)=35.5或由题1.61 32+42+72 814,63 177设下列条件成立 A-2B=-3(A+B),A与B的关系如何?若A=6i-2k(m),B等于多少? 解A-2B=-3A-3B,所以4A=-B 将A等于6i-2k代入,得B=-24i+8k(m) 1.78设A+B与A-B大小相等,即有
数学简介 IA+B=IA-B Q A与B的关系如何? 解A、B一定互相垂直为说明这点 P-o=B 令P、Q为大小相等的两矢量(见图133),P、Q 形成一菱形,其对角线分别为P+Q和PQ 它们·定互相垂直.令 (A-B),则得 以原点为起点的两位移矢量分别 5j+2k (cm) 求从点A到点B的矢量的大小及其i、k表达式 解話所求矢量分量为Dx--1-3=-4;D,=5(-2)=-3;D2-2-5--3.所以D 1.80加速度矢量a的直角分为a2=6,a,=4,a2=9m/s2.求a的矢量表达式和它的方向 余弦 解a=桩+4+9k(m/s3),a-(62+42+92)12=1.53(m/s2)方向余弦为 1.81求线段的矢量表达式 解图134中的直线b,可由两点P1和P2确定将P1P2之间的线段记为s,可写出s= 2-C;)+ 其大小为S=[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(x2-x1)212,方向余弦 =222 2221 径矢r是其中一特例,它从O点指向任意点P(x,y,z) ci+ v+zk 1/2,且 z 图1-34 1.82已知速度矢量v=16i+30j+24k(m/s),v=(162+302+242)12=41.62(m/s).方向 余弦为l=16/41.62等 现将v乘以10:10v=160+300+240k≡v1,求v1,的大小和方向 解-[(160)2+(300)2+(240)2]12=10(41.62)=10 v1的方向余弦为