证:令卯(1)=f(x+th,y+tk)(0≤t≤1 则0(0)=f(x0y0),(1)=f(x0+h,y0+k) 利用多元复合函数求导法则可得 p(t)=hf(o+ht, yo+kt)+kfy(xo+ht, yo+kt) >'(0)=(ha+ka)f(xo, yo) p(t)=hxx(xo+ht, yo +kt) +2hkfxv(xo+ ht, yo+kt +k'fvy(xo+ht, yo+ kt (0)=(h+k2,)2f(xo,yo) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
证: 令 ( ) ( , ) (0 1), t = f x0 + th y0 + tk t 则 (0) ( , ), (1) ( , ) 0 0 0 0 = f x y = f x + h y + k 利用多元复合函数求导法则可得: ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 t h f x ht y kt k f x ht y kt = x + + + y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x y = + ( ) ( , ) 0 0 2 t h f x ht y kt = xx + + 2 ( , ) 0 0 hk f x ht y kt + x y + + ( , ) 0 0 2 k f x ht y kt + y y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 2 h k f x y x y = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一般地 =∑ CP hk p=0 axParm-p(xo+ht, yo +kr) → 0m(0)=(ha+k x y )f(x0,y0) 由q(t)的麦克劳林公式得 ∞(=(0)tg(0)+2;9”(0)+…+1(n)(0) (n+1)(6 (n+1) (0<6<1) 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( , ) ( ) C 0 0 0 ( ) x y x ht y kt f t h k p m p m p m p m p p m m + + = − − = 一般地, (0) ( ) ( , ) 0 0 ( ) h k f x y m x y m = + 由 (t) 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: (1)余项估计式因f的各n+阶偏导数连续,在某闭 邻域其绝对值必有上界M,令p=h2+k2,则有 M Rn≤ n+l h=pcos (n+1) th+k) k= sina M n+1 O cosal+sina/n+l (n+1) 利用max(x+1-x2)=2 M n+1n+1 (n+1) 0(p") HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + + + 说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭 邻域其绝对值必有上界 M , 则有 1 ( ) ( 1)! + + + n n h k n M R = = sin cos k h 1 1 ( cos sin ) ( 1)! + + + + = n n n M max( 1 ) 2 [0,1] 利用 x + − x 1 1 ( 2) ( 1)! + + + n n n M ( ) n = o = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)当n=0时得二元函数的拉格朗日中值公式 f(x0+h,y+k)-f(x0,y0) hf(o +Oh, y0+0k)+kf,(o+eh, yo+8k) 0<<1) (3)若函数z=f(x,y)在区域D上的两个一阶偏导数 恒为零,由中值公式可知在该区域上f(x,y)=常数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k − f x y ( , ) 0 0 h f x h y k = x + + ( , ) 0 0 k f x h y k + y + + (0 1) (3) 若函数 z = f (x, y) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) 常数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0)的三阶泰 勒公式 解:fx(x,y)=f(x,y) 1+x+ fx(, y)=fry(,y)=fyy(x, y) (1+x+y f ax°ay3p (p=0,1,2,3) (1+x+y xPoy4-p (1+x+y) (p=0,1,2,3,4) 因此,(h2+k,)f(0.0)=hf(0)+kf,(0,0)=h+k HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 f (x, y) = ln(1+ x + y)在点(0,0) 解: x y f x y f x y x y + + = = 1 1 ( , ) ( , ) 的三阶泰 勒公式. 2 (1 ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y f x y xx x y y y + + − = = = 3 3 3 (1 ) 2! x y x y f p p + + = − ( p = 0,1,2,3) 4 4 4 (1 ) 3! x y x y f p p + + − = − ( p = 0,1,2,3,4) 因此, (h k ) f (0, 0) x y + (0, 0) (0, 0) x y = h f + k f = h + k 机动 目录 上页 下页 返回 结束