§3高斯公式与斯托克斯公式 教学内容:1利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分; 2斯托克斯公式; 3空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件 教学重点:利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分 教学难点:斯托克斯公式
§3 高斯公式与斯托克斯公式 教学内容：1.利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分； 2.斯托克斯公式； 3.空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件。 教学重点：利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分 教学难点：斯托克斯公式
、高斯公式 1.公式:设空间区域Ω由分片光滑的双侧封闭曲面 ∑围成函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、 R(x,y,z)在9上具有 阶连续偏导数,则有公式 aP O0 OR )dv=H pdyda+ odzdx+ rdxdy ay az 高斯公式 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧
1 .公式：设空间区域 由分片光滑的双侧封闭曲面 Σ围成,函 数P(x, y,z)、Q(x, y,z)、 R(x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 这 里是的整个边界曲面的外 侧 高斯公式
2几点说明: ⑥ Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系 ② Gauss公式中第二型曲 面积分一定为封闭面, 若不是封闭面,要添加 特殊的曲面或平面才能 用 Gauss公式。 ③与格林公式的异同
x y z o 1 2 3 Dxy 2.几点说明： ①Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系. ②Gauss公式中第二型曲 面积分一定为封闭面， 若不是封闭面，要添加 特殊的曲面或平面才能 用Gauss公式。 ③与格林公式的异同
④利用Gaus公式可以得出用曲面积分求体积的公式 P=xO R=z OP OO OR ax+)b=「3dh =手xyd+2b 体积△=手xdd+y+dh
= + + = + + xdydz ydzdx zdxdy dv dxdydz z R y Q x P ( ) 3 ④利用Gauss公式可以得出用曲面积分求体积的公式 P = x,Q = y,R = z V = xdydz + ydzdx + zdxdy 3 1 体积
例1计算曲面积分 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x+y2=1及平 面x=0,x=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 由高斯公式:原式=(y-)hh de drl(rsin 0-zrd2 4
例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz 其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3 由高斯公式：原式＝ (y − z)dxdydz − 2 0 3 0 1 0 ＝ d dr (rsin z)rdz 4 9 ＝−