s4二重积分的交量交换 教学内容:1.二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换 3二重积分的极坐标变换 教学重点:二重积分的变量变换(主要为线性变换, (广义)极坐标变换) 教学难点:变量变换后积分限的确定
§4 二重积分的变量交换 教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换， （广义）极坐标变换） 教学内容：1.二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换 3.二重积分的极坐标变换 教学难点：变量变换后积分限的确定
二重积分的变量交换公式 1引理: 变换T:x=x(l,v),y=y(l,v).0v平面上 由按段光滑封闭曲线所围的闭区域Δ,一对一地 映成xoy平面上的闭区域D,且满足 (1)x(u,yv),y(u2y)在Δ上具有一阶连续偏导数; (2)在Δ上雅可比式J(l,y) ≠0 (l,y) 则区域D的面积(D)=(0t
一、二重积分的变量交换公式 1.引理：
2.二重积分的变量替换公式: 定理21.13设f(x,y)在xOy平面上的有界闭区域 D上可积,变换T:x=x(uv),y=y(l,y)将uov 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域Δ 地映成xoy平面上的闭区域D,且满足 (1)x(u,v),y(u,v)在Δ上具有一阶连续偏导数; (2)在△上雅可比式J(a,yx,y)≠0, (,v) 则有(x,y)d=小1x(x,)y(,(x,h x,y的范围 u,v的范围 要加绝对值
( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) . 0; ( , ) ( , ) (2) ( , ) (1) ( , ), ( , ) : ( , ), ( , ) 21.13 ( , ) = = = = f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv u v x y J u v x u v y u v xoy D D T x x u v y y u v uov f x y xoy D 则有 在 上雅可比式 在 上具有一阶连续偏导数； 地映成 平面上的闭区域 ，且满足 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一一 上可积，变换 将 定理 设 在 平面上的有界闭区域 2.二重积分的变量替换公式： x,y的范围 u,v的范围 要加绝对值
3利用一般变量替换求二重积分 步骤:(1)根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换 习惯上:设x=x(l,y),y=y(,y) (2)出J(4)=xy) a(,v) 若是设u=l(x,y),v=v(x,y),求/两种办法 (1)先求出x=x(l,y),y=y(,y),再求 (i)先求出 (l,v) ,再求 a(x,y) d(u, v) a(x,y
3.利用一般变量替换求二重积分 步骤：⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换; 习惯上：设x = x(u,v), y = y(u,v) ( , ) ( , ) (2) ( , ) u v x y J u v 求出 = 若是设u = u(x, y), v = v(x, y),求J有两种办法 (i)先求出x = x(u,v), y = y(u,v)，再求J ( , ) ( , ) 1 , ( , ) ( , ) ( ) x y u v J x y u v ii 先求出 再求 ＝
(3)在变换下确定uv的范围△; 把变换代入D的边界曲线中,求出△的边界曲线 作图 (4)代入变换替换公式,化为关于u,v的二重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值 题型一:引入变量替换后,化为累次积分 例1:P242习题3(2) 原式=f(vcos4v,sin4)4sn3vcos3w △:0≤≤a.0≤p≤x 2
(3)在变换下确定u,v的范围△; 把变换代入D的边界曲线中，求出的边界曲线 作图 (4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值。 题型一：引入变量替换后，化为累次积分 例1：P242习题3（2） ( cos , sin )4 sin cos . 4 4 3 3 原式 = f u v u v u v vdudv 2 : 0 ,0 u a v