广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十七章 多元函数微分学

第十七豪 多元函数微分学

第一节可微性 元函数y=f(x)的微分 △y=AAx+O(△x) 近似计算 dy=f(x)△x应用 估计误差 本节内容: 全微分的定义 二、偏导数 可微性条件 二、全微分在数值计算中的应用 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

*二、全微分在数值计算中的应用 应用 一元函数 y = f (x) 的微分 y = Ax + o(x) dy = f (x)x 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 第一节 可微性 二、偏导数 三、可微性条件

全微分的定义 定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+Ax,y+4y)-f(x,y)可表示成 △z=AAx+BM+0(p),p=(△)2+(Ay)2 其中A,B不依赖于Ax,△y,仅与x,y有关,则称函数 f(xy)在点(x,y)可微,Vx+BV称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分,记作 dz=df= AAx+ bay 若函数在域D内各点都可微,则称此函数在D内可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微

由微分定义 lim Az= lim[(AAx+BAy)+o(p)=0 ->0 △→>0 得1imf(x+△x,y+△y)=f(x,y △x->0 △y->0 即函数==f(x,y)在点(xy)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 (1)函数可微 偏导数存在 (2)偏导数连续← 函数可微 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(2) 偏导数连续 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即

二、偏导数定义及其计算法 引例:研究弦在点x处的振动速度与加速度,就是 将振幅v(x,1)中的x定于x处求(x0,1)关于t的 一阶导数与二阶导数 u(xo, t) O 0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u(x, t) 0 o x x u 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ( , ) 0 u x t 关于 t 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅