第 第十八章 隐菡数 个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
第二节 第十八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数
二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形 以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即 F(x,y,u,v)=0 u=u(x, y) G(,, u,v)=0 lv=v(x,y) 由F、G的偏导数组成的行列式 (F,G)Fu F 称为F、G的雅可比( Jacobi)行列式 HIGH EDUCATION PRESS 雅可比目录上贞下页返回结束
二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v ( , ) ( , ) v v x y u u x y 由 F、G 的偏导数组成的行列式 u v u v G G F F u v F G J ( , ) ( , ) 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束
定理3.设函数F(x,y,u,),G(x,y,l,v)满足 ①在点P(xo,y:l2vo)的某一邻域内具有连续偏 导数; ②F(x02y,40,0)=0,G(x,y0;l0,”o)=0; OF,G ≠0 p du, v)IP 则方程组F(x,y,2y)=0,G(x,y,,y)=0在点(x,y) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件u0=(x,y0) Vo=v(xo,yo)的单值连续函数u=l(x,y),v=v(x,y) 且有偏导数公式: HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
定理3.( , , , ) 0, F x0 y0 u0 v0 的某一邻域内具有连续偏 设函数 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v F(x, y,u,v), G(x, y,u,v) 则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 ③ ( , ) 0 0 在点 x y 的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y), 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 0 ( , ) ( , ) u v P F G P J ( , , , ) 0; G x0 y0 u0 v0 导数； ( , ), 0 0 0 u u x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) 0 0 0 v v x y
a(F,G FF J0(x,)F。FG2G (P34-P35) 1 a(F,G) FF dy a(y,v) F FIG G av 1 a(F,G) 1 Fu F x JO(u, x)Fu Fr G 定理证明略 I(F,G F 仅推导偏导 数公式如下:O d(u, y) HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束
( , ) 1 ( , ) x v F G x J u ( , ) 1 ( , ) y v F G y J u ( , ) 1 ( , ) u x F G x J v ( , ) 1 ( , ) u y F G y J v 定理证明略 . 仅推导偏导 数公式如下： v v u v u v G F G G F F 1 v v u v u v G F G G F F 1 u u u v u v G F G G F F 1 u u u v u v G F G G F F 1 (P34-P35) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x x G F y y G F x x G F y y G F
设方程组{F(xy=0有陷函数组{=2(X),则 G(x,y,u4,) 0 V=1(x 「F(x,y2(x,y)2v(x,y)≡0 IG(x,y,u(x,y), v(,D=o 两边对x求导得 Ftu ax +F,·=0 x G+g +G, 0 OX x 这是关于 的线性方程组,在点P的某邻域内 ax ax 系数行列式/≈/FnF≠0,故得 HIGH EDUCATION PRESS 式目录上贞下页返回结束
( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 G x y u x y v x y F x y u x y v x y 这是关于 , 的线性方程组, x v x u ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v 有隐函数组 则 两边对 x 求导得 , ( , ) ( , ) v v x y u u x y 设方程组 0, u v u v G G F F J 在点P 的某邻域内 x u x v x u x v Fx Fu Fv 0 Gx Gu Gv 0 公式 目录 上页 下页 返回 结束 系数行列式 故得