伸而变化的真实长度乙，则真实应变定义为 的光=n吃 (1.3) 通常为了方便起见都用名义应变。 在剪应力作用下发生剪切形变。剪应变的定义为物体内部 体积元上的二个面元（或特征面上的二个线元）之间的夹角的变 化。 如图1.3，考察z面上的剪应变。形变未发生时线元0A及oB 之间的夹角∠4oB形变后为∠AoB,则x,y间的剪应变定义为 yy=a十B (1.4) 研究物体中一点（如0点）的应变状态，也和研究应力一样，在 物体内围绕该点取出一体积元红y松，如图1.3所示 dx- 图1,32面上的剪应力和剪应变 如果该物体发生形变，0点沿x,y,z方向的位移分量为u,0, 那么x轴上0点邻近的一点A,由于。点有位移，A点位移随x的 增加而增加，A点位移将是u+密红，则A的长度增加了密。因 6
此在o点处沿工方向的正应变（单位饷长）是密/k-班=.同 现在考察线段oA及oB之间的夹角变化，A点沿y方向的位 移为+密红，B点沿z方向的位移为+密4.由于这些位移，线 段oA的新方向6与其原来的方向之间的暗变夹角为(0+实4 -X名-积同理，o3与心B之间的時变夹角为器由此可见，线 段1与8之间原来的直角∠如B减少了需+密因此，平面红与 轻之间的剪应变为 (1.5) 和一点的应力状态可由六个应力分量来决定一样，·点的应 变状态也由与应力分量对应的六个应变分量来决定：即三个剪应 变分量y,及三个伸长应变分量a,ma。对于法向应力分 量及单位伸长应变分量也可以省去一个下标，写成0,0，0，及， ,品。有了应力、应变分量就可定量地研究物体的受力形变。 三、无机材料的弹性变形行为 1.广义虎克定律 无机材料、金属、木材等许多重要材料，在正常温度下，当应力 不大时其变形是单纯的弹性变形，应力与应变之间的关系已由实 验建立，就是下面要介绍的虎克定律。设想一长方体，各棱边平行 于坐标轴，在垂直于x轴的两个面上受有均匀分布的正应力，如 。7
图1.4所示。 图1,4长方体受力形变示意 实验证明，对于各向同性体，这些正应力不会引起长方体的角 度改变。长方体在x轴向的相对伸长可表示为： (1.6) 这就是虎克定律。它说明应力与应变之间为线性关系。式中 。一兰、B为弹性模量，对各向同性体为一常数， 当长方体伸长时，侧向要发生横向收缩，如图1.4。：单独作 用时，在，2方向的收缩为 横向变形系数： “=2 (1.7) 叫做泊松比，由(1.7)式可得 马=-此=一爱，8=一4 (1.8) 如上述长方体各面分别受有均匀分布的正应力，σ，则 在各方向的总应变可以将三个应力分量中的第一个应力分量所引 起的应变分量叠加而求得，此时虎克定律表示为： ·8
4,=8[o.-u(a,+] g=[o,-(a.+)]} (1.9) 6=[a.-4(o:十a,)] 对于剪切应变，则有 m=会 ,%=君 (1.10) h=是 式中，G为剪切模量或刚性棋量。 G,E,4之间有下列关系 E 0=21+ (1.11) ，在各向同等的压力（等静压）P作用下，0=，=，=一P,则由 (1.9)式有 6=8===言[-p-a(-2P)]=君(2-D (1.12) 相应的体积变化为： =(1+)(1+)(1+)-1 将上式展开，略去ε的二次项以上的微量，得 ≈3=智(2-1》 △'」 6(1.13) 定义各向同等的压力P除以体积变化为材料的体积模量K: D 一E K=亚元=3(24-D=31二2m (1.14) 上述各种结果是假定材料为各向同性体而得出的。大多数多 ·9·
0 晶体材料虽然微观上各晶粒具有方向性，但因晶粒数量很大，且随 机排列，故宏观上可以当做各向同性体处理。 对于弹性形变，一般金属材料的泊松比为0.29一0.33，大多 数无机材料为0.2一0.25。无机材料的弹性模量B随材料不同变 化范围很大，约为10°一10Pa。单晶及具有织构的材料或复合材 料（用纤维增强的）具有明显的方向性，在这种情况下，各种弹性常 数随方向而不同，虎克定律描述了更一般的应力-应变关系。 B≠B,≠B,卡4≠4。在单向受应力0时，z两个方向的 应变为 ne-4m6=-hm元=Sao, (1.15) 式中1=一营，称之为弹性柔顺系数。 同理 。=-w元=S0,8=-发 w-爱=，S如=克 柔顺系数8的下标中，十位数为应变方向，个位数为所受应力的 方向。 对于同时受有三向应力的各向异性材料，除正应力对应变有 上述关系外，剪应力也会对正应变e有影响。而且，正应力.也 会对剪应变，有影响，写成三向通式为 &=810:十S20m十81s0十4r十815ta十8164 8,=8210a十82z0m十S0a十Sz下u十S2sTu十829Tn 2=8g1r十S20n十80a十84T十Ssa+86t (1.16) Pe=Si0a十S20m十S480a十S4iTe十85ta十86Ta a=861aa十852n十S530u十S54Tu十865Ta十866T yg=S10n十820m十8e30a十S6n十85tu十S6tn 指研究，由于倒顺关系，风=8一会心一器代入式1.16 10·