基于小波的带Hilbert核的奇异积分方程的解法

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2005.06.030 第27卷第6期 北京科技大学学报 Vol.27 No.6 2005年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2005 基于小波的带Hilbert核的奇异积分方程的解法 崔丽敏”王义龙)廖福成”冯象初”唐远炎引 1)北京科技大学数力系，北京1000832)西安电子科技大学理学院，西安7100713)香港浸会大学计算机科学系，香港 摘要许多力学和工程问题都可以表示为第一类奇异积分方程.本文给出了带Hilbert核的 奇异积分方程的小波Galerkin算法.利用L[0,I)上的周期小波和Hilbert核的特点降低刚性矩 阵的维数；并且通过阙值使得矩阵更加稀疏，以减少计算量和节省存储空间.根据Hilbert核 的奇异性，通过Tikhonov正则化方法求解了所得到的刚性方程组，给出了算法的收敛性和数 值结果， 关键词周期小波；Galerkin方法：Tikhonov正则化方法：奇异积分方程 分类号0241.83 1引言 的形式特点，形成了计算奇异积分和求解积分方 程(4)的数值方法， 力学和工程技术中的许多问题都可以转化 本文将对方程式(1)在g)∈H的条件下用 为奇异积分方程的求解问题.利用小波Galerkin L([0,1)上的周期小波进行求解.与文献[2]不同 方法求解积分方程有很多优点，例如可以将刚度 的是本文进一步取小波函数作为基函数，将函数 矩阵稀疏化，可以进行预处理等，但当积分核奇 在小波空间分解，再根据周期小波多分辨分析的 异时，用小波Galerkin方法解奇异积分方程的计 特点将所得到的系数矩阵的维数降低.这样既降 算极为困难. 低了计算量又节省了计算机的存储空间.由 本文研究具有Hilbert核的奇异积分方程的 cot[π(x-]和L([0,1)上的周期小波的特点可知， 小波数值解法. 所得的离散方程组的解是不适定的，本文利用 f(x)cot[r-0小d-g0,0≤Kl (1) Tikhonov正则化求解了这个不适定方程组，同时 其中，fx)eH,(即周期为1的H6lder类函数)，gt) 根据需要加上阈值，形成了求解方程(1)的快速 已知，fx)为待求解函数.式(l)左端理解为Cauchy 简捷的数值计算方法，最后给出了一个计算实 主值积分，特别地： 例，以说明算法的有效性. f()cot(r)dx=limf)cot()dr. 文献[]给出在约束条件为： 2周期小波 90d=0 (2) 归一化条件为： 设(x)是适合多分辨分析的标准正交尺度函 f()dx-C (3) 数，x)是相应的紧支撑小波函数，分别满足下面 方程(1)有惟一解： 的双尺度方程： fx)--fq()cot[r(t-x)ldt+C. p(xF√2Eh,o(2x-n,x-V2Σg.p2x-m). 文献[2]考虑了带Hilbert核的奇异积分方程： {p,和{：分别是和W,的标准正交基.将尺 2 eot-ld=gt.0s(④ 度函数p(x)和小波函数x)在L([0,1)上周期化， 分别用(x)和x)来表示，即： 在q(t)∈H条件下，利用小波Galerkin算法取尺度 (x):=∑o(x+0,x:=∑+0. 函数作为基函数，再利用cot[x-/2]和小波函数 周期尺度函数空间和周期小波空间分别记为： 收稿日期：20041201修回日期：200501-17 基金项目：国家自然科学基金资助课题No.90304007) V,:=closedspan(1,,2-1), 作者简介：崔丽敏(1977一，女，博士研究生 W,:=closedspan=0,1,,2-1)

第 卷 第 ‘ 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 介 基于 小波的带 核的奇异积分方程 的解法 崔丽 敏 ” 王 义 龙 ” 廖福 成 ‘， 冯 象初 ” 唐 远 炎 ” 北 京科技大学 数力系 ， 北 京 西 安 电子科技大 学 理 学 院 ， 西 安 香港浸 会大学计 算机 科学 系 ， 香港 摘 要 许 多 力 学和 工 程 问题 都 可 以表 示 为 第 一 类 奇 异积 分 方 程 本文 给 出 了带 核 的 奇 异 积 分方 程 的小波 算法 利 用 ， 上 的 周 期 小波 和 核 的特 点 降低 刚 性 矩 阵的维数 并且 通 过 闭值使得 矩 阵更加稀 疏 ， 以减 少计 算 量 和 节 省存储 空 间 根据 核 的奇异 性 ， 通 过 下 汕 正 则化 方法 求 解 了所得 到 的刚性 方程 组 ， 给 出 了算法 的收敛性和 数 值结果 关键词 周 期 小波 方 法 正 则化 方法 奇异积 分方程 分类号 引 言 力 学 和 工 程 技 术 中 的许 多 问题 都 可 以转 化 为奇 异 积 分 方程 的求解 问题 利 用 小波 方法求解积 分 方程 有 很 多优 点 ， 例 如 可 以将刚度 矩 阵稀 疏 化 ， 可 以进 行 预 处 理 等 但 当积 分 核 奇 异 时 ， 用 小波 方法 解 奇 异 积 分 方程 的计 算极 为 困难 本 文 研 究 具 有 核 的奇 异 积 分 方 程 的 小波数值 解 法 ， 工 ’ 二 一 山汗口 ， 、 其 中 ， 厂以 任私 即 周 期 为 的 类 函 数 ， 叮 已 知 ， 几 为待 求解 函数 式 左 端 理解 为 主 值积 分 ， 特别 地 工 ’ 。 ‘恤 一 兽工 ’ 一‘， 。 ，二 文 献 【 给 出在 约 束 条件 为 工 ’ 、 归一 化 条 件 为 工 ’ 、 方程 有 惟 一解 一 工 ’ 。 ，一 〕 文献 考 虑 了带 核 的奇异 积 分 方程 争伽 静 一 川， ， 。 ‘ 二 。 在贰 任从 条件下 ， 利用 小波 算法 取 尺 度 函数作 为基 函数 ， 再 利用 一 〕和 小波 函 数 收稿 日期 今 刁 修 回 日期 刁 一 基 金 项 目 国家 自然科学基金 资助 课题 作者简介 崔丽敏 一 ， 女 ， 博士 研究生 的形式特 点 ， 形 成 了计算 奇异积 分和 求解积 分 方 程 的数 值 方 法 本 文 将 对 方 程 式 在试 任 私 的 条 件 下 用 ， 上 的周 期小波进 行 求解 与文 献 不 同 的是本 文 进 一步取 小波 函数 作为基 函数 ， 将 函 数 在 小波 空 间分解 ， 再根 据 周 期 小波 多分 辨分 析 的 特 点将所 得 到 的系数矩 阵 的维 数 降低 这样 既 降 低 了 计 算 量 又 节 省 了 计 算 机 的 存 储 空 间 由 二 一 和 ， ， 〕 上 的周 期 小 波 的特 点 可 知 ， 所 得 的离散方程 组 的解 是 不 适 定 的 ， 本文 利用 比 正 则 化 求 解 了这 个 不 适 定 方程 组 ， 同时 根 据 需要 加 上 闽值 ， 形 成 了求解 方程 的快 速 简捷 的数值 计 算方 法 ， 最 后 给 出 了一 个 计 算 实 例 ， 以说 明算法 的有 效性 周 期 小 波 设势 是适 合 多分 辨 分 析 的标准 正 交尺度 函 数 ， 州沐是相 应 的紧支 撑 小波 函数 ， 分别满足 下 面 的双 尺 度 方程 势 一涯那洲 一 。 ， 沁 担艺肠诚 一 蜘 和 哟对 分 别 是 叱和 城 的标 准 正 交 基 将 尺 度 函 数尹 和 小波 函 数恻以 在 〔 ， 上 周 期化 代 分 别 用 乒 和 沁 来表 示 ， 即 卜和 ， 沁卜千杯 义十众 周 期 尺度 函 数 空 间和 周 期 小 波 空 间分 别记 为 科 必 ， 胜。 ， ， … ， 一 ， 琳 一 一 认 、 ， ， ， … ， ，一 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2005．06．030

Vol.27No.6 崔丽敏等：基于小波的带Hilbert核的奇异积分方程的解法 ·765· {⊙)：和{分别为y,和W的标准正交基 U) -15-1 (9) p(x)-√2∑h(2x-k), {h}∈P 作为基.其中，{y}={p}.在J尺度下把f用基 x)=V2Σg(2x-0, {g}∈P 式(9)表示，得： 其中两，=形⊕W,西…田m,⊕ynjZ (5) 6-2x成4 (10) 产-k VLWs j≠l 把式(10)代入式(8)得： 形=L(0,1D MΣΣx4k=g (11) -1 由=形-1⊕形，-田…⊕W⊕，可知{pU 将式(11)两边都与4作内积得： ,也是匕的一组标准正交基，由此可知， M它小成小 中的两组标准正交基{：和{何oU,{位之 故 Σx《Mg,=g,4小. 间存在过渡矩阵W,而且W:是正定的.实际上 因此方程（⑧）的近似解就可以转化为求解下面的 pa0=1. 线性方程组： 引理1设fx)是L(R)上的紧支集函数f(x:= Mx=g (12) ∑fx+kT),即f(x)是周期为T的函数，则f(x)的Fo- 其中，M:是以(Mk4)为元素的矩阵，9和x分别 urier系数cn与fx)的Fourier系数有如下关系： 表示以(q,)和x为元素的向量，<·，>表示 cn=0,,红， L(0,1)中的内积. 由于M:和q的计算不是很容易，所以可以先 其中，fx)的Fourier变换的定义为： 以{}为基求出M,和q,再通过正交矩阵形，求 7ds. 出M,和g,这里M=[《Mp,p)u],q'-{《q,}k.可 证明fx)作为一个周期为T的周期函数，可 以推得M,=W,M,W和q=形，9'.方程(12)可以 以展开成Fourier级数了)-2c,e学，故： 转化为： Wi M:Wiex-Wicq (13) c,=77e学d=7艺je+ke9d 因此式(8)的求解问题归结为，求出式(10)中以 =ed=9俨） M@k,p)为元素组成的矩阵M及以(q,pW为元素 引理2设f(x)的Fourier系数为{A,}和{B,), 的向量g' 1-72+7-2 4 矩阵M的推导 则： (6) &=7)-7-2 记fx)和q)在y,中的投影分别为： 设fx-)的Fourier级数的展开系数为{a,} Pf=空 和{b,则： M a.-A.cos2mB-B.sin2m ,n=0,1,… Pq0=9m,0 (7) 由式(5)可知，N)=2-1,dimy=2'.于是用小波 6=dcos224Bsim2Ψ，n=12- Galerkin法求解式(I)有离散方程组堂m2,=g,和相 引理2是f(x)及其平移后函数的Fourier系数 应的矩阵形式： 计算方法，证明从略 Mk=q' (14) 其中z和g'是N)+1维列向量，M=(m)是NU)+1 3积分方程的小波Galerkin方法 阶方阵，且： g=g0p(0d=∫」qip0d 设M为积分算子，即 (15) (M)(t)=ff(x)cotl[π-小dx,0≤<l,则式()变 m=∫cot[r-Aldxdt 为： 当q光滑时，(9，°d的计算是比较容易的，仅利用关 Mf-g (8) 于带小波函数积分的通常数值方法就可以算 其中，q是周期为1的函数.在小波Galerkin方法 出.例如Gauss单点积分公式： 中取 LAop(a2 (16)

、勺 崔丽 敏 等 基 于 小 波 的 带 核 的奇异积 分 方 程 的解法 热 和 沁 分 别 为 死和 孔的标准 正 交 基 ， 一 涯艺 矛 一 ， 一 拒艺蔚 一 ， 、 任矛 任 矛 作 为基 其 中 ， 式 表 示 ， 得 社 ， ， 。 、 ， 。 在 尺 度 下 把 用 基 、 ，且， 、产夕、 其 中 阿， 、了、 皿 一 。 斌 一 份 ‘扫矶。 矶 ， 任 ︸城一 二 叼川 、州 叱 城 ， 关一 压冬，矶 ， 羊 把 式 代 入 式 得 城 ， ， 鸭 孙再 一 “ 由 叱 矶 ， 。 矶 。 … 。 夙。 ， 可 知 认 。 苏 ， 砌池是 瓦的一 组 标 准 正 交基 由此 可 知 矶 中 的两 组 标 准 正 交 基 认八和 ， 。 认序 ，之 匀‘ 间存 在 过 渡 矩 阵 巩汤， 而 月 磷 ， 是 正 定 的 实 际上 ， 引理 设厂认 是 上 的紧支 集 函数 二 冬 乃 ， 即少 是 周 期 为 的 函数 ， 贝。贡 的 丽 系数 。 与了飞无 的 丽 系数 有 如 下 关 系 、 瓜 一 ，，“ 、 氏 素竺 艺月共笋 ， 士 士 · … 丁 ’ “ 均 一 ‘ ’ 一‘ ， 其 中 卜八方的 变 换 的定义 为 沁 志加一“ · 证 明 作 为 一 个 周 期 为 的周 期 函 数 ， 可 以展 开 成 级 数少 一艺 。 ，夺 ， 故 氏一 李 一 今 一 李蹼 取 一 帝 一 令仁 一 帝 一 吾刹 引 理 设 的 改 系 数 为 ， 和 。 ， 将 式 两 边 都 与 认 、 作 内积 得 唯干 ， 孔 ，七，孔 一 一 ‘ “ ，云 止， ， 故 译孙式 疏再 一 ，补 因此 方 程 的近似 解 就 可 以转 化 为求解 下 面 的 线 性 方 程 组 材林 其 中 ， 麟是 以 认 、 羁办为 元 素 的矩 阵 ， 和 分 别 表 示 以 ，认办和戈 为 元 素 的 向 量 ， ， · 表 示 【 ， 中的 内积 由于对奋和 的计 算 不 是 很 容 易 ， 所 以可 以先 以 礼 为基 求 出麟和叭 再 通 过 正 交矩 阵 矶 ， 求 出麟和叮 ， 这 里麟 虱 ，，认 、林 ，叮 ‘ 叮 ， 初 可 以推 得城 磷演材舀叫 和 矶 越 ‘ 方 程 可 以 转 化 为 磷 ， ‘成叽叫声 磷 ， 澎 因此 式 的求 解 问题 归 结 为 ， 求 出式 中 以 再 ，认 为元 素 组成 的矩 阵麟及 以 ，认今为元 素 的 向量 ’ 一 今 少架 一 架 … 一 噜「，粤 卜 入 一 黔 子 设 一月的 丽 级 数 的展 开 系数 为 氏 和 ， ， 则 、 一 ， 。 。 。 罕 一。 ， 罕 ， 。 。 一 ， 。 一罕 一，罕 ， ， ， 引理 是 及 其 平 移 后 函 数 的 硕 系 数 计算方 法 ， 证 明从 略 积 分 方 程 的小 波 方 法 设 为积 分 算 子 ， 即 卿 一 工 ’ 二 一 〕“ ， “ ‘ ， ， 贝日式 变 为 介 其 中 ， 是 周 期 为 的 函 数 在 小波 方 法 中取 矩 阵麟 的推 导 记八大和 试 在 科 中 的投 影 分 别 为 只刀习一 艺病 彻 ‘ 一 暮从式 由式 可 知 ， 州刀 含一 ， 科 二 于 是 用 小波 刀 法 求 解 式 有 离 散 方 程 组 艺阴加 几 ，和 相 应 的矩 阵形 式 麟 之 叮 ‘ 其 中 和 ‘是刀 刀 维 列 向量 ， 斌 刀不右是刃口 阶 方 阵 ， 且 上 ’ “ 。 认浅 ，一 、 ， 蔑 ‘ 了一 漏 厂戴 阮 一 孔 〕山 当 光 滑 时 ， ，员 ，公的计算 是 比较 容易 的 ，仅利用 关 于 带 小波 函数 积 分 的通 常 数值 方 法 『 就 可 以算 出 例 如 单 点积 分 公 式 、 、 。 一 一三 了 、 势沙沪 、 《 澎 一百月望幼二 到八， 一 一 “ 、 ‘ 川

◆766 北京科技大学学报 2005年第6期 其中，m=J()d,m,可利用下面的公式计算： W:MW的第一行与第一列后得到的矩阵记为 mo=I ,证是N)阶方阵，去掉W9的第一个元素（零 12分 m=-12 im(Zhn) 元)后得到的向量记为，它有()个元素.因此， 引理3式(16)满足下面的三条性质：(1)主对 求解方程(13)化为求解方程： 角元素均为零，即=0；(2)反对称，即k= M.x=q (20) -m1:(3)m=Mu1. 这样得到的不仅是稀疏矩阵，而且由于维 证明：性质(1)和性质(2)容易证明，略.仅证 数的降低，使得计算量大大减少，并且节省了存 明性质(3). 储空间. m=rcot[e-lan(（0drdl =wk-eott-pt-2岁trdl 6正则化方法 令xx一，-代入上式容易验证mFmn: 由于式(20)的解是不适定的，利用普通算法 于是M是W()+1阶循环反对称方阵，只需要计算 求解不能保证近似解的数值稳定性，但是可以利 用Tikhonov正则化的方法来求解.这里采用离散 N()个元素即可. 引入Fourier逼近算子F,如下a: 正则化方法来求解.在进行正则化之前先对矩阵 F.)(dicos(2ix)+bsin(2x) 进行闽值以减少计算量.但是一般来说只能 (17) 得到M和互的近似M和氵.假定这种扰动很小， F.0Ax)=+(ccos(2rir)+dsin(2ix) 1 即-M≤，l-≤6(6>0. 其中， 为了叙述的方便，只考虑右端项q有扰动的 [=2)cos(2xix)dr,B=)sin(2nizx)dx 情况，并设顺一≤δ，为此首先构造稳定泛函x)= d=2前，x)cos(2ri)dk,d=2 Ax)sin(2πx)d M:-+a.求(x)的极小值问题等价于求解 (18) Euler方程： 将式(17)代入式(15)，又由于： [(M)'+alx=(M)'g (21) sin(2njx)cotln(x-t)]dx=cos(2jt) 它正是方程(20)的正则化形式.于是，剩下 cos(eotGd-sim(1. 的问题就是如何选取a>0使得顺-≤δ时，正则参 0 数a能与误差水平8相匹配. 就有 合适的正则参数a=a(g,)可依据已知或未 成2心-所 (19) 知的情况，采用偏差原理或误差极小化的原理来 对于给定的紧支集尺度函数(x)可以利用： 确定，这些原则可用Newton法或高阶收敛算法 a刻-方i2o以o)=方8ae 从数值上加以实现团，从而。=x(q,)就是方程 √2π1 (20)的稳定解 求出其Fourier变换，再利用式(6)和(T)即可求出 px)和p(x)的Fourier系数，不妨记M-(m). 7算法及其收敛性 5降维 综上所述，关于求解式(I)的小波Galerkin算 法的大致过程如下： 考虑归一化条件式(3)，由{UU{g是 055 Step1用式(18)计算d,b,c和d,i=1,2,",n,用 的一组标准正交基可知： 式(16)和(19)计算9和mw1=0,1,…,NJ),从而得到 fr)=CooPao+∑4u9h, 矩阵M据和向量q; 由于 v(x)dr-0, Step2由式(6)计算出W,得到方程(13： 故 Coo=C. Step3降维及阈值得到方程(20； 由于cot[π(x一]和周期小波的特点，矩阵 Step4求解正则化方程(21)，解得x,k=1,2,, WM中的第一行与第一列的元素都为零， N). 并且W'的第一项也为零，因而约束条件(2)失 定理设gk由式(9)决定，m,mw分别为M, 效，由归一化条件式(3)可得x=C.把去掉矩阵 M,的元素，f由式(10)决定.在此小波Galerkin算

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 其 中 ， ， 一 又 ，试 ， ， 可 利 用 下 面 的公 式计 算 ‘ 。 ，一 击乎属呷洲 引 理 式 满足 下 面 的三 条性质 主 对 角元 素 均 为零 ， 即毗 二 反对 称 ， 即城川二 一 磁 城 ，二 林 ，二 证 明 性 质 和 性质 容 易证 明 ， 略 仅 证 明性 质 林， ，一 刃礼 眯 一 ， 卜 产， ，、 ， 无斗 、 。 ， 、 ， 、 ， 、 一 。 ‘ 。 ’ 必 。 一学 ‘ “ 一 。 ‘一 学 山 ‘ 令 一 奋 ， 、 卜奋代 入 上 式 容 易验 证 、 二、 ， 于 是解是刀切十 阶循环 反对 称 方 阵 ， 只 需要 计 算 刃口 个 元 素 即可 引入 。 丽 逼 近 算 子凡 如 下〔 磷辛麟 叫 、 的第一行 与 第 一 列 后得 到 的矩 阵记 为 风 ， 属是刃切 阶方 阵 ， 去 掉 叽 汀的第 一个 元 素 零 元 后 得 到 的 向量 记 为 ， 它 有刃 刀个 元 素 因此 ， 求 解 方程 化 为求 解 方 程 属无 奋 这 样 得 到 的属不仅 是稀疏 矩 阵 ， 而 且 由于 维 数 的 降低 ， 使 得 计算 量大 大 减 少 ， 并且 节 省 了存 储 空 间 于州 一 扮 ‘“ 宁 “ “ ，‘宁 “ “ ，， 户 。 必成不夕“ 万昭毛十乙 又粼 兀川十诺 兀 沼‘ 月‘ 川 工 ’再 词 ， 。卜 工 ’热 二动、 认 耐 ， 叨一 刃 二动 其劳岭中 将 式 代入 式 ， 又 由于 工 ’ ‘ 协，· 〔你 一 ” 〕“ 一 ‘ 动 一 ， ， 矛 ， 、 。 ， 、 ， ， ， 、 ， 一 ，’ 厂 ， 堪 气‘ 哪 ， ‘ 兀嶙 一 ‘，」 一 ， 气乙刃 就 有 式 二 奇‘ 艺 卜 公一 讨居 二 毗 对 于 给 定 的紧支集 尺度 函数势 可 以利 用 一 六卿 ，一， ，一 缸 一 ‘ · 求 出其 而 变 换 ， 再 利用 式 和 即可 求 出 乒以琳和 葵 去式习的 而 系 数 ， 不 妨 记麟 一 武 降维 考 虑 归 一 化 条件 式 ， 由 弱 一 淞提 黔的一组 标准正 交基 可知 月习 ， ，计艺 沃 心再 由于 刀彻 氏 故 ， 。 由 于 〔 二 一 和 周 期 小 波 的 特 点 ， 矩 阵 磷 ， 衅 叫 中 的第 一 行 与 第 一 列 的元 素 都 为 零 ， 并 且 琳碑 ‘的第 一项 也 为零 ， 因而 约 束条 件 失 效 ， 由归一 化 条件 式 可 得 把 去掉 矩 阵 正 则 化 方 法 由于 式 的解 是 不 适 定 的 ， 利 用 普 通 算法 求 解 不 能保 证近似解 的数值稳 定性 ， 但 是 可 以利 用 廿 正 则 化 的方法来 求 解 这里 采用 离散 正 则化 方 法来求解 在进 行正 则 化之 前先对矩 阵 属进 行 闽值 以减 少 计 算 量 但 是 一般来 说 只 能 得到属和奋的近 似属和汤 假 定 这 种 扰 动 很 小 ， 即 网 一属 二。 ， 奋一蚕二咨 为 了叙 述 的方 便 ， 只考 虑 右 端 项叮有 扰 动 的 情 况 ， 并 设 奋一旬二。 ， 为此 首先 构造 稳定泛 函 丽坏一 十 冈 ， 求入工 的极 小值 问题 等价 于求解 方程 【斌 属 心味 属 万 它 正 是 方 程 的正 则 化 形 式 于 是 ， 剩 下 的 问题就 是 如何 选 取 使得 阿一 二 占时 ， 正 则参 数 能与 误 差 水 平咨相 匹 配 合 适 的正 则参 数’ 一 ’ ，司可 依据。 已 知 或 未 知 的情 况 ， 采用偏差 原理或 误 差 极 小化 的原理 来 确 定 这 些 原 则 可 用 法 或 高 阶 收敛 算法 从 数 值 上 加 以 实现 ‘ 从 而元 风 · ，司 就 是 方程 的稳 定解 算法 及 其 收敛性 综 上所 述 ， 关 于 求 解 式 的小波 算 法 的大 致 过 程 如 下 用 式 计 算硫 九 和 试 二 ， ，… ， ， 用 式 和 计 算 和 、 ，， 二 ， ，… 户义刀 ， 从 而 得 到 矩 阵属和 向量不 由式 计 算 出 磷， 得 到 方程 降维及 闽值 得 到 方 程 求解 正 则化 方 程 ， 解 得 ， 二 ， ，… ， 州刀 定理 设 ，由式 决 定 ， 稀沁 ， 沁 分 别 为氮 ， 城的元 素 ， 关 由式 决 定 在 此 小 波 算

Vol.27 No.6 崔丽敏等：基于小波的带Hilbert核的奇异积分方程的解法 。767· 法中，当n一0时，m一致收敛于mw:当J一o, 以仅需计算并存储16个元素，元素按式(19)取 n一o时，方一致收敛于方程(1)的解x). n=100.求解结果列于表1中，结果是非常理想 证明由于Me=WMW,M=WMsW,由 的.第一行的元素如下所示： 文献[2]知，当n一oo时mu一致收敛于mu,所以 m=0.00000000000000;m2-0.58420254860690; M,-M→0(n一oo.由于W为正交矩阵，由正交 m=0.06930979396030:m4=0.11617827770533; 矩阵的性质有： m,-=0.05798614761646;m。-0.04226720838768; IM :-M-ll=W::(M:-Ma)Wcll=IM;-Mall-0 m,=0.02587806662330;m=0.01242983609581; (n一oo).所以当n一o时，iu一致收敛于mt. m,=0.00000000000000;m。--0.01242983609581; 不妨定义算子Q:一W1⊕W-⊕…⊕W。⊕。 m=-0.02587806662330; 易知Q是正交变换，由f6=QF,Pfx)及由文献(2) m12=-0.04226720838768: 知，当J一o,n→o时，f一致收敛于方程(1)的解 m=-0.05798614761646; f八x). m1=-0.11617827770533: m=-0.06930979396030; 8算例 m=-0.58420254860690. 本文对简单而典型的Hilbert核的奇异积分 由前面的分析可知当0时表中的三个系数 方程： 均为零.用小波方法求解奇异积分方程的难点在 于奇异积分计算的稳定快速的算法方面，对不同 Jfx)cot[πx-t)]d=-sin(2π)，0≤Kl 的奇异核应该采用不同的数值方法才能得到满 采用文中提出的小波Galerkin算法进行了数值计 意的效果.本文利用了L(0,1)上的周期小波并 算，其中积分方程的解为心x)=cos(2x).计算中， 结合Hilbert核的特点，使得刚性矩阵更加稀疏. 区间采用J=4尺度的离散，即把[0,1]分为16等 再利用Tikhonov正则化方法消去奇异性，达到了 份，取用N=6的Daubechies尺度函数作为po(x), 快速逼近计算这类奇异积分的效果.文中所讨论 并将其化为L([0,1])上的周期函数，在进行Ti- 的方法可用于其他一些具有三角函数奇异核的 khonov正则化时取误差水平8=10 奇异积分计算， 关于式(14)中的系数矩阵在本例中是16×16 参考文献 方阵，由于M中的元素具有循环反对称形式，所 [】杜金元.带Hilbert核的奇异积分方程的数值积分，计算 表】数值解和准确解关于周期小波展开系数的比较 Table 1 Comparison between numerical and exact solutions on period wavelet coefficient 右端项周期小波展开系数， 近似解周期小波展开系数， 准确解周期小波展开系数， =(-sin(2),t》 x=f几x,0》 (-cos(2x),形，(t》 0.55127131352714 0.44150758099952 0.44150758099952 -0.31219300447003 0.38980769110957 0.38980768406866 3 0.31219300447003 -0.38980769110957 -0.38980768406866 4 -0.00257713482755 0.02405324588169 0.02405323832313 5 -0.02405323832313 -0.00257714152723 -0.00257713482755 6 0.00257713482755 -0.02405323181270 -0.02405323832313 1 0.02405323832313 0.00257712745824 0.00257713482755 0.00001121332819 -0.00038551516939 -0.00038552079865 9 0.00028053339142 -0.00026468426643 -0.00026467535061 10 0.00038552079865 0.00001121782164 0.00001121332819 11 0.00026467535061 0.00028052368933 0.00028053339142 12 -0.00001121.332819 0.00038552644197 0.00038552079865 13 -0.00028053339142 0.00026466667363 0.00026467535061 复 -0.00038552079865 -0.00001120909488 -0.00001121332819 -0.00026467535061 -0.00028054290870 -0.00028053339142

】 一 崔 丽 敏 等 基 于 小 波 的带 核 的奇异积 分 方程 的解 法 法 中 ， 当 。 一 二 时 ， 爪沁 一 致 收 敛 于 沁 当 一 叭 一 的 时 ， 关一 致 收 敛 于 方 程 的解尹无 证 明 由于城 巩 ， 洲瑞叫 、 ， 城 磷 ， 』瓜叫 、 ， 由 文 献 知 ， 当 一 二 时只 一 致 收敛 于 。 。 ， 所 以 麟 一城 一 一 二 由于 叽 ， 、 为正 交矩 阵 ， 由正 交 矩 阵 的性 质 有 、 一城 卜 日叽 ， 、 一匆协川川 一麟 一 二 所 以当 一 时 ， 承沁 一 致 收敛 于 不 妨 定 义 算 子 必 哟 叶 班 ， 。 峨 份 二 。 夙。 易 知 是 正 交 变换 ， 由关 二 二 式凡厂工工 及 由文献 知 ， 当 二 ， 一 。 时 ， 关一 致 收 敛 于 方 程 的解 算例 本 文对 简 单 而 典 型 的 核 的奇 异 积 分 方程 嘛 一 一 ， ‘ 采 用 文 中提 出 的小波 算法 进 行 了数 值计 算 ， 其 中积 分 方 程 的解 为 口 。 计 算 中 ， 区 间采 用 尺 度 的离 散 ， 即 把 ， 分 为 等 份 ， 取 用 二 的 尺 度 函 数 作 为汽 。 ， 并 将 其 化 为 ， 」上 的周 期 函 数 ， 在 进 行 正 则 化 时取 误 差 水 ， 平 占一 巧 关 于 式 中 的系 数 矩阵在 本 例 中是 ‘ 方 阵 ， 由于 麟 中 的元 素 具 有 循环 反 对 称 形 式 ， 所 以仅 需 计 算 并存 储 个 元 素 ， 元 素按 式 取 求解 结 果 列 于表 中 ， 结果 是 非 常理 想 的 第 一 行 的元 素 如 下 所 示 ， 脚 ， ， 一 ， 一 一 ， 一 一 一 一 由前 面 的分 析 可 知 当 时表 中 的三 个 系 数 均 为零 用 小波 方 法 求解 奇 异 积 分方 程 的难 点在 于 奇 异 积 分 计 算 的稳 定快速 的算 法 方 面 ， 对 不 同 的奇 异 核 应 该 采 用 不 同 的数 值 方 法 才 能 得 到 满 意 的效果 本 文 利 用 了 「 ， 上 的周 期 小波 并 结 合 核 的特 点 ， 使 得 刚 性矩 阵更 加 稀 疏 再 利 用 正 则 化 方 法 消去 奇 异 性 ， 达 到 了 快 速 逼 近 计 算 这类 奇 异 积 分 的效果 文 中所讨 论 的方 法 可 用 于 其 他 一 些 具 有 三 角 函数 奇 异 核 的 奇 异 积 分 计 算 ， 参 考 文 献 【 杜 金元 带 核 的奇异积 分 方 程 的数值 积 分 计 算 表 数值 解 和 准确 解 关 于 周 期 小 波展 开 系 数 的 比较 介 ， 右端项 周 期 小波 展 开 系数 ， 一 一 兀 ， 认兀 近 似解 周 期 小 波 展 开 系数 ， 。 一 ，认式 准 确 解 周 期 小波 展 开 系数 ， 一 二 ， 认式 万 一 一 一 乃 乃 力 乃 力 刀 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 亏 一 一 一 刀 乃 一 乃 一 ， 乃 一 一 乃 一 一 一 乃 一 一 乃 刀 刃 一 一

·768· 北京科技大学学报 2005年第6期 数学，1989(2：148 ley-Cambridge Press,1996 [2】徐长发，姚亦峰，求解一类具有Hilbert核的奇异积分方 [6]Cohen A,Daubechies T,Vial P.Wavelets on the interval and fast 程的小波解法.高等学校计算数学学报，2003(1小：28 wavelet transforms.Appl Comput Harmonic Anal,1994(1): [3]Daubechies I.The orthonomal bases of compactly supported wa- 54 velets.Commun Pure Appl Math,1988,41(7):909 [)肖庭延，于慎根，王彦飞，反问题的数值方法.北京：科学 [4彭思龙，李登封，湛秋辉，周期小波理论及其应用.北京： 出版杜，2003.150 科学出版社，2003.2 [5]Strang G,Nguyen T.Wavelets and Filter Banks.Boator:Welles Solution for the singular integral equation with Hilbert kernel based on wavelet CUI Limin,WANG Yilong,LIAO Fucheng",FENG Xiangchu,TANG Yuanyan 1)Department of Mathematics and Mechanics,University of Science and Technology Beijng,Beijing 100083,China 2)School of Science,Xidian University,Xi'an 710071,China 3)Department of Computer Science,Hong Kong Baptist University,Kpwoon Tong,Hong Kong ABSTRACT Many problems arising in mechanics and technology can be formulated as the first kind of singular integral equation.A Wavelet-Galerkin algorithm for solving the first kind of singular integral equation with Hilbert kernel was presented.In the algorithm the characteristic of periodic wavelet on L([0,1])and the Hilbert kernel were used to solve and make the stiff matrix lower dimension and become sparser through threshold.The computational amount was decreased and the memory space was saved.Because of the singularity of Hilbert kernel the Tikhonov regularization method was used to solve the stiff equation system.The convergence and the numerical result of ap- proximate solution are discussed. KEY WORDS periodic wavelet;Galerkin method;Tikhonov regularization method;singular integral equation (上接第744页) Relative superiority research on the ironmaking/steelmaking interface of the typi- cal process section OIU Jian,TIAN Naiyuan Metallurgical and Ecological Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100081,China ABSTRACT With the research methods of the holism and reductionism of system science,the ironmaking/steel- making interface characteristics of the six typical processes were analyzed from time,temperature,mass flow quan- tity,production plan,the effect of hot metal pretreatment,energy consume,environment pollution and so on.A rela- tive superiority of the ironmaking/steelmaking interface of the six different processes was pointed out.The process of desiliconization,desulphurization and dephosphorization is only suitable for the process section of the large-scale blast furnace and the large-scale converter,and the process of dephosphorization in BOF is superior.Canceling the mixer and using the same ladle from BF to BOF are the developing direction of the ironmaking/steelmaking inter- face. KEY WORDS ferrous metallurgy process engineering;production flow;relative superiority;process optimization

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 数学 ， 仪 徐长 发 ， 姚亦 峰 求解一 类具 有 核 的奇异积 分方 程 的小波解 法 高等学校计算数 学学报 ， 址 曲 比 血， ， 彭 思 龙 ， 李登封 ， 湛秋辉 周期 小波理论及其应用 北 京 科学 出版社 ， ， 厄 一 ， ， ， 巧 么 ， 」肖庭 延 ， 于慎 根 ， 王 彦 飞 ， 反 问题 的数 值方 法 北 京 科学 出版社 ， ，不 心， “ ， ” ，别 双 ， ， ， ， 加 ， ， ， ， ， ， 一 【 ， 加旧 比 汕 毗 比 如 上接第 页 刊 刃 刀口， 刀叼 乙 啤 ， ， ， ， 由 触 加 ， ， ， ， 加 ， ， 叩 ， 岁 二 哩 一 · ， 化 ‘ 几