一.七个晶系根据晶体的对称性，可将晶体分为七个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。对称性高的晶体，晶胞的规则性强，如立方晶系的晶胞是立方体，晶胞三个边长（即晶轴单位长度）相等并互相垂直。这样的晶体，通过立方晶胞4个体对角线方向各有1个3重轴。这四个3重轴称为立方晶系的特征对称元素。我们若在晶体外形或宏观性质中发现4个3重轴，就可判定该晶体结构中必定存在立方晶系（英文为Cubic）。由于立方晶系的晶体包含一个以上高次轴，也将立方晶系称作高级晶系。还有些晶系，晶胞中至少有2个晶轴的单位长度是相等的，更重要的是这些晶胞中都有一个高次轴（6次轴、4次轴或3次轴），这个高次轴就称为他们的特征对称元素。这些晶系有六方晶系（Hexagonal）、四方晶系（Tetragonal）、三方晶系（Trigonal）。由于它们晶胞形状规则性比立方晶系低，又统称为中级晶系。六方晶系的特征是宏观可观察到6次轴对称性，但每个晶胞仍是a、b晶轴相等，夹角为120°的平行六面体。四方晶系中晶轴夹角都是90°a、b轴亦相等。另有3个晶系是正交晶系（Orthorhombic）、单斜晶系（Monoclinic）、三斜晶系(Triclinic），特征对称元素都不包含高次轴，所以统称为低级晶系。正交晶系三个晶轴互相垂直，晶胞是边长不相等的长方体。单斜晶体有一个晶轴夹角不等于90°。三斜晶体三个晶轴夹角都不等于90°表7-1七个晶系及有关特征晶系特征对称元素晶胞特点空间点阵型式简单立方a=b=c4个按立方体对角线取向立方晶系立方体心的3重旋转轴α=β==90°立方面心a=btc六方晶系6重对称轴简单六方α=β=90=120简单四方a=b+c四方晶系4重对称轴α=β==90°体心四方简单六方a=b=c三方晶系3重对称轴α=β=+90°R心六方
一.七个晶系 根据晶体的对称性，可将晶体分为七个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。 对称性高的晶体，晶胞的规则性强，如立方晶系的晶胞是立方体，晶胞三个边长（即晶轴 单位长度）相等并互相垂直。这样的晶体，通过立方晶胞 4 个体对角线方向各有 1 个 3 重 轴。这四个 3 重轴称为立方晶系的特征对称元素。我们若在晶体外形或宏观性质中发现 4 个 3 重轴，就可判定该晶体结构中必定存在立方晶系（英文为 Cubic）。由于立方晶系的晶 体包含一个以上高次轴，也将立方晶系称作高级晶系。 还有些晶系，晶胞中至少有 2 个晶轴的单位长度是相等的，更重要的是这些晶胞中都有一 个高次轴（6 次轴、4 次轴或 3 次轴），这个高次轴就称为他们的特征对称元素。这些晶系 有六方晶系（Hexagonal）、四方晶系（Tetragonal）、三方晶系（Trigonal）。由于它们晶胞形 状规则性比立方晶系低，又统称为中级晶系。六方晶系的特征是宏观可观察到 6 次轴对称 性，但每个晶胞仍是 a、b 晶轴相等，夹角为 120°的平行六面体。四方晶系中晶轴夹角都 是 90°，a、b 轴亦相等。 另有 3 个晶系是正交晶系（Orthorhombic）、单斜晶系（Monoclinic）、三斜晶系 （Triclinic），特征对称元素都不包含高次轴，所以统称为低级晶系。 正交晶系三个晶轴互相垂直，晶胞是边长不相等的长方体。单斜晶体有一个晶轴夹角不等 于 90°。三斜晶体三个晶轴夹角都不等于 90°。 表 7－1 七个晶系及有关特征 晶系 特征对称元素 晶胞特点 空间点阵型式 立方晶系 4 个按立方体对角线取向 的 3 重旋转轴 a=b=c α=β=γ=90° 简单立方 立方体心 立方面心 六方晶系 6 重对称轴 a=b≠c α=β=90°,γ=120° 简单六方 四方晶系 4 重对称轴 a=b≠c α=β=γ=90° 简单四方 体心四方 三方晶系 3 重对称轴 a=b=c α=β=γ≠90° 简单六方 R 心六方
简单正交2个互相垂直的对称面或C心正交atbtc正交晶系3个互相垂直的2重对称α=β=V=90°体心正交轴面心正交简单单斜atbtc单斜晶系2重对称轴或对称面α=β=90°+yC心单斜atb+c无简单单斜三斜晶系a*b*c+90°二.14种空间点阵形式早在1866年Bravias将点阵点在空间分布按正当中国国晶胞的规定进行分类，得到14种形式，后人也将其称为布拉维格子。立方立方I立方P由于点阵特征：点阵中每个点都具有相同的周围环境，即相同的对称性。根据选取正当晶胞的原山则，在照顾对称性的条件下，尽量选取含点阵点较少的作为晶胞，这样每个晶系都有简单格子方（即素单位）。有些晶系还有含体心、面心、底心四方P四方六方的复单位存在。如立方晶系，除了简单立方外，还有体心立方（0）、面心立方（F）（立方体每个可血回面中心还有一个点阵点），都满足立方晶系4个3重轴的对称性。而立方体中，若两个平行面带心（无论是底心、侧心）都会破坏3重轴对称性。正交P正交F正交C正交所以立方晶系只有简单（P）、体心（0）、面心(F）三种格子。图7-1014种空间点阵形式是A按《晶体学国际表》规定画出来的，图中没有三方菱面体素单位，而以R心的六方点阵单位代替。单斜P斜二斜P由于六方晶系和三方晶系都可以划出六方晶胞的星图7-1014种布拉威空间点群点阵单位，它既满足三方晶系的对称性，也满足六方晶系的对称性。不同的称呼是由于历史原因造成的。六方晶系按六方点阵单位表达，均为素
正交晶系 2 个互相垂直的对称面或 3 个互相垂直的 2 重对称 轴 a≠b≠c α=β=γ=90° 简单正交 C 心正交 体心正交 面心正交 单斜晶系 2 重对称轴或对称面 a≠b≠c α=β=90°≠γ 简单单斜 C 心单斜 三斜晶系 无 a≠b≠c a≠b≠c≠90° 简单单斜 二.14 种空间点阵形式 早在 1866 年 Bravias 将点阵点在空间分布按正当 晶胞的规定进行分类，得到 14 种形式，后人也将 其称为布拉维格子。 由于点阵特征，点阵中每个点都具有相同的周围 环境，即相同的对称性。根据选取正当晶胞的原 则，在照顾对称性的条件下，尽量选取含点阵点 较少的作为晶胞，这样每个晶系都有简单格子 （即素单位）。有些晶系还有含体心、面心、底心 的复单位存在。如立方晶系，除了简单立方外， 还有体心立方（I）、面心立方（F）（立方体每个 面中心还有一个点阵点），都满足立方晶系 4 个 3 重轴的对称性。而立方体中，若两个平行面带心 （无论是底心、侧心）都会破坏 3 重轴对称性。 所以立方晶系只有简单（P）、体心（I）、面心 （F）三种格子。图 7－10 14 种空间点阵形式是 按《晶体学国际表》规定画出来的，图中没有三 方菱面体素单位，而以 R 心的六方点阵单位代 替。 由于六方晶系和三方晶系都可以划出六方晶胞的 点阵单位，它既满足三方晶系的对称性，也满足 六方晶系的对称性。不同的称呼是由于历史原因 造成的。六方晶系按六方点阵单位表达，均为素 图 7-10 14 种布拉威空间点群
格子（hp）。而三方晶系按六方晶系表达时，一部分是素格子（hp），另一部分为包含3个点阵点的复单位（hR），图7-11画出了同一点阵的两种划分。三方晶系的这两种点阵符号在空间群一直沿用着。四方晶系有两种格子，一是简单格子(tP)，一是体心四方（tI）复格子，如若要划底心四方格子则可以取出体积更小的简单四方格子，所以底心四方不存在。同样四方面心可以取出体积更小的四方体心格子。正交晶系有四种格子：简单正交（OP），体心正交（Ol)，面心正交（OF）和底心正交（OC)。单斜晶系有简单单斜（mP）和底心单斜（mC）。三斜晶系只有简单格子（aP)。图7-11 (b)图 7-11 (a)三.32个晶体学点群晶体的理想外形和宏观观察到的对称性，称宏观对称性。由于宏观观察区分不了平移的差异，因此微观结构中一些特殊的螺旋轴、滑移面，在宏观中表现为旋转轴和对称面，即在宏观仍可以用点群来区分晶体的对称性，但由于晶体点阵平移性质的限制，旋转轴只能有1，2.3，4，6次轴，因此总共只有32个晶体学点群C，：n=1,2,3,4,6即C1，C21C3，C4，Ce；五个点群
格子（hp）。而三方晶系按六方晶系表达时，一部 分是素格子（hp），另一部分为包含 3 个点阵点的 复单位（hR），图 7-11 画出了同一点阵的两种划 分。三方晶系的这两种点阵符号在空间群一直沿 用着。 四方晶系有两种格子，一是简单格子（tP），一是 体心四方（tI）复格子，如若要划底心四方格子， 则可以取出体积更小的简单四方格子，所以底心 四方不存在。同样四方面心可以取出体积更小的 四方体心格子。 正交晶系有四种格子：简单正交（OP），体心正 交（OI），面心正交（OF）和底心正交（OC）。 单斜晶系有简单单斜（mP）和底心单斜（mC）。 三斜晶系只有简单格子（aP）。 图 7-11（a） 图 7-11（b） 三.32 个晶体学点群 晶体的理想外形和宏观观察到的对称性，称宏观对称性。由于宏观观察区分不了平移的差 异，因此微观结构中一些特殊的螺旋轴、滑移面，在宏观中表现为旋转轴和对称面，即在 宏观仍可以用点群来区分晶体的对称性，但由于晶体点阵平移性质的限制，旋转轴只能有 1，2，3，4，6 次轴，因此总共只有 32 个晶体学点群。 Cn：n=1,2,3,4,6 即 C1，C2，C3，C4，C6；五个点群；
Cnv:C2v，C3vC4v，C6v，四个点群;Cnh：Cih=CS,CzhC3hC4h，Cch，五个点群Sn：S，与C3h等同，不重复计算，只有S2=i,S4，S6，三个点群D，:D2，D3，D4，Dg，四个点群;Dnh：Dzh，D3h，D4h，Dh；四个点群;Dnd：该类点群含有平分面oa，使映转轴次数要扩大一倍，故只有D2d；D3d以上共27个点群，还有5个高阶群：T、Ta、Tu、O、On。32个点群有2种表示符号，一种是Schoenflies符号，即以上所用符号，还有一种是晶体学中通用的国际符号，第一个大写符号表示点阵形式，后面3个位置表示某方面的对称元素。表7-3国际符号中3个位置代表的方向2晶系13立方aa+ba+b+c六方Ca2a+b四方Ca+b三方a-ba+b+c正交bc单斜b表7-432个晶体学点群晶系Shoenflies符号国际符号C1三斜TS2Cm单斜C22
Cnv：C2v，C3v，C4v，C6v，四个点群； Cnh：C1h＝Cs，C2h，C3h，C4h，C6h，五个点群； Sn：S3与 C3h等同，不重复计算，只有 S2＝i，S4，S6，三个点群； Dn：D2，D3，D4，D6，四个点群； Dnh：D2h，D3h，D4h，D6h，四个点群； Dnd：该类点群含有平分面 σd，使映转轴次数要扩大一倍，故只有 D2d，D3d 以上共 27 个点群，还有 5 个高阶群：T、Td、Tu、O、Oh。 32 个点群有 2 种表示符号，一种是 Schoenflies 符号，即以上所用符号，还有一种是晶体 学中通用的国际符号，第一个大写符号表示点阵形式，后面 3 个位置表示某方面的对称元 素。 表 7－3 国际符号中 3 个位置代表的方向 晶系 1 2 3 立方 a a＋b＋c a＋b 六方 c a 2a＋b 四方 c a a＋b 三方 a＋b＋c a－b ―― 正交 a b c 单斜 b ―― ―― 表 7－4 32 个晶体学点群 晶系 Shoenflies 符号 国际符号 三斜 C1 S2 1 T 单斜 Cs C2 m 2
C2h2/mC2vmm2正交D2222Dzhmmm4C414S44/mCah四方4mmCav42mDzdD4422Dah4/mmm3C3ImS6三方3mCav32D31ND3d5m6CoOCah6/mCh六方Cov6mm622D67D3h6m2Dsh6/mmmT23Th3立方m.Ta43m0
C2h 2/m 正交 C2v D2 D2h m m 2 2 2 2 m m m 四方 C 4 S 4 C4h C4v D2d D4 D4h 4 4/m 4 m m 2 m 4 2 2 4/m m m 三方 C 3 S 6 C3v D3 D3d 3 3m 3 2m 六方 C 6 C3h C6h C6v D6 D3h D6h 6 6/m 6 m m 6 2 2 m 2 6/m m m 立方 TT h T dO 2 3 m 3 m