中南林业科技大学 电子与信息工程学院 《数值分析》 实验指导书 陈爱斌编 计算机教研室 2006年2月 s=99—5—9——5——5—4 9——9—9—9—9—9—999898—5——999=9=9=5——5—99999影
中南林业科技大学 电子与信息工程学院 《数值分析》 实 验 指 导 书 陈爱斌 编 计算机教研室 2006 年 2 月
目录 前言. 实验一函数插值方法 实验二函数逼近与曲线拟合 实验三数值积分与数值微分 实验四线方程组的直接解法 实验五解线性方程组的迭代法 实验六非线性方程求根 2345789 实验七矩阵特征值问题计算 实验八常微分方程初值问题数值解法 附录一:实验报告内容要求 附录二:部分程序示例 233 1、〖多项式系列程序〗 2、〖最小二乘法曲线拟合程序〗 3、〖 Romberg算法计算数值积分程序〗 8 4、〖线方程组的直接解法系列程序〗... 19 5、〖 Jacobi迭代法解线性方程组程序〗 6、〖牛顿法非线性方程求根程序〗 7、〖幂法求矩阵特征值程序〗 26 8、〖四阶经典的龙格-库塔方法解常微分方程程序〗
目 录 前 言................................................... 1 实验一 函数插值方法...................................... 2 实验二 函数逼近与曲线拟合................................ 3 实验三 数值积分与数值微分................................ 4 实验四 线方程组的直接解法................................ 5 实验五 解线性方程组的迭代法.............................. 7 实验六 非线性方程求根.................................... 8 实验七 矩阵特征值问题计算................................ 9 实验八 常微分方程初值问题数值解法....................... 11 附录一：实验报告内容要求................................ 12 附录二：部分程序示例.................................... 13 1、〖多项式系列程序〗................................. 13 2、〖最小二乘法曲线拟合程序〗......................... 15 3、〖Romberg 算法计算数值积分程序〗 ................... 18 4、〖线方程组的直接解法系列程序〗..................... 19 5、〖Jacobi 迭代法解线性方程组程序〗 .................. 24 6、〖牛顿法非线性方程求根程序〗....................... 25 7、〖幂法求矩阵特征值程序〗........................... 26 8、〖四阶经典的龙格-库塔方法解常微分方程程序〗 ........ 27
——鵡—。—一妮一== 数值分析实验指导书 前言 结合课程教学,配备适当的上机实验(16个学时)以便加深课堂 教学的实践性,同时通过实验可以加强对数学模型的总体分析,算法 选取,程序结构,上机调试和结果分析等环节的训练。本实验指导书 共包含8个实验,要求学生在16个实验课时内完成。为使实验更为 有成效,需要写出实验报告(格式要求见附录),以此可作为《数值分 析》课程成绩评定的参考。 第1页
数值分析实验指导书 1 前 言 第 1 页 结合课程教学，配备适当的上机实验(16 个学时)以便加深课堂 教学的实践性，同时通过实验可以加强对数学模型的总体分析，算法 选取，程序结构，上机调试和结果分析等环节的训练。本实验指导书 共包含 8 个实验，要求学生在 16 个实验课时内完成。为使实验更为 有成效,需要写出实验报告（格式要求见附录）,以此可作为《数值分 析》课程成绩评定的参考
———————— 数值分析实验指导书 实验一函数插值方法 、问题提出 对于给定的一元函数y=/(x)的n+1个节点值y=/(x)j=(01,…,) 试用 Lagrange公式求其插值多项式或分段二次 Lagrange插值多项式。 数据如下: 0.4 0.550.65 1.05 0410750.578150.696750.90 1001.25382 求五次 Lagrange多项式L(x),和分段三次插值多项式,计算f(0.596f(0.99)的 值。(提示:结果为f(0596)≈0625732(099105423) (2) y 0.3680.350.0500.018000700020.001 试构造 Lagrange多项式L6(x),计算/(18)的值。 结果∫(1.8)≈0.164762f(615)≈00266 二、要求 1、利用 Lagrange插值公式 L()=门x二xp编写出插值多项式程序 2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式 3、根据节点选取原则,对问题(2)用三点插值或二点插值,其结果如何 4、对此插值问题用 Newton插值多项式其结果如何。 Newton插值多项式如下: ()=f(x)+∑八x…x](x k=1 j≠k flx f(x,) 其中: x =0 三、目的和意义 1、学会常用的插值方法,求函数的近似表达式,以解决其它实际问题 2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点: 3、熟悉插值方法的程序编制 4、如果绘出插值函数的曲线,观察其光滑性 第2页 999999994—5—4—5—999999——5—99998
数值分析实验指导书 2 实验一 函数插值方法 一、问题提出 对于给定的一元函数 y = f (x) 的 n+1 个节点值 ( ) j j y = f x 。 试用 Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次 Lagrange 插值多项式。 j = ( ) 0,1,L, n 数据如下： （1） j x 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 j y 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 求五次 Lagrange 多项式 L 5 (x)，和分段三次插值多项式，计算 f (0.596) ( , f 0.99) 的 值。（提示：结果为 f (0.596) ≈ 0.625732 f (0.99) ≈ 1.05423 ） （2） j x 1 2 3 4 5 6 7 j y 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 试构造 Lagrange 多项式 L 6 (x)，计算 f (1.8)的值。 结果 f (1.8) ≈ 0.164762 f (6.15) ≈ 0.001266 二、要求 1、 利用 Lagrange 插值公式 ( ) k n i k i k i i n k n y x x x x L x − − = ∑ ∏ ≠ = = 0 0 编写出插值多项式程序； 2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式； 3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何； 4、 对此插值问题用 Newton 插值多项式其结果如何。Newton 插值多项式如下： ( ) ∏ − ≠ = = = + ∑ • − 1 0 0 1 0 ( ) [ , ] ( ) k j k j k j n k n N x f x f x Lx x x 其中： ∏ ≠ = = − = ∑ k j i j i j i k i k x x f x f x x 0 0 0 ( ) ( ) [ ,L, ] 三、目的和意义 1、 学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题； 2、 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点； 3、 熟悉插值方法的程序编制； 第 2 页 4、 如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性
——鵡—。—一妮一== 数值分析实验指导书 实验二函数逼近与曲线拟合 、问题提出 从随机的数据中找出其规律性,给出其近似表达式的问题,在生产实践和科学实验 中大量存在,通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线 在某冶炼过程中,根据统计数据的含碳量与时间关系,试求含碳量y与时间t的拟 合曲线。 1(分)051015 10-)0127216286344387415437451458402464 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合 2、近似解析表达式为()=a1+a212+a3 3、打印出拟合函数(),并打印出)与)的误差,j=12,…12 4、另外选取一个近似表达式,尝试拟合效果的比较 5、*绘制出曲线拟合图。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系 第3页
数值分析实验指导书 3 实验二 函数逼近与曲线拟合 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验 中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量 与时间t 的拟 合曲线。 y 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为 ( ) ； 3 3 2 1 2 ϕ t = a t + a t + a t 3、打印出拟合函数ϕ(t)，并打印出 ( )j ϕ t 与 ( )j y t 的误差， j = 1,2,L,12 ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系 第 3 页 t( 分） 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 ( ) 4 10− y × 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64