———————— 数值分析实验指导书 实验三数值积分与数值微分 、问题提出 选用复合梯形公式,复合 Simpson公式, Romberg算法,计算 ( dx(I≈1.5343916 (2)I ax(f(0)=1,I≈09460831) (3)I x 4+x2 ln(1+ 二、要求 1、编制数值积分算法的程序 2、分别用两种算法计算同一个积分,并比较其结果 3、分别取不同步长h=(b-a)n,试比较计算结果(如n=10,20等) 4、给定精度要求E,试用变步长算法,确定最佳步长。 三、目的和意义 1、深刻认识数值积分法的意义 2、明确数值积分精度与步长的关系 3、根据定积分的计算方法,可以考虑二重积分的计算问题 第4页 999999994—5—4—5—999999——5—99998
数值分析实验指导书 4 实验三 数值积分与数值微分 一、问题提出 选用复合梯形公式，复合 Simpson 公式，Romberg 算法，计算 （1） I = xdx ∫ − 4 1 0 2 4 sin (I ≈ 1.5343916) （2） I = dx x x ∫ 1 0 sin ( ) f (0) = 1, I ≈ 0.9460831 （3） I = dx x ex ∫ + 1 0 2 4 （4） I = ( )dx x x ∫ + + 1 0 2 1 ln 1 二、要求 1、 编制数值积分算法的程序； 2、 分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果； 3、 分别取不同步长 h = ( b − a )/ n ，试比较计算结果（如 n = 10, 20 等）； 4、 给定精度要求ε ，试用变步长算法，确定最佳步长。 三、目的和意义 1、 深刻认识数值积分法的意义； 2、 明确数值积分精度与步长的关系； 第 4 页 3、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题
——鵡—。—一妮一== 数值分析实验指导书 实验四线方程组的直接解法 、问题提出 给出下列几个不同类型的线性方程组,请用适当算法计算其解。 1、设线性方程组 2-3-12100001x 4840 3650100 2-2-132-1 215-13-1 013 52323 426 86-8571726-35x 1610-11-917342-122 6339 3920124 00-18-3-24-863 2、设对称正定阵系数阵线方程组 42-402400 4-1141-8-356 20 0-216-1-4-33 43-3-44111 22 025-3-1011421x 15 3-4219 45 (1,-1,0,2,1,-1,0,2) 第5页
数值分析实验指导书 5 实验四 线方程组的直接解法 一、问题提出 给出下列几个不同类型的线性方程组，请用适当算法计算其解。 1、设线性方程组 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 0 0 1 8 3 24 8 6 3 1 4 6 2 7 13 9 2 0 12 4 16 10 11 9 17 34 2 1 2 2 0 2 1 3 4 2 5 3 0 1 8 6 8 5 7 17 2 6 3 5 4 2 6 1 6 7 3 3 2 3 0 2 1 5 1 3 1 1 9 4 4 2 2 1 3 2 1 0 3 1 8 6 5 3 6 5 0 1 0 0 4 2 3 1 2 1 0 0 0 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x x = − 21 19 38 13 46 3 2 3 12 5 x = ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 ) T * 2、设对称正定阵系数阵线方程组 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 0 0 6 3 3 4 2 19 0 2 5 3 10 1 14 2 4 3 3 4 4 11 1 4 2 1 8 1 22 4 10 3 0 2 1 6 1 4 3 3 4 1 14 1 8 3 5 6 2 2 1 2 1 3 2 0 4 2 4 0 2 4 0 0 8 7 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x x = − − − 45 15 22 9 23 20 6 0 x = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 ) * T 第 5 页
——鵡—。—一妮一== 数值分析实验指导书 3、三对角形线性方程组 000 14-10000 000 000 000 14-1000 0000 000 14-100000 xxxxxxxxxx 75126 0-14-10000 14-1000 00000-14-100 000 000 000 000 000 14-10 0 00-14 x=(2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-1)2 二、要求 1、对上述三个方程组分别利用 Gauss顺序消去法与 Gauss列主元消去法:平方根法与 改进平方根法;追赶法求解(选择其一); 2、应用结构程序设计编出通用程序 3、比较计算结果,分析数值解误差的原因; 4、尽可能利用相应模块输出系数矩阵的三角分解式。 、目的和意义 1、通过该课题的实验,体会模块化结构程序设计方法的优点: 2、运用所学的计算方法,解决各类线性方程组的直接算法 3、提高分析和解决问题的能力,做到学以致用 4、通过三对角形线性方程组的解法,体会稀疏线性方程组解法的特点
数值分析实验指导书 6 3、三对角形线性方程组 = − − − − − − − − − − − − − − − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x x − − − − 5 5 4 14 12 6 2 13 5 7 x = ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 ) * T 二、要求 1、 对上述三个方程组分别利用 Gauss 顺序消去法与 Gauss 列主元消去法；平方根法与 改进平方根法；追赶法求解（选择其一）； 2、 应用结构程序设计编出通用程序； 3、 比较计算结果，分析数值解误差的原因； 4、 尽可能利用相应模块输出系数矩阵的三角分解式。 三、目的和意义 1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点； 2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法； 3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用； 第 6 页 4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点
———————— 数值分析实验指导书 实验五解线性方程组的迭代法 、问题提出 对实验四所列目的和意义的线性方程组,试分别选用 Jacobi迭代法, Gauss-Seidol 迭代法和SOR方法计算其解 、要求 体会迭代法求解线性方程组,并能与消去法做以比较 2、分别对不同精度要求,如E=10-3,10-10-5由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢 3、对方程组2,3使用SOR方法时,选取松弛因子⑨=08,09,1,1.1,1,2等,试 看对算法收敛性的影响,并能找出你所选用的松弛因子的最佳者 给出各种算法的设计程序和计算结果 三、目的和意义 1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点,并能和消去法比较 2、运用所学的迭代法算法,解决各类线性方程组,编出算法程序; 3、体会上机计算时,终止步骤-x<或k>(予给的选代次数),对迭 代法敛散性的意义 、体会初始解x,松弛因子的选取,对计算结果的影响 第7页 999999994—5—4—5—999999——5—99998
数值分析实验指导书 7 实验五 解线性方程组的迭代法 一、问题提出 对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用 Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法和 SOR 方法计算其解。 二、要求 1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较； 2、分别对不同精度要求，如 由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢； 3 4 5 10 ,10 ,10 − − − ε = 3、对方程组 2，3 使用 SOR 方法时，选取松弛因子ω =0.8，0.9，1，1.1，1.2 等，试 看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者； 4、给出各种算法的设计程序和计算结果。 三、目的和意义 1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较； 2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序； 3、体会上机计算时，终止步骤 ∞ + − (k 1) (k ) x x < ε 或 k >（予给的迭代次数），对迭 代法敛散性的意义； 第 7 页 4、体会初始解 x ( ，松弛因子的选取，对计算结果的影响。 0)
———————— 数值分析实验指导书 实验六非线性方程求根 、问题提出 设方程f(刈)=x-3×-1=0有三个实根x1=1.8793,X2=0.34727,X3=-153209 现采用下面六种不同计算格式,求f(x=0的根x1或x2 X= 3、x=√3x+1 6、X=X 要求 1、编制一个程序进行运算,最后打印出每种迭代格式的敛散情况: 2、用事后误差估计x4-x(E来控制迭代次数,并且打印出迭代的次数 3、初始值的选取对迭代收敛有何影响 4、分析迭代收敛和发散的原因。 目的和意义 通过实验进一步了解方程求根的算法 认识选择计算格式的重要性 掌握迭代算法和精度控制 4、明确迭代收敛性与初值选取的关系 第8页 999999994—5—4—5—999999——5—99998
数值分析实验指导书 8 实验六 非线性方程求根 设方程 f(x)=x - 3x –1=0 有三个实根 x * 1 =1.8793 , x * =-0.34727 ,x =-1.53209 现采用下面六种不同计算格式，求 f(x)=0 的根 x * 1 或 x * 2 3 2 * 3 一、问题提出 1、 x = 2 3 1 x x + 2、 x = 3 1 3 x − 3、 x = 3 3x +1 4、 x = 3 1 2 x − 5、 x = x 1 3 + 6、 x = x - ( ) 1 3 1 3 1 2 3 − − − x x x 二、要求 1、编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况； 2、用事后误差估计 k k x − x +1 〈 ε 来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数； 3、初始值的选取对迭代收敛有何影响； 4、分析迭代收敛和发散的原因。 三、目的和意义 1、通过实验进一步了解方程求根的算法； 2、认识选择计算格式的重要性； 3、掌握迭代算法和精度控制； 第 8 页 4、明确迭代收敛性与初值选取的关系