速度是矢量其方向与AF的极限方向一致,即为运动轨迹上该点的切线方向从式(17) 可以看出,速度是位置矢量对时间的一阶导数速度的单位是米·秒(ms 反映质点运动瞬时快慢的物理量称为瞬时速率(简称速率)它是Δt→0时平均速率 的极限值,即 ds △t dt 由于At→0时=d,故质点在某一时刻的速度大小与该时刻的瞬时速率相等 四、加速度 加速度是描述质点速度随时间变化快慢的物理量 AUD(+△t)-U(1) (1 △t 轨道 D(0) U(t+△) △U t+△t 由式(19)可以看出,质点的加速度等于速度对时间的一阶导数,或等于位置矢量对 时间的二阶导数换句话说我们可以通过对速度或位矢求导来计算加速度加速度的 单位是米·秒(m·s) 五、圆周运动的角量描述 轨迹为圆周的运动称为圆周运动由于作圆周运动的质点必在圆周上,因而其运 动可用一组角量来描述 角坐标角坐标是描述质点在圆周上位置的物理量如图1.5所示,设时刻质点位 于处,则半径与参考轴的夹角即为该时刻质点的角坐标,它随时间而变化,即 运动方程:0=0() 此即质点作圆周运动时的运动方程角坐标的单位为弧度(rad)
6 速度是矢量,其方向与 r 的极限方向一致,即为运动轨迹上该点的切线方向.从式(1.7) 可以看出,速度是位置矢量对时间的一阶导数.速度的单位是米·秒(ms) 反映质点运动瞬时快慢的物理量称为瞬时速率(简称速率),它是∆t→0 时平均速率 的极限值,即 dt ds t s t = ⎯ ⎯→ = = →0 (1.8) 由于∆t→0 时 dr = ds ,故质点在某一时刻的速度大小与该时刻的瞬时速率相等. 四、加速度 加速度是描述质点速度随时间变化快慢的物理量. 2 2 0 dt d r dt d a t t t t t a t = ⎯ ⎯→ = + − = = ( ) ( ) → (1.9) 由式(1.9)可以看出,质点的加速度等于速度对时间的一阶导数,或等于位置矢量对 时间的二阶导数 .换句话说,我们可以通过对速度或位矢求导来计算加速度.加速度的 单位是米·秒(m·s). 五、圆周运动的角量描述 轨迹为圆周的运动称为圆周运动 .由于作圆周运动的质点必在圆周上,因而其运 动可用一组角量来描述. 角坐标 角坐标是描述质点在圆周上位置的物理量.如图 1.5 所示,设时刻质点位 于处,则半径与参考轴 的夹角 即为该时刻质点的角坐标 ,它随时间而变化,即 运动方程: = (t) (1.10) 此即质点作圆周运动时的运动方程 .角坐标的单位为弧度(rad). 轨道 (t) (t + t) (t + t)
角位移:△θ M→0>cO 角速度:o △0 t→>0 40具有矢量性 角加速度:阝 O 0>β 角位移、角速度与角加速度(统称为角量)的单位分别为弧度(rad)、弧度/秒 rad·s)、及弧度/秒(rad·s) 例1.1(P6) 作业(P28):1.5,1.7 思考题自己练习
7 具有矢量性 角加速度： 角速度： 角位移： ⎯ ⎯→ = = ⎯ ⎯→ = = ⎯ ⎯→ → → → dt d t dt d t d t t t 0 0 0 角位移、角速度与角加速度(统称为角量)的单位分别为弧度(rad)、弧度／秒 (rad·s)、及弧度／秒(rad·s). 例 1.1 （P6） 作业（P28）：1.5，1.7 思考题自己练习
§12描述质点运动的坐标系 前面讲过为了定量的描述物体的位置和位置随时间的变化在参考系上还需要选 择一个坐标系下面介绍三种常用坐标系中的各物理量及其变化的表达式 、直角坐标系 位移在直角坐标系中,位移可表示为 A=(x2-x)+(y2-y1)j+(=2-=1)k=△xi+△y+△k(1.13) 位移的大小|A=√△x2+△y2+△ 其方向由三个方向余弦确定分别为 cosa=n-, cosB 速度由速度定义知速度是位置矢量对时间的一阶导数。即 (1.14) dt dtdt dt 加速度由加速度定义有 c d-r du a j+==k d27+2 k=a i +a,j+ak 二、平面极坐标系 位矢:对于位置矢量限制在一平 上的情形除了用平面直角坐标系外, 可用平面极坐标系来描述此时质点 面也的和 坐标为r和0设e和分别代表径向 横向(同径向垂直指向θ角增加的方极点 x极轴 向) 的单位矢量(如图所示)这里的 E和数量不变等于1,但它们的方向均随质点所在位置而异即与坐标有关)。 则质点的位置矢量可表示为 F=F()=r()e,(D) 因为当质点在平面上运动时随着坐标的变化,也随之改变方向所以也成为时间t的 函数,位矢的极坐标分量成为
8 §1.2 描述质点运动的坐标系 前面讲过,为了定量的描述物体的位置和位置随时间的变化,在参考系上还需要选 择一个坐标系.下面介绍三种常用坐标系中的各物理量及其变化的表达式。 一、直角坐标系 位移 在直角坐标系中,位移可表示为 r x x i y y j z z k xi yj zk ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ = ( 2 − 1 ) + 2 − 1 + 2 − 1 = + + (1.13) 位移的大小 2 2 2 r = x + y + z 其方向由三个方向余弦确定.分别为： r z r y r x = = cos = , cos , cos 速度 由速度定义知,速度是位置矢量对时间的一阶导数。即 k dt dz j dt dy i dt dx dt dr = = + + (1.14) 加速度 由加速度定义有 k dt d j dt d i dt d dt d r dt d a x y z + + = = = 2 2 k a i a j a k dt d z j dt d y i dt d x x y z = + + = + + 2 2 2 2 2 2 (1.15) 二、平面极坐标系 位矢：对于位置矢量限制在一平 面 上的情形,除了用平面直角坐标系外, 也 可用平面极坐标系来描述.此时质点 的 坐标为 r 和 .设 e e r 和 分别代表径向 和 横向(同径向垂直指向 角增加的方 向 ) 的 单 位 矢 量 ( 如 图 所 示 )( 这里的 e e r 和 数量不变,等于 1,但它们的方向均随质点所在位置而异,即与坐标有关)。 则质点的位置矢量可表示为 r r(t) r(t)e ˆ [ (t)] = = r (1.16) 因为当质点在平面上运动时,随着坐标 的变化, 也随之改变方向,所以也成为时间 t 的 函数,位矢的极坐标分量成为 极点 极轴
r=r() 6=6(t) 速度:根据速度定义有 (e)= de dt e.+ r0(横)( 式中f是质点径向坐标对时间的变化率,即质点与原点距离的时间变化率为横向速度 推导从略 加速度:平面极坐标系中质点的加速度已超出普通物理的范畴将在理论力学中学 到所以本书不予推导,只给出结论平面极坐标系中的加速度也分为径向加速度和横向 加速度,其分别为 径向加速度 F-10 横向加速度 i d 由上可以看出在平面极坐标系中,加速度分量的表达式比较繁杂不象直角坐标系 中那么简单,但这并不等于解算力学中所有问题都要用直角坐标系才显得方便在理论 力学中关于有心力的讨论,平面极坐标系就比直角坐标系方便 三、自然坐标系 在有些情况下,质点相对参考系的运 轨迹是已知的例如,以地面为参考系火车 s() 为质点)的运动轨迹(铁路轨道)是已知的 时可以轨迹上任一点M的切线和法线构 动(这成称 坐标系来研究平面曲线运动这种坐标系 为自然坐标系,如图所示图中r,n分别代表切线和法线方向的单位矢量显然,随着质 点位置的改变,τ及n的方向亦随之而变因此,r,n与i,j,k不同,前者的方向在运 动中是可变的而后者则是固定的 运动方程如图在轨道上任选定一点O作为原点(或称为弧长起算点,原点不 定是p的初始位置),沿轨道规定一个弧长正方向(轨道上箭头示,不一定是p运动 的方向)。则可用O至P的轨道弧长s来描述p的位置。当p随t变位置时,s是t的 标量函数
9 = = ( ) ( ) t r r t 速度：根据速度定义有 dt d d de re re r dt d r r r r = = = + ˆ ( ˆ ) ˆ = = = + ( ) ( ) ˆ ˆ 横 径 r r re r e r r (1.17) 式中 r 是质点径向坐标对时间的变化率,即质点与原点距离的时间变化率.为横向速度, 推导从略. 加速度：平面极坐标系中质点的加速度已超出普通物理的范畴,将在理论力学中学 到.所以本书不予推导,只给出结论.平面极坐标系中的加速度也分为径向加速度和横向 加速度,其分别为 径向加速度 2 r = − a r r 横向加速度 = + = ( ) 1 2 2 r dt d r a r r (1.18) 由上可以看出,在平面极坐标系中,加速度分量的表达式比较繁杂,不象直角坐标系 中那么简单,但这并不等于解算力学中所有问题都要用直角坐标系才显得方便.在理论 力学中关于有心力的讨论,平面极坐标系就比直角坐标系方便. 三、自然坐标系 在有些情况下,质点相对参考系的运 动 轨迹是已知的,例如,以地面为参考系,火车 ( 视 为质点)的运动轨迹(铁路轨道)是已知的. 这 时可以轨迹上任一点 M 的切线和法线构 成 坐标系来研究平面曲线运动.这种坐标系 称 为自然坐标系 ,如图所示.图中τ，n 分别代表切线和法线方向的单位矢量.显然,随着质 点位置的改变,τ及 n 的方向亦随之而变.因此,τ，n 与 i，j，k 不同，前者的方向在运 动中是可变的,而后者则是固定的. 运动方程 如图在轨道上任选定一点 O 作为原点（或称为弧长起算点，原点不一 定是 p 的初始位置），沿轨道规定一个弧长正方向（轨道上箭头示，不一定是 p 运动 的方向）。则可用 O 至 P 的轨道弧长 s 来描述 p 的位置。当 p 随 t 变位置时，s 是 t 的 标量函数。 • O P s(t) n •