h全为偶数或全为奇数,n为任意整数(见图2-7) 111) (220) 311) 06 200 070 ( Oo 080 45 图2一7粉末金刚石的中子衍射图(取自G, Bacon) a)金刚结构的立方原胞含八个原子,其坐标为 (0,0,0),( ,0),( 202 133、/313 2’24,4,44,4,44,4 结构因子为 s=∑ ∫xp(-irG) ∑ fexp[-12兀(x+y配+x;)〕 因每个原子的散射因子f都相同,于是 S=(1+xp(-12(+k+1)+xp-(h+ +exp-i(h+1)]+exp〔-i(k+L)〕 expt -io(h+3k+31))+exp[ -io(3h+k+30) +exp-i(3+3k+1)〕 18
+expl -iI(h+k))+expr -it(h+1)) +exp〔-iz(k+1)〕}1+exp-i#(h+k+1)〕 b)S=0的条件是 (1)当h部份为奇部份为偶时,有 exp〔-i兀(h+k)〕+exp〔-(k+1)〕]+exp-ir(h +)}=0 (2)当(h+k+1)=2n+1时,有 1+exp〔-i(h+k+1)]=0 要使S÷0,则由条件(1),应全为奇或全为偶,同时由条 件(2),要求(h+k+1)=2n,但当hk全为奇时不可能满足 这一要求。所以S年0的条件是 (1)h+k+l=4n,且全为偶 2)形全为奇 衍射强度正比于S2,只有相应于S午0的衍射线才能被观察 到,图2-6所表示的粉末金刚石的中子衍射谱完全证实上述结 果 9.氯原子的散射因子.对于处在基态的氢原于,电于数密 度为n(r)=(xa)-lexp(-r/a),ao为玻尔半径,证明散射因 子为fa=16/(4+G2a3 解 氢原子基态电子密度为 19
(r)= -exp( -2r/a ), 其散射因子为 fo=dtn(r)exp(-iGr) 2 iGa/a exp(-2r/aoCexp(iGr)-exp(-iGr)rdr 利用积分公式 x"exp(-ax)dx= n 很容易算出 2 iGanl(2-iGa, )2(2+iGa)2 16 (4+G2a2)2 10.双原子线.设有A-B键长为1a的原子线ABAB…… AB,原子A、B的散射因子分别为∫A,fB,入射x射线束垂直于原 子线。(a)证明干涉条件为n=acos,0为衍射束与原子线之 间的交角。(b)证明h为奇数时衍射束的强度正比于1fA-fl12, h为偶数时正比于|A+fs(c)说明∫A=f时会发生什么现 象? 解 a)光程差为acos,所以干涉条件为 acos9=nλ (b)现在每一原胞含有两个原子,其坐标分别为,2,结 构因子为 20
S=fA+ fLex(∽i兀)。 衍射线强度 ~s2=〔f+ flex(-iπ)〕fA+ fzexp()〕 =f2+fB+2 fafBcosh丌 (A+∫B) h为偶数 h为奇数。 (c)若fA=fB两种原子的散射因子相同,对x射线来说, 相当于只有一种原子的线性晶格根据(b)的结果,只有h为偶数 的行射线出现。在某些离子晶体如KCl中,K和C是等电子的 ∫k+≈fc-,所以为奇数的反射线很弱,研究这种弱的反射线可 以得到由于不同核电荷引起的离子半径的差别的有用的资料
第三章晶体的结合 量子固体。量子固体中主要的排斥能是原子的零点能。 考虑结晶H!的一个粗略的一维模型,每个He原子限制在长度为 L的线段内。取线段为半波长的自由粒子波函数为基态波函数 (a)求每个粒子的零点动能,(b)求出由于膨胀而仍保持线 性结构所需要的力的表达式。(c)平衡时动能的扩张倾向被范 德瓦耳斯相互作用所抵消。最近邻原子间的范德瓦耳斯能很粗略 地由U(L)=-1.6L610-6°erg给出,I以cm为单位,求L的平均 值 解 a)根据量子力学,限制在L线段内的自由H原子的波函 数有ψ=Ac形式,其中K为波矢,K=2兀/A,对应于L=M/2的 波函数为基态波函数,则K。=2/2L≡x/L,所以基态波函数为 ψ。=Ae'工.每个原子的零点动能也就是基态的平均动能: 52 d2 )p。od 2nt d T 8mL2° 由此可见,每个粒子的零点动能与原子的质量m和线段长度L的 平方成反比 b)因零点动能会引起线段的膨胀,为保持长度为L的线 段结构,必须施加的力为; 22