B 3 所以这种晶格是六角空间晶格自已的倒易格子,不过晶轴有了旋 转,(c)说明并绘出六角空间晶格的第一布里渊区。 解 a)六角晶格原胞的体积为 V=!a·(b×c) 2 (2+号5)× b)六角晶格的倒易平移基关为 2术 A b×c 2x/3a y×cz 23 311a B cx身 Cz x x+÷y 23 2亢 a 2 xb 2兀(3 x十 v 2 与正格子的平移基矢a,b,c形式相同,可见倒格子亦为六角格 子 ◆13
(c)六角晶格的倒易矢量为 G=hA +kB-ic 3(在-k)x+2x 2兀 +k)y+51z 选某一倒易格点为原点,其最近邻、次近邻格点的位置如图2 6a所示,从原点出发作以下八个倒易格点(hkI) (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1), +1,+1,0),(-1,-1,0), 这八个格点与原点(0,0,0)分别组成八个倒易矢量,做这八 个倒易矢量的垂宜平分面,构成一六角柱体,即为第一布里渊 区,如图2-6b所示.布里渊区的界面方程为 KG=+G2 或者写成 --(h-kkx+Ch +k),+k /3a =m7、4(h2+k2+1k) 3a 其中kx,kyk是波矢量R的分量 〔a) 图2一6六角空间晶格(a)和它的第一布里渊区(b) 14
5.布里渊区的体积,证明第一布里渊区的体积为(2n)3/v, V为晶体初基原胞的体积 解 利用正、倒格子基矢间的关系 2r 23 A b×c,B c×a;C axb v为正格子原胞的体积,布里渊区的体积就等于倒易格子原胞的 体积,即 Vb=|A·(B×C) 兀 bXc)(c×a)×(a×b) (b×c)·ac·(a×b) (2x) 衍射峰的宽度。假定在线性晶体中的每一格点pm=ma m为整数)上有相同的点散射中心。与散射振幅 dun(rexp(-iK·r) 类似,总的散射振幅正比于 a′=∑exp[-ima△k〕 求和遍及M个格点,其值为 a÷1-exp(=aM(a△k) 1-exp〔-ia·△k〕 其中用了级数 M一1 ∑ a)散射强度正比于|a2.证明
sin2M(a·△k) a|=a'a'=2- in2(a·△k) b)我们知道,当a·△k=2兀九时,出现術射极大,九为整 数略微改变△k并在a·△k=2z+E中使t给出sinM(a,△k) 中的第一个零值来确定ε、证明e=2x/M,因此,衍射峰的宽度正 比于1/M,对于M的宏观值,峰宽是非常窄的。三维晶体也有同 样的结果。 解 a)散射振幅正比于 as1-ex-i(a·△k)〕 1-exp(-i盘△k)3 散射强度正比于la′2,而 d2=aa′=/1-exp[iM(a·△k) l-exp[i(a·△k)〕 1-exps-iM(a△k)) 1-exp-ⅸ(△k 因为 〔1-exp(讠x)〕〔1-exp(-ix)〕 =2-exp(ix)-exp-ix) =2(1-cosx)=4521 所以 sin2M(a△k) a sin2(段·△k) (b)若a·Ak=2π+E,利用 16
sinM(a·△k)=sinM(2xh+e) ±sin Me 的第一个零值,即要求 Me 2 确定出的e为 2兀 M 所以,衍射极大值的宽度正比于1/M。M是格点数,故衍射线宽 是非常窄的,这一结论也适用于三维晶体。 ·中于徽止滤波醫。对反应堆产生的中子,说明透射长波 热中子的滤波器的作用。这种滤波器是一个填满粉末晶体的管 子 解 当中子束通过装满某种粉末晶体的管子时,会受到各种取向 的小晶粒的散射,满足条件2dsin日=nλ,便发生布喇格反射。考 虑n=1的情况,由于是粉末晶体,存在各种不同的θ值,因为 Sine!≤1,所以λ≤24的中子均被反射,只有A>2a的中子可以 通过。一般晶体的晶格常数的数量级为几个A,故可透射的中子 的波长亦为几个A或更长。利用这一原理可以制成中子滤波器, 只允许长波长的热中子通过 金刚石的结构因子。金刚石的晶体结构已在原书第一章 中说明了。如果原胞取为惯用的立方体,基团( basis)包含八 个原子。(a)求基团的结构因子。(b)求结构因子的零点, 并证明金刚石结构的允许反射满足条件h+k+l=4n,其中指数