第四节、隐函数与参数方程所确定函数的导数 一、 基本概念 1.由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数 2.由参数方程x=(0 所确定的函数y=f(x)的导数. [y=v(t)
一、 基本概念 第四节、隐函数与参数方程所确定函数的导数 1.由方程F( x, y) = 0 所确定的隐函数 y = f ( x)的导数. 2.由参 数方 程 = = ( ) ( ) y t x t 所确定的函 数 y = f ( x)的导数
二、 定理与性质( 由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数.④ 例如求曲线x-2e-+y+y3=1在(1,1)点的切线方程. 由方程x-2-1+y+y3=1确定了函数y=y(x) 方程两边对x求导得01-2e-+y'+3y2y'=0 解得导数y' 2et由八w=4e 1+3y2 得到曲线在(，1)点的切线方程y-1=cx-)《
二、 定理与性质 例如 求曲线 2 1 1 3 − + + = − x e y y x 在(1,1)点的切线方程. 1. 由方程F( x, y) = 0 所确定的隐函数 y = f ( x)的导数. 由方 程 2 1 1 3 − + + = − x e y y x 确定了函数 y = y( x) 方程两边对x 求导得 1 2 3 0 1 2 − + + = − e y y y x 解得导数 2 1 1 3 2 1 y e y x + − = − ， 由 4 1 (1,1) y = 得 到曲线在(1,1)点的切线方程 ( 1) 4 1 y − 1 = x −
例如求由方程x-2e-+y+y3-1所确定的函数y=y(x) 的二阶导 d乃y dx2 方程两边对x求导得04-2e-1+y'+3y2y=00 解得导数y= 2e--1 1+3y2 (10 (1)式两边再对x求导得 y=2e1+3y)-(2e-10+3yy4 (1+3y2)4
例如 求由方程 2 1 1 3 − + + = − x e y y x 所 确 定的函 数 y = y( x) 方程两边对x 求导得 1 2 3 0 1 2 − + + = − e y y y x 解得导数 2 1 1 3 2 1 y e y x + − = − （1） (1)式两边再对 x 求导得 的二阶导数 2 2 dx d y 2 4 1 2 1 2 (1 3 ) 2 (1 3 ) (2 1)(0 3 ) y e y e y y y x x + + − − + = − −
y2eu+3y-时 (1+3y2)4 2e1+3y)-(2e1-13y.2e-1 1+3y2 (1+3y2)4
2 4 1 2 1 2 (1 3 ) 2 (1 3 ) (2 1)3 y e y e y y y x x + + − − = − − = + + − + − − = − − − 2 4 2 1 1 2 1 2 (1 3 ) 1 3 2 1 2 (1 3 ) (2 1)3 y y e e y e y x x x 2 1 1 3 2 1 y e y x + − = −
2.由参数方程r=p0 所确定的函数y=y(x)的导数. y=v(t) 设单调连续函数x=p(t)具有反函数t=p(x), 函数x=p(t),y=w(t)都可导且p'()≠0， 则y=y(p(x)=y(x)是可导的，0 由复合函数及反函数的求导法则④ 少=少.h=.1y'( dx dt dx dt dx o'(t) dt
2.由参 数方 程 = = ( ) ( ) y t x t 所确定的函 数 y = y( x)的导数. 函数x = (t), y =(t)都可导, 且(t) 0, 则y =( −1 (x)) = y(x)是可导的， 由复合函数及反函数的求导法则 dx dt dt dy dx dy = dt dt dx dy 1 = ( ) ( ) t t = ( ) ( ), 1 x t t x − 设单调连续函数 = 具有反函数 =