高等数学教案 第一章函数与极限 第四节无穷小与无穷大 教学内容：无穷小与无穷大的定义及其应用 教学目标：理解无穷小与无穷大的概念 教学重点：掌握无穷小与无穷大的概念 教学难点：无穷小与无穷大概念的应用 教学方法：新课讲授法 作 业：p421,4,5,6. 教学过程： 一、无穷小 如果函数x)当xxo(或xo)时的极限为零，那么称函数x)为当xxo(或x→o)时的无穷小. 特别地，以零为极限的数列{xm}称为n0时的无穷小 例如， 因为1im-0,所以函数上为当x-→∞时的无穷小 因为1im(x-)=0,所以函数为x-1当x→1时的无穷小. 因为m片=0，所以数列1中)为当时的无穷小 nn+1 讨论：很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？ 提示：无穷小是这样的函数，在xx(或x∞)的过程中，极限为零.很小很小的数只要它不 是零，作为常数函数在自变量的任何变化过程中，其极限就是这个常数本身，不会为零， 无穷小与函数极限的关系： 定理1在自变量的同一变化过程x→x(或xo)中，函数fx)具有极限A的充分必要条件是 x)=A+a,其中a是无穷小 证明：设limf(x)=A,e>0,3>0,使当0<r-xdk6时，有 fx)-A<E. 令a=fx)-A,则a是xxo时的无穷小，且 fx)=A+a. 这就证明了x)等于它的极限A与一个无穷小α之和 反之，设x)=A+a,其中A是常数，a是xxo时的无穷小，于是
高等数学教案 第一章函数与极限 (x)-A]-lal. 因a是xxo时的无穷小，Ve>0,36>0,使当0<r-xdk6,有 |a4e或/x)-A<e 这就证明了A是x)当xxo时的极限. 简要证明：令ax)-A,则x)-A曰H4 如果Ve>0,36>0,使当0<-x水δ，有fx)-A<e,就有ke; 反之如果Ve>0,36>0,使当0<r-xdk6,有a水，就有x)-AKe. 这就证明了如果A是x)当xxo时的极限，则a是xx时的无穷小；如果（是xxo时 的无穷小，则A是x)当xx和时的极限。 类似地可证明xo时的情形， 创如因为生禁分京，眉吧京0，所以号 n1+x31 二、无穷大 如果当x→xa(或x∞)时，对应的函数值的绝对值x)无限增大，就称函数x)为当x→x(或 xo)时的无穷大.记为 limf(x)=o(或lim f(x)=o)片 应注意的问题：当xx(或x∞)时为无穷大的函数x),按函数极限定义来说，极限是不存 在的.但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作 lim f(x)=co lim f(x)=o0). x》Xn 讨论：无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数 是否是无穷大？ 提示：limf(x)=o→M0,38>0,当0<-xk6时， T0 有x)PM 正无穷大与负无穷大： lim f(x)=+c,lim f(x)=-0. 画 (x→0) 1 例2证明可0
高等数学教案 第一章函数与极限 证因为v6036订当04-8时.有 tw. 所以im一 =00】 x→r-1 提示要使1十M,只要k-水立 铅直渐近线： 如果lim f(x)=o,则称直线x=,是函数=f儿x)的图形的铅直渐近线. 例如，直线=1是函数y=1的图形的铅直渐近线 x-1 定理2（无穷大与无穷小之间的关系） 在自变量的同一变化过程中，如果x)为无穷大， 则高为无穷小反之，数果为无穷小且@0则高为无穷大 简要证明： 1 如果m)=0,且0，那么对于6=7,6>0，当0<-k6时， 有/水&，由于当0-xk心时，元0，从而 高M, 所以右为x时的无穷大 如果1imfy=0,那么对于M=,38>0,当0-x,k8时， 有机那M-2国7向e,所以为x时的无穷小 简要证明： 如果x)→0(0→x)且x)≠0，则Ve>0,36>0, 当0<-x水6时，有水，即，所以 f)-o. 如果fx)o(xxo),则VM0,3>0,当0<r-x水6时， 有>M即，所以 →0(x→x0) f(x) 3