高等数学教案 第一章函数与极限 第一章 函数与极限 第一节映射与函数 教学内容：函数的概念，性质。 教学目标：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及图形，并会建立简单问题中的函 数关系式。 教学重点：理解复合函数，分段函数，反函数概念，掌握基本初等函数的性质以及图像。 教学难点：掌握复合函数以及分段函数，反函数概念 教学方法：新课讲授法 作 业：p214-16 教学过程： 一、集合 1.集合概念 集合（简称集）：集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C.等表示 元素：组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aeM. 集合的表示： 列举法： 把集合的全体元素一一列举出来 例如A={a,b,c,d,e,fg} 描述法：若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成，则M可表示为 A={a1,a2,·,an}, M={x|x具有性质P} 例如M={x,y川x,y为实数，x2+2-1} 几个数集： N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集 N={0,1,2,,n,}.Nt={1,2,,n,…. R表示所有实数构成的集合，称为实数集 乙表示所有整数构成的集合，称为整数集 Z={,-n,,-2,-1,0,1,2,,n,…
高等数学教案 第一章函数与极限 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理数集 Q=|peZ,q∈N*且p与q互质 子集：若x∈A,则必有x∈B,则称A是B的子集，记为ACB(读作A包含于B)或B-A. 如果集合A与集合B互为子集，ACB且BCA,则称集合A与集合B相等，记作A=B. 若AcB且A≠B,则称A是B的真子集，记作A至B.例如，N三ZQR. 不含任何元素的集合称为空集，记作⑦.规定空集是任何集合的子集. 2.集合的运算 设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集（简 称并)，记作UB,即 AUB={XX∈A或x∈B) 设A、B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（简 称交)，记作A⌒B,即 AOB={x|X∈A且x∈B} 设A、B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集（简 称差)，记作AB,即 A\B={x|x∈A且xEB} 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合【中进行，所研究的其他集合A都是I的子 集.此时，我们称集合I为全集或基本集.称A为A的余集或补集，记作A 集合运算的法则： 设A、B、C为任意三个集合，则 (I)交换律：AUB=BUAA∩B=BOA (2)结合律：(AUB)UC=AU(BUC)(A∩B)OC=A∩(B⌒C) (3)分配律(AUB)OC=(A⌒C)U(B∩C) (A∩B)UC=(AUC)⌒(BUC) (4)对偶律(AUB)=A∩B°(A⌒B)°=A°UB (UB)C=ACOBC的证明： 2
高等数学教案 第一章函数与极限 x∈(AUB)XAUB台xEA且xeBXEAC且XEBC XEACOBC,所以(AUB)C=ACOBC. 直积（笛卡儿乘积）： 设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素 八，组成一个有序对c,),把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与 集合B的直积，记为A×B,即 A×B={x,yx∈A且yeB; 例如，R×R={,y川xER且yeR}即为xOy面上全体点的集合，RxR常记作R. 3.区间和邻域 有限区间： 设a<b,称数集{xa<x<b}为开区间，记为(a,b),即 (a,b)={xla<x<b. 类似地有 [a,b]=x|a≤r≤b}称为闭区间， [a,b)={x|asr<b}、(a,b]={x|a<x≤b称为半开区间. 其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点，b-a称为区间的长度 无限区间： [a,+o)={x|a≤x},(-o,b]={x|x<b},(-o,+oo)={x|x|<+o} 区间在数轴上的表示： 邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a) 设8是一正数，则称开区间(a-da+)为点a的8邻域，记作U(a,),即 U(a,={x|a-&x<a+ =xx-al<8. 其中点a称为邻域的中心，6称为邻域的半径. 去心邻域U(a,: U(a,0={x10<x-aK 二、映射
高等数学教案 第一章函数与极限 1.映射的概念 定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则方使得对X中每个元素x,按法则 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称∫为从X到Y的映射，记作 f:X→Y, 其中y称为元素x(在映射∫下)的像，并记作x),即 =x), 而元素x称为元素（在映射f下）的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作D,即 DEX; X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记为R5或)，即 RfX)=(f(x)kxEX). 需要注意的问题： (1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X,即定义域D=X,集合Y,即值域的范 围：R/cY,对应法则f使对每个x∈X,有唯一确定的y=x)与之对应， (2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的；而对每个y∈R,元素y的原像不一定是唯一的； 映射f的值域Rr是Y的一个子集，即RrcY,不一定R=Y 例1设f:RR,对每个xeR,x)=x2 显然，f是一个映射，f的定义域D=R,值域Rr={20;,它是R的一个真子集.对于R/ 中的元素y,除y=0外，它的原像不是唯一的.如=4的原像就有x=2和x=-2两个 例2设X={x,y)x2+y=1},Y={(x,0x1},f:X→Y,对每个c,y)eX,有唯一确定的(x, 0)eY与之对应 显然∫是一个映射，∫的定义域D=X,值域R=Y.在几何上，这个映射表示将平面上一 个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上. (6f-受习-1，小.对每个xe-受1sinx, f是一个映射，定义域D-受1，值域R-1,山 满射、单射和双射 设∫是从集合X到集合Y的映射，若R=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则 称f为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素xx2,它们的像x)≠x2),则 称∫为X到Y的单射；若映射∫既是单射，又是满射，则称∫为一一映射（或双射 上述三例各是什么映射？
高等数学教案 第一章函数与极限 2.逆映射与复合映射 设f是X到Y的单射，则由定义，对每个yeRr,有唯一的x∈X适合x)=y,于是，我们 可定义一个从R,到X的新映射g,即 g:Rr→X, 对每个yER/,规定g)=x,这x满足x)与y.这个映射g称为f的逆映射，记作厂，其定 义域D,=R,值域R-=X 按上述定义，只有单射才存在逆映射，上述三例中哪个映射存在逆映射？ 设有两个映射 g:X>Y1,f:Y2→Z, 其中Y1cY2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xeX映射成 几gx]∈Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成 的复合映射，记作fog,即 fog:X→Z, (fog)x)=fgx)小，xeX. 应注意的问题： 映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域Rg必须包含在f的定义域内，RgcD·否则， 不能构成复合映射，由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，fog有意义并不表示gof 也有意义，即使fog与gof都有意义，复映射fog与gof也未必相同 例4设有映射g:R→[-l,1],对每个x∈R,g(x)=sinx, 映射f子[-1，]-→0，，对每个e[-1,1小，f0)=V-u2 则映射g和f构成复映射fog:R[0,1],对每个xeR,有 (fog)(x)=fg(x)]=f(sinx)=v1-sin2x=cosxl. 三、函数 1.函数概念 定义设数集DR,则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为 y=fx),xED, 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D,即D=D. 应注意的问题 记号∫和x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者