附录1矩阵基础知识 1矩阵的概念:矩阵就是矩形的数表。例如: 0、0 代表由pq个数字排成的数表,我们称它为p行q列矩阵。矩阵用大写黑体字母表示。其下 标表示它所包含的行列数,也可省略不写。用小写字母表示矩阵中的各个数字,如a表示 A矩阵中第i行第j列的那一个数字,称为矩阵的元素。有时也可用(a)表示矩阵A。 向量是只有一行或一列的矩阵。当p=1时,矩阵只有一行,称为行向量;当q=1时,矩 阵只有一列,称为列向量。 矩阵的基本运算 (1)相等:两个矩阵A,B,若它们有所有元素对应相等,即对任意i,j,均有a=bj,则 称A与B相等,记为A=B。显然A与B相等的前提条件是它们有相同的行数和列数 (2)加法:两个矩阵A,B,则A+B=C为一个新的矩阵,其元素为A和B的对应元素 相加的和。即:若A=(a),B=(b),则C=(c)=(a+b)。显然加法也要求A,B矩阵有相 同的行列数 (3)乘法:两个矩阵Ap和Bq则A·B=Cp为一个新矩阵,其第i行第j列的元素c为 A的第i行元素与B的第列元素的乘积和,即:c1 b。显然矩阵乘法要求第 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。 -33-21-16 例1 13-5229 521 如上面例题中结果的第一行第一列元素-33=3×1+2×2+(-8)×5,第二行第一列元素 13=(-4)×1+6×2+1×5,等等 注意:一般来说,矩阵乘法不满足交换律即AB≠BA。象上面的例子,BA根本就不能 相乘,因为B有三列,而且A只有两行,不满足矩阵乘法的条件。再例如A1n为n阶行向 量,Bn为n阶列向量,则AB为一个数字,而BA为一个n×n阶的矩阵 (4)转置:把矩阵A以它的主对角线(从左上到右下)为轴旋转180°,它的行变成列, 列变成行,称为转置。记为A′。即 12 若A=A,则称A为对称矩阵。 (5)矩阵的行列式:若矩阵A为方阵,则我们可按某种规则从矩阵A计算出一个数作为它 的值,这个值称为矩阵的行列式,记为A。对于二阶方阵,它的行列式定义为主对角线乘
附录 1 矩阵基础知识 1.矩阵的概念：矩阵就是矩形的数表。例如： Apq = p p pq q q a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 代表由 p∙q 个数字排成的数表，我们称它为 p 行 q 列矩阵。矩阵用大写黑体字母表示。其下 标表示它所包含的行列数，也可省略不写。用小写字母表示矩阵中的各个数字，如 aij 表示 A 矩阵中第 i 行第 j 列的那一个数字，称为矩阵的元素。有时也可用（aij）表示矩阵 A。 向量是只有一行或一列的矩阵。当 p = 1 时，矩阵只有一行，称为行向量；当 q = 1 时，矩 阵只有一列，称为列向量。 2. 矩阵的基本运算 （1）相等：两个矩阵 A，B，若它们有所有元素对应相等，即对任意 i，j，均有 aij = bij，则 称 A 与 B 相等，记为 A = B。显然 A 与 B 相等的前提条件是它们有相同的行数和列数。 （2）加法：两个矩阵 A，B，则 A + B = C 为一个新的矩阵，其元素为 A 和 B 的对应元素 相加的和。即：若 A = (aij), B = (bij), 则 C = (cij) = (aij+bij)。显然加法也要求 A，B 矩阵有相 同的行列数。 （3）乘法：两个矩阵 Apq 和 Bqr, 则 A·B = Cpr为一个新矩阵，其第 i 行第 j 列的元素 cij 为 A 的第 i 行元素与 B 的第列元素的乘积和，即： = = q k 1 ij ik bkj c a 。显然矩阵乘法要求第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。 例 1 − − 4 6 1 3 2 8 − − − − = − − 13 52 29 33 21 16 5 2 1 2 7 2 1 3 4 如上面例题中结果的第一行第一列元素–33 = 3×1 + 2×2 + (–8)×5，第二行第一列元素 13 = (-4)×1 + 6×2 + 1×5，等等。 注意：一般来说，矩阵乘法不满足交换律即 AB≠BA。象上面的例子，BA 根本就不能 相乘，因为 B 有三列，而且 A 只有两行，不满足矩阵乘法的条件。再例如 A1n 为 n 阶行向 量，Bn1 为 n 阶列向量，则 AB 为一个数字，而 BA 为一个 n×n 阶的矩阵。 （4）转置：把矩阵 A 以它的主对角线（从左上到右下）为轴旋转 180°，它的行变成列， 列变成行，称为转置。记为 A。即： pq p p qp q q qp q q qp p p a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 若 A = A，则称 A 为对称矩阵。 （5）矩阵的行列式：若矩阵 A 为方阵，则我们可按某种规则从矩阵 A 计算出一个数作为它 的值，这个值称为矩阵的行列式，记为 A 。对于二阶方阵，它的行列式定义为主对角线乘
积减去副对角线乘积。主对角线是指从左上到右下的对角线,而副对角线则是指从左下到右 上的对角线 例2 A B 79 则A=5×2-7×3=-11 则B=21×9-(-3)×7=210 要计算高阶方阵的行列式,则需引入代数余子式的概念.通过它可把方阵的阶数逐次降 低,直到只剩二阶行列式,从而可用上述方法求出最终结果 子式:对于任意n阶行列式Am,删除任一元素a;所在的i行j列后所得n-1阶行列式 称为a的子式 代数余子式:子式乘以(-1)“,称为a;的代数余子式,记为A(ij) 定理:行列式Am的值等于它任意一行或任意一列的所有元素与其代数子式的乘积之和 A=∑anA), 称为按i行展开;或 A=∑anA(j) 称为按j列展开 反复使用上述公式,直到各子式均变为2阶,然后可用前述方法求出其值。 若A=0,则称A为退化的方阵 (6)单位阵。它是一个方阵,主对角线(从左上到右下的对角线)上元素均为1,其它元 素均为0。记为In。它在矩阵乘法中起着类似数字1在数字乘法中的作用,所以称为单位 阵。即:设A,I均为n·n方阵,则有AI=IA=A。换句话说,任何矩阵与单位阵(当然 阶数必须适当)相乘,均不改变其数值。 (7)逆矩阵。若A为非退化方阵,即A≠0,则有与A同阶的方阵A1存在,使 AA-=A-A=I 4-称为A的逆矩阵。它的求法为:设A=(a1),则: A(11)A(2l)A(nl) AAA A(12)A(22)A(n2) A(In) A(2n A(nn AA A 其中A(为a的代数余子式。注意A1中代数余子式的下标是经过转置的,即第i行第j列 位置上是A的第j行i列元素a的代数余子式
积减去副对角线乘积。主对角线是指从左上到右下的对角线，而副对角线则是指从左下到右 上的对角线。 例 2 = 3 2 5 7 A ， − = 7 9 21 3 B ， 则 A = 52–73 = –11 则 B = 219 – (–3)7 = 210 要计算高阶方阵的行列式，则需引入代数余子式的概念.通过它可把方阵的阶数逐次降 低，直到只剩二阶行列式，从而可用上述方法求出最终结果。 子式：对于任意 n 阶行列式 Ann ，删除任一元素 aij 所在的 i 行 j 列后所得 n - 1 阶行列式 称为 aij 的子式。 代数余子式：子式乘以(-1) i+j ,称为 aij 的代数余子式，记为 A(ij)。 定理：行列式 Ann 的值等于它任意一行或任意一列的所有元素与其代数子式的乘积之和。 即： = j ij A a A(ij) ， 称为按 i 行展开；或 = j ij A a A(ij) ， 称为按 j 列展开。 反复使用上述公式，直到各子式均变为 2 阶，然后可用前述方法求出其值。 若 A = 0，则称 A 为退化的方阵。 （6）单位阵。它是一个方阵，主对角线（从左上到右下的对角线）上元素均为 1，其它元 素均为 0。记为 Inn。它在矩阵乘法中起着类似数字 1 在数字乘法中的作用，所以称为单位 阵。即：设 A，I 均为 n·n 方阵，则有 AI = IA = A。换句话说，任何矩阵与单位阵（当然 阶数必须适当）相乘，均不改变其数值。 （7）逆矩阵。若 A 为非退化方阵，即 A 0 ，则有与 A 同阶的方阵 A–1 存在，使 AA–1 = A–1A = I A–1 称为 A 的逆矩阵。它的求法为：设 A = (aij)，则： = − A A(nn) A A(2n) A A(1n) A A(n2) A A(22) A A(12) A A(n1) A A(21) A A(11) A 1 其中 A(ij)为 aij 的代数余子式。注意 A–1 中代数余子式的下标是经过转置的，即第 i 行第 j 列 位置上是 A 的第 j 行 i 列元素 aji 的代数余子式
附录2.采用微软公司的Exce软件进行常见的统计计算。 Excel是一个功能十分强大的电子表格软件,它是微软公司办公软件 Office中的一部分 利用它可以方便地进行许多计算工作,画图工作等,也包括常用的一些统计计算。使用这种 通用办公软件的最大优点是普及率高,容易得到:其次是使用简单,不用记许多特殊指令; 同时它也能复盖常用的统计方法,可满足一般工作时需要。另一方面,与许多著名的统计软 件如SAS等相比,它也有一些明显的缺点,例如自动化程度不高,需要掌握一些基本统计 公式;功能也不够强,有些统计计算不能做等。 在本附录中,我们假设读者已对 Excel有一定了解,因此不再介绍 Excel的基本用法。 主要介绍以下几种统计计算: 1.假设检验。包括正态总体的假设检验,离散分布的假设检验,以及用皮尔逊统计量进行 非参数检验。 2.方差分析。 3.回归分析,包括简单作图 §1假设检验 、正态总体单样本假设检验 1.统计知识复习 若要检验方差,则统计假设为: Ho: H (双边检验) 或:HA:σ>oo或σ<∞(单边检验) 统计量为:x=-S ~x2(n-1) 若要检验均值,则统计假设为: Ho:μ=μ (双边检验) 或:HA:μ>山或μ<μo(单边检验) 统计量的选取则要分为以下两种情况 a)总体方差σ已知:u检验 X-Ho N(0,1) b)总体方差σ2未知:t检验 t(n一 2.方差检验的计算方法: 设Ho:σ=∞,且原始数据在A:Ao位置 1°在空单元格(设为B1)中输入公式 “=Var(A1:A20)*19/00∧2∠” 这一步是计算x2统计量,其中Var为 Excel的内部函数,功能为求指定数据的方差。“” 表示回车( Enter)键 在B2格中输入: chidist (B1, 19) 这一步是计算统计量所对应的概率,相当于查表。注意函数 chidist返回的是单尾概率
附录 2. 采用微软公司的 Excel 软件进行常见的统计计算。 Excel 是一个功能十分强大的电子表格软件，它是微软公司办公软件 Office 中的一部分。 利用它可以方便地进行许多计算工作，画图工作等，也包括常用的一些统计计算。使用这种 通用办公软件的最大优点是普及率高，容易得到；其次是使用简单，不用记许多特殊指令； 同时它也能复盖常用的统计方法，可满足一般工作时需要。另一方面，与许多著名的统计软 件如 SAS 等相比，它也有一些明显的缺点，例如自动化程度不高，需要掌握一些基本统计 公式；功能也不够强，有些统计计算不能做等。 在本附录中，我们假设读者已对 Excel 有一定了解，因此不再介绍 Excel 的基本用法。 主要介绍以下几种统计计算： 1. 假设检验。包括正态总体的假设检验，离散分布的假设检验，以及用皮尔逊统计量进行 非参数检验。 2. 方差分析。 3. 回归分析，包括简单作图。 §1 假设检验 一、正态总体单样本假设检验： 1. 统计知识复习： 若要检验方差，则统计假设为： H0： = 0 HA： ≠ 0 （双边检验） 或： HA： > 0 或 < 0 （单边检验） 统计量为： ~ (n 1) (n 1)S 2 2 0 2 2 − − = 若要检验均值，则统计假设为： H0： = 0 HA： ≠ 0 （双边检验） 或：HA： > 0 或 < 0 （单边检验） 统计量的选取则要分为以下两种情况： a) 总体方差 2 已知：u 检验 ~ (0,1) / 0 N n X u − = b) 总体方差 2 未知：t 检验 ~ ( 1) / 0 − − = t n S n X t 2. 方差检验的计算方法： 设 H0： = 0，且原始数据在 A1:A20 位置。 1 在空单元格（设为 B1）中输入公式： “= Var(A1:A20)*19/0 2 ↙” 这一步是计算 2 统计量，其中 Var 为 Excel 的内部函数，功能为求指定数据的方差。“↙” 表示回车（Enter）键。 2 在 B2 格中输入： “= chidist (B1, 19) ↙” 这一步是计算统计量所对应的概率，相当于查表。注意函数 chidist 返回的是单尾概率
即P(X>B1),而不是分布函数,即P(X<B1) 3°将B2中数据与α比较来确定是否接受H: 双边检验:若α/2<B2 a/2,则接受H;否则接受H 单边检验:若H为:σ>on:当B2>α时接受H 若H为:G<on:当B2<1-a时接受H 也可把上述公式一次输入 = chidist(Var(A1:A20)*19/00A2,19)” 上述公式中的19也可换为: Count(A1:A20)-1。 Count这一内部函数可自动计算A1至 A20中数字的个数。 3.均值检验方法: 仍采用前述原始数据,零假设为:H:μ (1)总体方差∞已知的情况 1°在空单元格(设为C1)中输入: Ztest (Al: A20, Ho, Go, 内部函数 Ztest可以直接算出u统计量所对应的单尾概率值。注意它返回的也是单尾 概率,不是分布函数。 2°仍按前述比较Bl1与α的同样方法比较C1与α,并决定是否接受H (2)总体方差σ未知:应采用t检验。 1°在空单元格D1~D20中均填充上山o 2°在空格E1中输入 Ttest (Al: A20, D1: D20, tails, 1) 其中 tails为一参数,当进行单尾检验时,把它换成1:进行双尾检验时,换成2。 最后一个数字“1”也是一个参数,它的用法我们后面将要介绍,这里应取值1 3°把E1格中计算出来的值与α相比,E1>α时,接受H;E1<α时,拒绝H。 注意: Ttest函数不区分统计量是大于0还是小于0,也不管是上单尾检验还是下单尾检验。 因此进行单尾检验时可能出现错误拒绝。如当进行上单尾检验,即H为μ〉脚,而观测数 据平均值却明显小于时;或进行下单尾检验,即H为μ<μ,而观测数据平均值却明显 大于μ时;在这两种情况下都会出现错误拒绝现象。使用中务请注意先进行直观检验,不 属于以上两种情况时再进行统计检验,以免发生错误 例1.(即本书例3.2)已知某种玉米平均穗重μ。=300g,标准差σ。=9.5g,喷药后,随机 抽取9个果穗,重量分别为(单位为g):308,305,311,298,315,300,321,294,320。 问这种药对果穗重量是否有影响 解:如表1,把果穗重原始数据填入A4:A12单元。 检验方差是否变化:在B5单元里输入: Var(A4:A12)*8/9.5A2,8)” 回车后,显示数字0.414234。由于这一数字在0.025和0.975之间,因此接受H,认为 方差没有变化 检验均值是否变化:由于方差已知,可采用Z-test。在B8单元里输入: = ztest(A4:A12,300,9.5)” 回车后,显示数字0.005763。由于这一数字小于0.025,大于0.005,因此拒绝H,喷 药前后果穗重差异显著,但未达到极显著 也可当作方差未知,直接进行T检验 在C4:C12单元格中,填充数字300 在D5单元格中输入:
即 P(X > B1)，而不是分布函数，即 P(X < B1)。 3 将 B2 中数据与比较来确定是否接受 H0： 双边检验：若/2 < B2 < 1 - /2，则接受 H0；否则接受 HA； 单边检验：若 HA 为： > 0: 当 B2 > 时接受 H0； 若 HA 为： < 0：当 B2 < 1 - 时接受 H0。 也可把上述公式一次输入： “= chidist (Var(A1:A20)*19/0 2, 19) ↙” 上述公式中的 19 也可换为：Count(A1:A20)-1。Count 这一内部函数可自动计算 A1 至 A20 中数字的个数。 3. 均值检验方法： 仍采用前述原始数据，零假设为：H0: = 0。 （1）总体方差0 已知的情况： 1 在空单元格（设为 C1）中输入： “= Ztest (A1:A20, 0，0,) ↙” 内部函数 Ztest 可以直接算出 u 统计量所对应的单尾概率值。注意它返回的也是单尾 概率，不是分布函数。 2 仍按前述比较 B1 与的同样方法比较 C1 与，并决定是否接受 H0。 （2）总体方差0 未知：应采用 t 检验。 1 在空单元格 D1～D20 中均填充上0。 2 在空格 E1 中输入： “= Ttest (A1:A20, D1:D20, tails, 1) ↙” 其中 tails 为一参数，当进行单尾检验时，把它换成 1；进行双尾检验时，换成 2。 最后一个数字“1”也是一个参数，它的用法我们后面将要介绍，这里应取值 1。 3 把 E1 格中计算出来的值与相比，E1 > 时，接受 H0；E1 < 时，拒绝 H0。 注意：Ttest 函数不区分统计量是大于 0 还是小于 0，也不管是上单尾检验还是下单尾检验。 因此进行单尾检验时可能出现错误拒绝。如当进行上单尾检验，即 HA 为 > 0，而观测数 据平均值却明显小于0 时；或进行下单尾检验，即 HA 为 < 0，而观测数据平均值却明显 大于0 时；在这两种情况下都会出现错误拒绝现象。使用中务请注意先进行直观检验，不 属于以上两种情况时再进行统计检验，以免发生错误。 例 1. (即本书例 3.2）已知某种玉米平均穗重μ0 = 300g，标准差σ0 = 9.5g，喷药后，随机 抽取 9 个果穗，重量分别为(单位为 g)：308，305，311，298，315，300，321, 294，320。 问这种药对果穗重量是否有影响？ 解：如表 1，把果穗重原始数据填入 A4:A12 单元。 检验方差是否变化：在 B5 单元里输入： “= Var(A4:A12)*8/9.5 2,8)” 回车后，显示数字 0.414234 。由于这一数字在 0.025 和 0.975 之间，因此接受 H0，认为 方差没有变化。 检验均值是否变化：由于方差已知，可采用 Z-test。在 B8 单元里输入： “= ztest(A4:A12,300,9.5)” 回车后，显示数字 0.005763 。由于这一数字小于 0.025，大于 0.005，因此拒绝 H0，喷 药前后果穗重差异显著，但未达到极显著。 也可当作方差未知，直接进行 T 检验： 在 C4:C12 单元格中，填充数字 300。 在 D5 单元格中输入：
“= ttest(A4:A12,D4:D12,2,1)” 回车后,显示数字0.037208。由于这一数字小于0.05,大于0.01,因此拒绝H,喷药 造成的差异仍为显著,但未达极显著水平 两种方法差异的讨论见本书例3.2 表1.例1计算结果 例1 9.5 果穗重 308 Chi-test 300 T-test 3050.414234 3000.037208 300 298 Z-test 3150.005763 300 321 300 294 300 320 300 二、正态总体双样本假设检验: 1.统计知识复习 若要检验方差,统计假设为:Ho:σ1=σ;HA:σ≠σ2。一般均为双边检验。统计量为 F=S2/S2~F(m-1,m 其中m和n分别为第一和第二样本的样本容量 若要检验均值,零假设为:Ho:σ1=σ2 备择假设为:HA:山≠2 (双边检验) 或:HA:μ>2或μ<2(单边检验) 同时,还可能出现以下几种情况: (1)总体方差σ,G2已知:u检验 Jo?/m+o2/nN(O, 1) (2)总体方差未知,但相等(即通过了F检验):t检验。 ~1(m+n-2) l)S2+(n-1)S m+n-2 (3)总体方差未知,且不等(即未通过F检验):近似t检验 近似服从tdf S2/m+S2 其中df
“= ttest(A4:A12,D4:D12,2,1)” 回车后，显示数字 0.037208 。由于这一数字小于 0.05，大于 0.01，因此拒绝 H0，喷药 造成的差异仍为显著，但未达极显著水平。 两种方法差异的讨论见本书例 3.2。 表 1. 例 1 计算结果 例1 μ0 300 σ0 9.5 果穗重 308 Chi-test 300 T-test 305 0.414234 300 0.037208 311 300 298 Z-test 300 315 0.005763 300 300 300 321 300 294 300 320 300 二、正态总体双样本假设检验： 1. 统计知识复习： 若要检验方差，统计假设为：H0：1 = 2；HA：1 2。一般均为双边检验。统计量为： F S /S ~ F(m 1,n 1) 2 2 2 = 1 − − 其中 m 和 n 分别为第一和第二样本的样本容量。 若要检验均值，零假设为：H0：1 = 2； 备择假设为：HA：1 2 （双边检验） 或：HA：1 > 2 或 1 < 2 （单边检验） 同时，还可能出现以下几种情况： （1）总体方差 2 2 2 1 , 已知：u 检验 ~ N(0,1) / m / n x x u 2 2 2 1 1 2 + − = （2）总体方差未知，但相等（即通过了 F 检验）：t 检验。 ~ ( 2) ) 1 1 ( 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 1 1 2 + − + + − − + − − = t m n m n m n m S n S x x t （3）总体方差未知，且不等（即未通过 F 检验）：近似 t 检验。 S m S n x x t / / 2 2 2 1 1 2 + − = 近似服从 t(df) 其中 df = 1 2 2 ) 1 (1 ) 1 ( − − − + − n k m k ， ) n S m S /( m S k 2 2 2 1 2 1 = +