《生物统计》第一章 概率论基础

《生物统计》 绪言 在人们的实践活动中,常常会遇到类似下面的一些问题,如:一种新的疫苗,如何判 断它是否有效?吸烟会不会使得肺癌的机会增加?如何抽检几百或几千人来估计某种病的 流行程度?某批产品中合格品究竟有多少?该不该报废?如何消耗最少的资源和人力来得 到我们所需要的某种信息?某种实验方法,或饲料配方,有没有明显改进?……等等。 这一类问题的共同特点,就是人们只能得到他所关心的事情的不完全信息,或者是单 个实验的结果有某种不确定性。例如为了知道产品合格与否或它的使用寿命,我们常常需要 对它作破坏性检验,此时我们显然不能把所有的产品都检验一下,而只能满足于对少数几个 样品的抽检。这样获得的信息显然是不完全的:再比如要检验疫苗的有效性,但一般来说, 接种过疫苗的动物不一定全不发病,而未接种的也不会全发病。那么发病与不发病的差别究 竟到多大时我们才能认为接种是有效的呢?同时,即使我们采用完全一样的实验条件再次进 行实验,发病与不发病的动物数量也会有所变化,这说明类似实验的结果具有某种内在的不 确定性。要想在这种情况下正确判定疫苗的有效性,就涉及了我们如何评价一些并不确定的 实验结果的问题。 要从这样一些问题中得出科学的,可靠的结论,就必须依靠统计学。有人干脆给统计 学下了这样的定义:“统计学就是从不完全的信息里取得准确知识的一系列技巧”,这个定义 还是有一定道理的 另外,当必须根据有限的,不完全的信息作出决策时(例如决定一批产品是出厂还是 报废,某种新药是否有效等等),统计学可以提供一种方法,使我们不仅能做出合理的决策 而且知道所冒风险的大小,并帮助我们把可能的损失减至最小 其次,如何花费最小代价取得所关心的信息,也是统计学的一大课题(实验设计)。 不注意这一点可能使辛辛苦苦的工作成为一种浪费。 生物学是一门实验科学。不管你从事的是生物学的哪一个分枝,都不可能完全脱离实 验,只进行逻辑推理。而实验所得到的结果几乎无例外地都带有或多或少的不确定性,即实 验误差。在这种情况下不用统计学要想得到正确的结论是不可能的。可以毫不夸张地说,作 为一个实验科学工作者,离开了统计学就寸步难行。希望大家通过这门课程的学习,能够掌 握常用的统计方法,尤其是它们的条件,适用范围、优缺点等,从而能够应用它们去解决实 践中遇到的问题。 第一章概率论基础 §1.1随机现象与统计规律性 概率论是研究随机现象的数量规律的数学分枝 所谓随机现象,就是在基本条件不变的情况下,各次实验或观察会得到不同的结果的现 象,而且这一结果是不能准确预料的。 例:血球计数,昆虫密度调查,某一时刻车间中开动的车床数,优秀选手射击弹着分布,抽 样时某一样品合格与否等等。 必然现象(或不可能事件)则是指在一定条件下必然会发生(或不发生)的事件,也可 称为决定性事件。 例:早晨太阳从东方升起,水向低处流,万有引力,标准大气压,纯水100℃沸腾等等

《生物统计》 绪言 在人们的实践活动中，常常会遇到类似下面的一些问题，如：一种新的疫苗，如何判 断它是否有效？吸烟会不会使得肺癌的机会增加？如何抽检几百或几千人来估计某种病的 流行程度？某批产品中合格品究竟有多少？该不该报废？如何消耗最少的资源和人力来得 到我们所需要的某种信息？某种实验方法，或饲料配方，有没有明显改进？……等等。 这一类问题的共同特点，就是人们只能得到他所关心的事情的不完全信息，或者是单 个实验的结果有某种不确定性。例如为了知道产品合格与否或它的使用寿命，我们常常需要 对它作破坏性检验，此时我们显然不能把所有的产品都检验一下，而只能满足于对少数几个 样品的抽检。这样获得的信息显然是不完全的；再比如要检验疫苗的有效性，但一般来说， 接种过疫苗的动物不一定全不发病，而未接种的也不会全发病。那么发病与不发病的差别究 竟到多大时我们才能认为接种是有效的呢？同时，即使我们采用完全一样的实验条件再次进 行实验，发病与不发病的动物数量也会有所变化，这说明类似实验的结果具有某种内在的不 确定性。要想在这种情况下正确判定疫苗的有效性，就涉及了我们如何评价一些并不确定的 实验结果的问题。 要从这样一些问题中得出科学的，可靠的结论，就必须依靠统计学。有人干脆给统计 学下了这样的定义：“统计学就是从不完全的信息里取得准确知识的一系列技巧”，这个定义 还是有一定道理的。 另外，当必须根据有限的，不完全的信息作出决策时（例如决定一批产品是出厂还是 报废，某种新药是否有效等等），统计学可以提供一种方法，使我们不仅能做出合理的决策， 而且知道所冒风险的大小，并帮助我们把可能的损失减至最小。 其次，如何花费最小代价取得所关心的信息，也是统计学的一大课题（实验设计）。 不注意这一点可能使辛辛苦苦的工作成为一种浪费。 生物学是一门实验科学。不管你从事的是生物学的哪一个分枝，都不可能完全脱离实 验，只进行逻辑推理。而实验所得到的结果几乎无例外地都带有或多或少的不确定性，即实 验误差。在这种情况下不用统计学要想得到正确的结论是不可能的。可以毫不夸张地说，作 为一个实验科学工作者，离开了统计学就寸步难行。希望大家通过这门课程的学习，能够掌 握常用的统计方法，尤其是它们的条件，适用范围、优缺点等，从而能够应用它们去解决实 践中遇到的问题。 第一章 概率论基础 §1.1 随机现象与统计规律性 一、概率论是研究随机现象的数量规律的数学分枝 所谓随机现象，就是在基本条件不变的情况下，各次实验或观察会得到不同的结果的现 象，而且这一结果是不能准确预料的。 例：血球计数，昆虫密度调查，某一时刻车间中开动的车床数，优秀选手射击弹着分布，抽 样时某一样品合格与否等等。 必然现象（或不可能事件）则是指在一定条件下必然会发生（或不发生）的事件，也可 称为决定性事件。 例：早晨太阳从东方升起，水向低处流，万有引力，标准大气压，纯水 100℃沸腾等等

大部分科学实验的结果都属于随机事件,分析它们就需要概率的知识,如 例1.1试验两种不同饲料配方对鸡增重的影响。饲养五周后,增重如下: 配方1(x):1.49kg,1.36kg,1.50kg,1.65kg,1.27kg,1.45kg,1.38kg,1.52kg,1.40kg 配方2(y):1.25kg,1.50kg,1.33kg,1.45kg,1.27kg,1.32kg,1.60kg,1.41kg,1.30kg 1.52k x=1436kg,j=1.392kg 在例1中,x=1436kg,j=1.392kg,我们是否可以说配方1比配方2好呢?也许 有同学会说:“x>j,当然就说明配方1好啦。”实际问题却不是这样简单。由于鸡的个体 差异等都会影响实验的结果,因此上述实验中包含着一些无法排除的随机误差。在这种情况 下,我们怎么能判断x与j之间的差异是随机误差造成的,还是配方1真的优于配方2?或 者换句话说,x与j的差异大到何种程度,我们就可以较有把握地说配方1真的优于配方2? 要科学地回答这一类的问题,靠我们以前学过的数学知识是解决不了的,必须依靠统计学的 知识。由于吃同一种饲料的一组鸡的生活条件基本上是一致的,它们之间的差异应该是随机 误差大小的一种估计,因此我们可以把上述两组鸡之间的差异与组内的差异作一下比较,如 果组间差异明显大于组内的差异,则认为配方1比配方2好;否则就只能认为这两种配方差 不多。根据这样的统计学理论,我们只能认为这两个配方间没有明显差异,原因是它们组内 差异比较大,说明随机因素的影响很大,平均数间的差异可能是随机因素引起的。 例1.2如果数据变成 配方1(x):1.40kg,142kg,1.50kg1.39kg,1.46kg,1.45kg1.5lkg,1.44kg,14lkg 1.38kg 配方2(y):1.38kg,1.41kg,1.3kg1.0kg136kg,13kg142kg,1.38kg1.37kg, 1.4lkg x=14365kg,y=1.391kg 此时两组数据的平均值变化不大,直观上结果应与上题相同,但统计结论却完全变了, 变为应该认为配方1明显优于配方2。这是因为组内差距变小了,x与y之间的差别不能仅 用随机因素的影响来解释。 从上述例子可看出,没有概率论的知识就不能对实验结果作出科学的,有说服力的结论。 频率稳定性 随机事件的结果一般是不可预料的,那又如何研究呢?个别随机事件(结果)在一次实 验或观察中可以出现或不出现,但在大量实验中,它出现的次数与总实验次数之比常常是非 常稳定的。这种现象称为频率稳定性,正是随机事件内在规律性的反映 例1.3掷币实验: 实验者掷币次数正面次数频率 蒲丰 4040 2048 05069 0.5016 皮尔逊|24000 12012 0.5005 从上述实验结果可知,随着投掷次数的增加,正面出现的次数越来越接近一个常数:0.5 这一实验的结果很好地反映了多次重复的随机实验中的频率稳定性。 直观上,我们用一个数P(A)来表示随机事件A发生可能性的大小,P(A)就称为A的 概率。一般来说,当实验次数N越来越大,直至趋于无穷时,频率也会逐渐趋近于概率。 §1.2样本空间与事件

大部分科学实验的结果都属于随机事件，分析它们就需要概率的知识，如： 例1.1 试验两种不同饲料配方对鸡增重的影响。饲养五周后，增重如下： 配方 1（x）：1.49kg, 1.36kg, 1.50kg, 1.65kg, 1.27kg,1.45kg, 1.38kg, 1.52kg, 1.40kg； 配方 2（y）：1.25kg, 1.50kg, 1.33kg, 1.45kg, 1.27kg, 1.32kg, 1.60kg, 1.41kg, 1.30kg, 1.52kg。 x = 1.436kg, y = 1.392kg 在例 1 中， x = 1.436kg, y = 1.392kg ，我们是否可以说配方 1 比配方 2 好呢？也许 有同学会说：“ x  y ，当然就说明配方 1 好啦。”实际问题却不是这样简单。由于鸡的个体 差异等都会影响实验的结果，因此上述实验中包含着一些无法排除的随机误差。在这种情况 下，我们怎么能判断 x 与 y 之间的差异是随机误差造成的，还是配方 1 真的优于配方 2？或 者换句话说， x 与 y 的差异大到何种程度，我们就可以较有把握地说配方1真的优于配方2？ 要科学地回答这一类的问题，靠我们以前学过的数学知识是解决不了的，必须依靠统计学的 知识。由于吃同一种饲料的一组鸡的生活条件基本上是一致的，它们之间的差异应该是随机 误差大小的一种估计，因此我们可以把上述两组鸡之间的差异与组内的差异作一下比较，如 果组间差异明显大于组内的差异，则认为配方 1 比配方 2 好；否则就只能认为这两种配方差 不多。根据这样的统计学理论，我们只能认为这两个配方间没有明显差异，原因是它们组内 差异比较大，说明随机因素的影响很大，平均数间的差异可能是随机因素引起的。 例 1.2 如果数据变成 配方 1（x）：1.40kg, 1.42kg, 1.50kg, 1.39kg, 1.46kg，1.45kg, 1.51kg, 1.44kg, 1.41kg, 1.38kg; 配方 2 (y)：1.38kg, 1.41kg, 1.35kg, 1.50kg, 1.36kg, 1.33kg, 1.42kg, 1.38kg, 1.37kg, 1.41kg x = 1.4365kg, y = 1.391kg 此时两组数据的平均值变化不大，直观上结果应与上题相同，但统计结论却完全变了， 变为应该认为配方 1 明显优于配方 2。这是因为组内差距变小了，x 与 y 之间的差别不能仅 用随机因素的影响来解释。 从上述例子可看出，没有概率论的知识就不能对实验结果作出科学的，有说服力的结论。 二、频率稳定性 随机事件的结果一般是不可预料的，那又如何研究呢？个别随机事件（结果）在一次实 验或观察中可以出现或不出现，但在大量实验中，它出现的次数与总实验次数之比常常是非 常稳定的。这种现象称为频率稳定性，正是随机事件内在规律性的反映。 例 1.3 掷币实验： 实验者 掷币次数 正面次数 频率 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 从上述实验结果可知，随着投掷次数的增加，正面出现的次数越来越接近一个常数：0.5。 这一实验的结果很好地反映了多次重复的随机实验中的频率稳定性。 直观上，我们用一个数 P(A) 来表示随机事件 A 发生可能性的大小，P(A) 就称为 A 的 概率。一般来说，当实验次数 N 越来越大，直至趋于无穷时，频率也会逐渐趋近于概率。 §1.2 样本空间与事件

我们假定试验或观察可在相同的条件下重复进行。这是因为一次随机实验的结果不可预 料,我们主要依靠频率稳定性来研究随机现象的内在规律,因此不可重复的实验对统计学来 说是没有多少意义的。 、样本空间的概念 定义:在一组固定的条件下所进行的试验或观察,其可能出现的结果称为样本点,一般用a 表示。全体样本点的所构成的集合称为样本空间,一般用Q表示。 例1.4投一个硬币:={正},{反}:9={正,反} 投二个硬币:={正正},{正反},{反正},板反反}:9={正正,正反,反正,反反} 样本点和样本空间是严格依赖于我们的实验设计的,不同的实验设计可能有不同的样本 点和样本空间。每一个最基本、最简单的结果称为一个样本点,所有可能的样本点构成样本 空间,而部分样本点的集合则构成了事件。 定义:样本点的集合称为事件 显然有:必然事件:9;不可能事件:Φ。 注意:上述定义不严格,如果Ω中有不可列个样本点,则不能把Ω的一切子集都看成事件, 否则无法在其上定义概率。关于这些问题的详细讨论超出了本课程的范围 二、事件间的关系:设A、B均为事件,则它们可能有以下关系 包含:若A发生,则B必然发生,此时称A包含于B,或B包含A。记为:AcB,或B→A 例:{正正}c{两币相同} 相等:若A→B,且BA,则称A与B相等,记为A=B 例:{反反}={正面不出现} 对立:由所有不包含在A中的样本点所组成的事件称为A的逆事件,或A的对立事件,记为 A。(也可称为“非A”) 例:{两币相同}={正反,反正}={两币不同} 显然A逆的逆等于A,即A=A。 、事件的运算 已知事件A,B,我们可以通过它们构成一些新的事件: 交:同时属于A及B的样本点的集合。记为:A∩B或AB,此时A与B同时发生 若A∩B=Φ,则称A与B互不相容。样本点一定是互不相容的 并:至少属于A或B中一个的全体样本点的集合,记为AUB 此时可能A,B都发生,也可能只发生一个 若A∩B=Φ,则可把并称为和,且记为A+B 注意:在集合论的运算中,和只是并的特例,要明确它们的不同,原因是:在集合论中,同 个元素只能计算一次,所以一个集合中不能有两个相同的元素。 差:包含在A中且不包含在B中的样本点的集合。记为A-B。 注意:这是三种运算中唯一不满足交换律的运算 显然:A-B=AB,AUA=9,A∩A=Φ,A=9-A venn图:用图解的方法表示集合间的关系。如: *一个无穷 中由之则为 为不可列集。详细讨 论可参见有关测度论的书籍

我们假定试验或观察可在相同的条件下重复进行。这是因为一次随机实验的结果不可预 料，我们主要依靠频率稳定性来研究随机现象的内在规律，因此不可重复的实验对统计学来 说是没有多少意义的。 一、样本空间的概念 定义：在一组固定的条件下所进行的试验或观察, 其可能出现的结果称为样本点，一般用ω 表示。全体样本点的所构成的集合称为样本空间，一般用Ω表示。 例 1.4 投一个硬币：ω={正}，{反}；Ω={正，反} 投二个硬币：ω={正正}，{正反}，{反正}，{反反}； Ω={正正，正反，反正，反反} 样本点和样本空间是严格依赖于我们的实验设计的，不同的实验设计可能有不同的样本 点和样本空间。每一个最基本、最简单的结果称为一个样本点，所有可能的样本点构成样本 空间，而部分样本点的集合则构成了事件。 定义：样本点的集合称为事件。 显然有：必然事件：Ω；不可能事件：Φ。 注意：上述定义不严格，如果Ω中有不可列个样本点，则不能把Ω的一切子集都看成事件， 否则无法在其上定义概率。关于这些问题的详细讨论超出了本课程的范围。 二、事件间的关系：设 A、B 均为事件，则它们可能有以下关系： 包含：若 A 发生，则 B 必然发生，此时称 A 包含于 B，或 B 包含 A。记为：A  B，或 B  A。 例：{正正}  {两币相同} 相等：若 A  B，且 B  A，则称 A 与 B 相等，记为 A=B。 例：{反反}={正面不出现} 对立：由所有不包含在 A 中的样本点所组成的事件称为 A 的逆事件，或 A 的对立事件，记为 A 。（也可称为“非 A”） 例：{ 两币相同 }={正反，反正}={两币不同} 显然 A 逆的逆等于 A, 即 A =A。 三、事件的运算 已知事件 A，B，我们可以通过它们构成一些新的事件： 交：同时属于 A 及 B 的样本点的集合。记为：A  B 或 AB，此时 A 与 B 同时发生。 若 A  B=Ф，则称 A 与 B 互不相容。样本点一定是互不相容的。 并：至少属于 A 或 B 中一个的全体样本点的集合，记为 A  B。 此时可能 A，B 都发生，也可能只发生一个。 若 A  B=Ф，则可把并称为和，且记为 A+B。 注意：在集合论的运算中，和只是并的特例，要明确它们的不同，原因是：在集合论中，同 一个元素只能计算一次，所以一个集合中不能有两个相同的元素。 差：包含在 A 中且不包含在 B 中的样本点的集合。记为 A-B。 注意：这是三种运算中唯一不满足交换律的运算。 显然： A− B = AB ， A A = , A A =  ， A =  − A Venn 图：用图解的方法表示集合间的关系。如：  一个无穷集合，若它的元素可与自然数集建立一一对应，则称其为可列集，否则称为不可列集。详细讨 论可参见有关测度论的书籍

B A B 相离 相交 包含 图1.两集合A、B的三种关系 显然两事件A与B的关系只有上述三种,这种图解的方法对我们搞清事件间的关系是 很有好处的 运算顺序:1.逆,2.交,3.并或差。 运算规律: (1)交换律:AUB=BUA,A∩B=B∩A (2)结合律:(AUB)UC=AU(BUC),(AB)C=A(BC) (3)分配律:(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C),(A∩B)UC=(AUC)∩(BUC) (4)德莫根( De morgan)定理: AUB=A∩B,A∩B=AUB 对于n个事件,甚至对可列个事件,上述定理仍成立,可写为: A A=∩An 注意:上述集合论运算规律与算数运算的规律很相似。若把并比作算术加法,把交比作算术 乘法,则交换律与结合律是相同的。但分配律有差异:集合论运算中除有交对并的分配律 外,还有并对交的分配律,而后者在算术运算中是不成立的。这种差异同样来自于集合运 算的规定:在集合中,同一元素只能计算一次而不能够重复计算。 例1.5A,B,C是三个事件,请用运算式表示下列事件: (1)A发生,B与C不发生:ABC,或A一B一C,或A-(BUC) (2)A与B都发生而C不发生:ABC,或AB一C,或AB-AB (3)至少发生一个: AUBUC (4)恰好发生一个:ABC+ABC+ABC (5)恰好发生二个:ABC+ABC+ABC §13概率 古典概型 从17世纪中叶,人们就开始研究随机现象,当时这种兴趣或需要主要是由赌博引起的,因 此人们首先注意的是这样一类随机事件:它们只有有限个可能的结果,即只有有限个样本点, 同时这些样本点出现的可能性相等。这样的概率空间称为古典概型。由于样本点是等可能的, 很自然地,人们就把事件A的概率定义为A所包含的样本点数与样本点总数的比值,即 P(4)=m。4包含的样本点数A的有利场合数 样本点总数 样本点总数 显然这样的定义同时也给出了概率的计算方法,这种方法今天还有着广泛的用途,尤其是在 产品的抽样检查方面。这样建立起来的概率有如下的性质 (1)对任意事件A,P(A)≥0(非负性) (2)P(9)=1(规范性)

A B A B A B 相离 相交 包含 图 1. 两集合 A、B 的三种关系。 显然两事件 A 与 B 的关系只有上述三种，这种图解的方法对我们搞清事件间的关系是 很有好处的。 运算顺序：1. 逆，2. 交，3. 并或差。 运算规律： （1）交换律：AUB=BUA，A∩B=B∩A （2）结合律：（AUB）UC=AU（BUC），（AB）C=A（BC） （3）分配律：（AUB）∩C=（A∩C）U（B∩C），（A∩B）UC=（AUC）∩（BUC） （4）德莫根（De Morgan）定理： AUB = A  B, A B = AUB 对于 n 个事件，甚至对可列个事件，上述定理仍成立，可写为：   i i Ai = Ai,   i i Ai = Ai 注意：上述集合论运算规律与算数运算的规律很相似。若把并比作算术加法，把交比作算术 乘法，则交换律与结合律是相同的。但分配律有差异：集合论运算中除有交对并的分配律 外，还有并对交的分配律，而后者在算术运算中是不成立的。这种差异同样来自于集合运 算的规定：在集合中，同一元素只能计算一次而不能够重复计算。 例 1.5 A，B，C 是三个事件，请用运算式表示下列事件： （1）A 发生，B 与 C 不发生： ABC ，或 A―Ｂ―Ｃ，或Ａ－（BUC） （2）A 与 B 都发生而 C 不发生： ABC ，或 AB―C，或 AB―ABC （3）至少发生一个：AUBUC （4）恰好发生一个： ABC + ABC + ABC （5）恰好发生二个： ABC + ABC + ABC §1.3 概率 一、古典概型 从 17 世纪中叶，人们就开始研究随机现象，当时这种兴趣或需要主要是由赌博引起的，因 此人们首先注意的是这样一类随机事件：它们只有有限个可能的结果，即只有有限个样本点， 同时这些样本点出现的可能性相等。这样的概率空间称为古典概型。由于样本点是等可能的， 很自然地，人们就把事件 A 的概率定义为 A 所包含的样本点数与样本点总数的比值，即 样本点总数 的有利场合数 样本点总数 A包含的样本点数 A n m P(A) = = = 显然这样的定义同时也给出了概率的计算方法，这种方法今天还有着广泛的用途，尤其是在 产品的抽样检查方面。这样建立起来的概率有如下的性质： （1）对任意事件 A，P（A）≥0 （非负性） （2）P（Ω）=1 （规范性）

(3)若A1,A2,…,An两两互不相容,则: P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A)+…+P(An)(可加性) 注意:上述可加性称为有限可加性。它主要适用于样本空间只包含有限个样本点的情况。如 果样本空间含有无穷多个样本点,则上述可加性也应推广为可列可加性(或称完全可加性 即:若A1,A2,…An,…互不相容,则 例1.6五个身高不同的人,随机站成一排,问恰好是按身高顺序排列的可能性有多大? 解:五个人随机排列,则排法共有5!种。有利场合则为从高到矮,或从矮到高,共两种 因此所求概率为 P=3=120 例1.7100块集成电路中混有5块次品。任取20块检测,问至多发现一块次品的概率为多 大 解:样本空间:C130 有利场合:20块样品中没有次品:C3 20块样品中有一块次品:C·C5 例1.810个同样的球,编号为1-10,从中任取三个,求恰有一个球编号小于5,一个球等 于5,另一个大于5的概率 解:样本空间:C 10×9×8 =120 2×3 有利场合:C4C1·C5=4×5=20 ∴P=20/120=1/6 例19设有n个球,每个可以的等概率落入N个格子之一中,(N>n),求: (1)指定的n个格中各有一球的概率 (2)任意n个格中各有一球的概率。 解:由于每个球落入各个格中的可能都相等,这是古典概型。每个球有N种可能的位置, 因此n个球在N个格中共有N种落法。即样本空间共有N个样本点 第一问的有利场合为n个球的全排列,即n!,因此P1=n!/N 第二问中选定n个格,共有CN种选法,因此有利场合为CN·n,即 P Nn=MN"·(N-n)

（3）若 A1，A2，…，An 两两互不相容，则： ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 + A2 ++ An = P A1 + P A2 ++ P An （可加性） 注意：上述可加性称为有限可加性。它主要适用于样本空间只包含有限个样本点的情况。如 果样本空间含有无穷多个样本点，则上述可加性也应推广为可列可加性（或称完全可加性）， 即：若 A1，A2，… An，…互不相容，则    =  =  =      1 1 ( ) i i i P Ai P A 例 1.6 五个身高不同的人，随机站成一排，问恰好是按身高顺序排列的可能性有多大？ 解：五个人随机排列，则排法共有 5!种。有利场合则为从高到矮，或从矮到高，共两种。 因此所求概率为： 60 1 120 2 5! P = 2 = = 例 1.7 100 块集成电路中混有 5 块次品。任取 20 块检测，问至多发现一块次品的概率为多 大？ 解：样本空间： 20 C100 有利场合：20 块样品中没有次品： 20 C95 20 块样品中有一块次品： 1 5 19 C95 C ∴ ( ) 20 100 1 5 19 95 20 95 C C C C P +  = 例 1.8 10 个同样的球，编号为 1—10，从中任取三个，求恰有一个球编号小于 5，一个球等 于 5，另一个大于 5 的概率。 解：样本空间： 120 2 3 3 10 9 8 10 =    C = 有利场合： 4 5 20 1 5 1 1 1 C4 C C =  = ∴ P = 20/120=1/6 例 1.9 设有 n 个球，每个可以 N 1 的等概率落入 N 个格子之一中，（N>n），求： （1）指定的 n 个格中各有一球的概率； （2）任意 n 个格中各有一球的概率。 解：由于每个球落入各个格中的可能都相等，这是古典概型。每个球有 N 种可能的位置， 因此 n 个球在 N 个格中共有 Nn 种落法。即样本空间共有 Nn 个样本点。 第一问的有利场合为 n 个球的全排列，即 n!，因此 P1 = n!/ Nn 第二问中选定 n 个格，共有 n CN 种选法，因此有利场合为 C n! n N  ，即 !/( ( )!) ! 2 N N N n N C n P n n n N =  −  =