证明IDFT[X(k)]的唯一性。 IDFTLX(k)]=N2I2 x(m)W N ∑x(m)∑ N k=0 ∑W k(m-n) 1m=n+MN,MM为整数 mHn+MN,MM为整数 k=0 所以,在变换区间上满足下式: IDFT LX()J=x(n) 0<n<N-1 由此可见,定义的离散傅里叶变换是唯一的。 21
证明IDFT［X(k)］的唯一性。 1 1 0 0 1 1 ( ) 0 0 1 [ ( )] [ ( ) ] 1 ( ) N N mk kn N N k m N N k m n N m k IDFT X k x m W W N x m W N 1 1 , ( ) 0 , 0 1 { N k m n m n MN M N m n MN M k W N M为整数 M为整数 所以， 在变换区间上满足下式： IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1 由此可见， 定义的离散傅里叶变换是唯一的。 21
在一般情况下,X(k)是一个复量,可表示为 X(k)=X(k)+ⅸ(k)或X(k)=X(k)e 例求有限长序列的DFT,其中a=0.8,N=8。 a",0≤n≤N-1 0 其它 2丌 解X(k)=∑x(m)H=∑ae 2兀 k ∑ (ae8) 0<k<7 1-ae4 X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-10.92558 X(2)=0.507461j0.40597X(3)=0.47017j0.16987 X(4)=0.46235 X(5)=0.47017+j0.16987 X(6=0.50746+j0.40597X(7)=0.71063+j0.92558
在一般情况下，X(k)是一个复量，可表示为 或 例 求有限长序列的DFT，其中a=0.8，N=8。 X(k) X (k) jX (k) R I ( ) ( ) ( ) j k X k X k e 0, 其 它 , 0 1 ( ) a n N x n n , 0 7 1 1 ( ) ( ) ( ) 7 0 4 8 8 2 7 0 8 7 2 0 8 k a e a a e X k x n W a e n j k n j k n j nk n n nk 解 X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-j0.92558 X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987 X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)=0.50746+j0.40597 X(7)=0.71063+j0.92558 22
例x(n)=R4(n),求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N8,则X(k)=∑x(n)W如=∑e8 刀=0 sin( k) J KTt e k=0.1..7 丌 sin(k 15 设变换区间N16,则X(k)=∑x(n=∑e sin(k) k=0 15 sin(k) 16 ◆DFT|x(m)结果与N的取值有关
例 x(n)=R4 (n) ，求x(n)的8点和16点DFT 7 3 2 8 8 0 0 3 8 ( ) ( ) sin( ) 2 , 0,1, ,7 sin( ) 8 j kn kn n N j k X k x n W e k e k k 设变换区间N=8， 则 设变换区间N=16， 则 7 3 2 8 8 0 0 3 8 ( ) ( ) sin( ) 4 , 0,1, ,15 sin( ) 16 j kn kn n N j k X k x n W e k e k k DFT[x(n)]结果与N的取值有关 23 15
第五章有限长离散变换 5.1有限长序列的傅里叶分析 ■52DFT与Z变换、DTFT变换的关系 5.3离散傅里叶变换的性质 5.4利用DFT计算线性卷积 5.5利用DFT分析信号的频谱
第五章 有限长离散变换 5.1 有限长序列的傅里叶分析 5.2 DFT与Z变换、DTFT变换的关系 5.3 离散傅里叶变换的性质 5.4 利用DFT计算线性卷积 5.5 利用DFT分析信号的频谱 24
5.2DFT与Z变换的关系 将x()的变换:x(z)=x[x(n)]=x(n)2z 与x(m的N点DFT:ⅹ(k)=DFT[z(n)=∑x(n)W 进行对比,可以看出 X(k)=X(z) 0<k<N-1 z=w 即:x(n)的N,点DFT是x(m)的Z变换在单位圆上的N点 等间隔采样
5.2 DFT与Z变换的关系 将x(n)的Z变换： 与x(n)的N点DFT： 进行对比，可以看出 ( ) ( ) 0 1 X k X z k k N z WN 即：x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点 等间隔采样。 25